1、高中数学必修 1 知识讲解讲义目录第一讲 集合的概念 .1第二讲 集合的关系与运算 .6第三讲 映射与函数 .11第四讲 函数的表示方法 解析式法 .16第五讲 函数单调性 .20第六讲 函数奇偶性 .27第七讲 指数与指数幂的运算 .36第八讲 指数函数 .42第九讲 对数函数 .50第十讲 对数与对数运算 .56第十一讲 幂函数 .61第十二讲 方程的根与函数的零点 .66第十三讲 用二分法求方程的近似解 .71第十四讲 几类不同增长的函数模型 .76第十五讲 函数的图像 .85第十六讲 函数的综合应用 .93第十七讲 二次函数性质与函数的图像 .1111第一讲 集合的概念一. 知识思维导
2、图 集 合集 合 的 概 念集 合 及 元 素集合的分类及表示集 合 的 关 系 包 含 子 集 真 子 集集 合 的 运 算交 集并 集补 集集 合 的 应 用二. 知识要点解读（一）集合的概念1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element） ，把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集） 。（1 ）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. （2 ）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. （3 ）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大括号 或大写的拉丁字母表示，如 A、
3、B、C、元素通常用小写的拉丁字母表示，如 a、b、c、 2. 元素与集合的关系 （1 ）属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 aA （2 ）不属于：如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a A 要注意“”的方向，不能把 aA 颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性： 2(1) 元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2) 元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3) 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，
4、因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1 ）把不含任何元素的集合叫做空集 （2 ）含有有限个元素的集合叫做有限集（3 ）含有无穷个元素的集合叫做无限集【例 1】考察下列每组对象能否构成集合？中国的直辖市；young 中的字母；不超过 20 的质数；高一班 16 岁以下的学生；高一班所有个子高的学生. 【分析】“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆” ；“young 中的字母”构成一个集合，该集合的元
5、素是“y,o,u,n,g” ；“不超过 20 的质数”构成一个集合，该集合的元素是 “2,3,5,7,11,13,17,19”；（质数又称素数。指在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。与之相对立的是合数：“除了 1 和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。 ”如：4 1=4，42=2，44=1 ，很显然，4 的约数除了 1 和它本身 4 这两个约数以外，还有约数 2，所以 4 是合数。 ）“高一班 16 岁以下的学生”构成一个集合；“高一班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。 【例 2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合
6、中的元素：(1)所有绝对值等于 6 的数的集合 A3(2)所有绝对值小于 6 的整数的集合 B【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.【解】(1)A绝对值等于 6 的数 ；其元素为： 6，6(2)B绝对值小于 6 的整数；其元素为：5，4 ，3，2，1 ，0，1，2 ，3，4，5（二）集合的表示方法1. 常用数集的表示方法 常用数集 简称 记法全体非负整数的集合 非负整数集 N非负整数内排除 0 的集合 正整数集 N+或 N+全体整数的集合 整数集 Z全体有理数的集合 有理数集 Q全体实数的集合 实数集 R
7、【例 3】判断正误：所有在 N 中的元素都在 N*中( ) 所有在 N 中的元素都在 Z 中( ) 所有不在 N*中的数都不在 Z 中( ) 所有不在 Q 中的实数都在 R 中( ) 由既在 R 中又在 N 中的数组成的集合中一定包含数 0( ) 不在 N 中的数不能使方程 4x8 成立( ) 注：（1）自然数集包括数 0. （2 ）非负整数集内排除 0 的集.记作 N*或 N+，Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集，也这样表示，例如，整数集内排除 0 的集，表示成 Z* 2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1)是有限集而元素个数较少如：1，2，3，4，5，
8、x 2，3x+2，5y 3-x 2)是无限集且元素离散所有正奇数组成的集合：1，3，5，7 ， 43)是有限集但元素个数较多如从 1 到 100 的所有整数组成的集合可以表示为1,2,3,4 ，98,99,100 3. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。x|p(x)中 x 为代表元素，p(x)指 x 具有的性质 . 描述法的两种表述形式：1)、数式形式:如由不等式 x-54 的所有解组成的集合，可以表示为x|
9、x-54；由抛物线y=x2+1 上所有点组成的集合，可以表示为(x,y)|y=x 2+1。2)、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为直角三角形 ；所有绝对值小于 6 的整数的集合，可以表示为 绝对值小于 6 的整数 。【例 4】求不等式 2x-35 的解集【答案】不等式的解集为x|x4,xR【例 5】下列各组对象不能形成集合的是（ ）A.大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被 3 除余 2 的所有整数 D.函数 yx 图象上所有的点【解】综观四个选择支，A、C、D 的对象是确定的，惟有 B 中的对象不确定，故不能形成集合的是 B.【例 6】集合 A 的元素由 kx 3
10、x2 0(kR)的解构成，若 A 中的元素至多有一个， 求 k值的范围.【解】由题 A 中元素即方程 kx23x2 0(kR)的根。若 k0，则 x2/3 ，知 A 中有一个元素，符合题设若 k0，则方程为一元二次方程.当 98k0 即 k9/8 时，kx 23x2 0 有两相等的实数根，此时 A 中有一个元素.又当 98k0 即 k9/8 时,kx 23x20 无解.此时 A 中无任何元素，即 A 也符合条件综上所述 k0 或 k9/8【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分
11、两种5情况.三. 知识要点总结1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2. 元素与集合的关系:属于和不属于 3. 集合的中元素的三个特性：元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1 ）把不含任何元素的集合叫做空集 （2 ）含有有限个元素的集合叫做有限集（3 ）含有无穷个元素的集合叫做无限集5. 集合的表示方法 6. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1)是有限集而元素个数较少2)是无限集且元素离散3)是有限集但元素个数较多7. 描述法：用确定的条件表示某些对象
12、是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 8. 描述法的两种表述形式：1)、数式形式 2)、语言形式 常用数集 简称 记法全体非负整数的集合 非负整数集 N非负整数内排除 0 的集合 正整数集 N+或 N+全体整数的集合 整数集 Z全体有理数的集合 有理数集 Q全体实数的集合 实数集 R6第二讲 集合的关系与运算一. 知识思维导图 集 合集 合 的 概 念集 合 及 元 素集合的分类及表示集 合 的 关 系 包 含 子 集 真 子 集集 合 的 运 算交 集并 集补 集集 合 的 应 用二. 知识要点解读（一）集合之间的关系1. 集合与集合之间的“包含”关系 A=1，2，3，
13、B=1，2，3，4 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合 B 包含集合 A；如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合 B 的子集（ subset） 。记作：A B 或 B A 读作：A 包含于（is contained in）B，或 B 包含（contains ）A 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 2. 集合与集合之间的“相等”关系 AB 且 AB，则 A=B 中的元素是一样的，因此 A=B，根据以上我们可以得到这样一个结论：任何一个集合是它本身的子集。即 AA。 73. 真子集的概念 若集合 A B ，存在
14、至少一个元素属于集合 B 且不属于集合 A ，则称集合 A 是集合 B的真子集（proper subset） 。记作：A B 读作：A 真包含于 B 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。4. 真子集的性质 结论： AB 且 B C，则 AC 【例 1】集合 A=1,2,3,4，集合 B=4,2,3,1，问集合 A 和集合 B 相等吗？ 【例 2】化简集合 A=x|x-7 2,B=x|x 5，并表示 A、B 的关系； 【例 3】 （1 ）写出集合0，1，2 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（2 ）集合a 1,a2,a3an，子集个数共有多少个；真子集有多少个；非空子集有
15、多少个；非空的真子集有多少个. （二）集合的运算1. 集合的运算并集一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集（Union）记作：AB 读作：“A 并 B” 即： AB=x|xA，或 xB 2. 集合的运算并集说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素） 。说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 3. 集合的运算交集一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集（intersection） 。8记作：AB读
16、作：“A 交 B” 即： AB=x|xA，且 xB说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。4. 集合的运算补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe） ，通常记作 U。补集：对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 对于全集 U 的补集（complementary set）,简称为集合 A 的补集记作：C UA 即：C UA=x|xU 且 x A 补集的 Venn 图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制5. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是且与或，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。6. 集合的运算的一些结论交集 AB A，ABB，A A=A，A= ,AB=BA 并集 AAB ，BAB，A A=A，A=A,AB=BA
