1、 第 1 页 共 5 页第三章 直线与方程1、直线倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 .特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 = 0.2、 倾斜角 的取值范围： 0180. 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角 ( 90)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan。当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当 90时， ，k 随
2、着 的增大而增大； 当 180,9时， k，k 随着 的增大而增大； 当 时， 不存在。由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.过两点 )(),(21yxPy、 的直线的斜率公式： )(212xxy注意下面四点：(1)当 21x时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P、 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类
3、问题要先考虑斜率是否存在。4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）直线的点斜式方程： ，k 为 直线的斜率，且过点 ，适用条件是不垂)(00xy0,yx直 x 轴。 注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 。0y当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x0，所以它的方程是 x=x0。斜截式： ， k 为直线的斜率，直线在 y 轴上的截距为 bby两点式： （ ）直线两点 ，1122x212,xy1,x2,y截矩式： ，其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、yabl(0)a(0)blx轴的截距分别为 。y,一
4、般式： 0CByAx（A ，B 不全为 0）注意：在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： （b 为常数） ；平行于 y 轴的直线： （a 为常数） ； y x5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线系：00CBA0,BA（C 为常数） ，所以平行于已知直线 的直线方程可设：0yx 00CyBx,垂直于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线方程可设：00yx0,（C 为常数）0B（2）过定点的直线系斜率为 k 的直线系： ，直线过定点 ；00xk
5、y0,yx过两条直线 ， 的交点的直线系方程为:11BxAl :22CBAl（ 为参数） ，其中直线 不在直线系中。221CyCyBxl6、两直线平行与垂直（1）当 ， 时，11:bxkl22:bxkl；2,/11kl注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（2）当 ， 时，0:11CyBxAl 0:22CyBxAl；/ 1122 且 0211BAl例：设直线 经过点 A(m，1)、B(3，4)，直线 经过点 C(1，m)、D( 1，m+1) ，1l 2l当(1) / / (2) 时，分别求出 m 的值22l7、两条直线的交点当 相交时，0:11CyBxAl 0:22CyB
6、xAl第 2 页 共 5 页交点坐标是方程组 的一组解。02211CyBxA方程组无解 ；方程组有无数解 与 重合。1/l 1l28. 中点坐标公式：已知两点 P1 (x1，y 1)、P 2(x2，y 2)，则线段的中点 M 坐标为( ， )例：21x21y已知点 A(7， 4)、B(5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。9、两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，则12(,),AxyB， （ ）221|()ABx10、点到直线距离公式：一点 到直线 的距离为0,yxP0:CByAxl 20BACyxd11、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：
7、先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。（2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 1l和 2的一般式方程为l1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax +By+C2=0，则 1l与 2的距离为 21BAd一、选择题1若直线 x1 的倾斜角为 ，则 ( )A等于 0 B等于 C等于 D不存在22图中的直线 l1，l 2，l 3 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则( )Ak 1k 2k 3 Bk 3k 1k 2Ck 3 k2k 1 Dk 1k 3k 23已知直线 l1 经过两点(1 ，2)、(1，4)，直线 l2 经过两点(2，1)、(x ，6)，且 l1l 2，则 x( )
8、A2 B 2 C4 D14已知直线 l 与过点 M( ， )，N( ， )的直线垂直，则直线 l 的倾斜角是( 323)A B C D334435如果 AC0，且 BC0，那么直线 AxBy C0 不通过( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6设 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA |PB|，若直线 PA 的方程为xy10，则直线 PB 的方程是 ( )Axy50 B2x y10C2y x40 D2xy707过两直线 l1：x 3y40 和 l2：2x y50 的交点和原点的直线方程为( )A19x9y0 B9x 19y0C19x 3y 0 D3x19
9、y0 8直线 l1：x a2y60 和直线 l2 : (a2)x3ay2a0 没有公共点，则 a 的值是( )A3 B3 C1 D19将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a0)个单位，再沿 x 轴正方向平移 a1 个单位得直线 l，此时直线 l 与 l 重合，则直线 l 的斜率为( )A B C D 1a1aa1a10点(4，0)关于直线 5x4y210 的对称点是( )A(6，8) B(8， 6) C(6，8) D(6，8)二、填空题11已知直线 l1 的倾斜角 115，直线 l1 与 l2 的交点为 A，把直线 l2 绕着点 A 按逆时针方向旋转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为
10、60，则直线 l2 的斜率 k2 的值为 12若三点 A(2，3)，B(3，2)，C ( ，m)共线，则 m 的值为 (第 2 题)第 3 页 共 5 页13已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D 的坐标为 14求直线 3xay 1 的斜率 15已知点 A(2，1)，B(1，2)，直线 y2 上一点 P，使|AP|BP|，则 P 点坐标为 16与直线 2x3y 50 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 17若一束光线沿着直线 x2y50 射到 x 轴上一点，经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 三、解答题18设直
11、线 l 的方程为(m 22m 3)x(2m 2m1)y2m6(m R ，m1)，根据下列条件分别求 m 的值：l 在 x 轴上的截距是 3； 斜率为 119已知ABC 的三顶点是 A(1，1)，B(3，1)，C(1，6)直线 l 平行于 AB，交 AC，BC分别于 E，F ， CEF 的面积是CAB 面积的 求直线 l 的方程420一直线被两直线 l1：4x y60，l 2：3x 5y60 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.21直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程(第 19 题)第 4 页 共 5 页第三章 直线与方
12、程参考答案A 组一、选择题1C解析：直线 x1 垂直于 x 轴，其倾斜角为 902D解析：直线 l1 的倾斜角 1 是钝角，故 k10；直线 l2 与 l3 的倾斜角 2， 3 均为锐角且 2 3，所以 k2k 30，因此 k2k 3k 1，故应选 D3A解析：因为直线 l1 经过两点( 1，2)、(1，4)，所以直线 l1 的倾斜角为 ，而 l1l 2，所以，直线 l2 的倾斜角也为 ，又直线 l2 经过两点(2，1)、 (x，6)，所以，x24C解析：因为直线 MN 的斜率为 ，而已知直线 l 与直线 MN 垂直，所以直线 l 的斜123率为 1，故直线 l 的倾斜角是 45C解析：直线
13、AxBy C0 的斜率 k 0，在 y 轴上的截距 0，所以，直线不通BABCD过第三象限6A解析：由已知得点 A(1，0)，P(2，3)，B(5，0)，可得直线 PB 的方程是 xy507D8D9B解析: 结合图形，若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移，再沿 x 轴正方向平移后，所得直线与 l 重合，这说明直线 l 和 l 的斜率均为负，倾斜角是钝角设 l 的倾斜角为 ，则tan 1a10D解析：这是考察两点关于直线的对称点问题直线 5x4y210 是点 A(4，0)与所求点A(x，y)连线的中垂线，列出关于 x，y 的两个方程求解二、填空题111解析：设直线 l2 的倾斜角为 2，则由题意
14、知：180 21560， 2135，k 2tan 2tan(180 45) tan45112 1解：A，B ，C 三点共线，k AB kAC， 解得 m 2132113(2，3)解析：设第四个顶点 D 的坐标为 (x，y)，ADCD，ADBC，k ADkCD1，且 kADk BC 1， 10xy320xy(第 11 题)第 5 页 共 5 页解得 (舍去 ) 10yx32yx所以，第四个顶点 D 的坐标为 (2，3)14 或不存在a3解析：若 a0 时，倾角 90，无斜率若 a0 时，y x a1直线的斜率为 315P(2，2).解析：设所求点 P(x，2)，依题意： ，解得 x2，故所22)
15、1()(x 22)()(x求 P 点的坐标为(2，2)1610x15y360解析：设所求的直线的方程为 2x3yc 0，横截距为 ，纵截距为 ，进而得2c3cc = 53617x2y50解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称，故将直线方程中的 y 换成y三、解答题18m ；m 354解析：由题意，得3，且 m22 m3026解得 m 5由题意，得 1，且 2m2m 1023解得 m 3419x2y50解析：由已知，直线 AB 的斜率 k 132因为 EFAB，所以直线 EF 的斜率为 因为CEF 的面积是CAB 面积的 ，所以 E 是 CA 的中点点 E 的坐标是(0， )4
16、25直线 EF 的方程是 y x，即 x2y50 25120x6y0解析：设所求直线与 l1，l 2 的交点分别是 A，B，设 A(x0，y 0)，则 B 点坐标为(x 0，y 0)因为 A，B 分别在 l1，l 2 上，所以 065340yx得：x 06y 00，即点 A 在直线 x6y0 上，又直线 x6y0 过原点，所以直线 l 的方程为 x6y0212xy40 和 xy30解析：设直线 l 的横截距为 a，由题意可得纵截距为 6a直线 l 的方程为 16点(1，2)在直线 l 上， ，a 25a60，解得 a12，a 23当 a2 时，直线的方程为 ，直线经过第一、二、四象限当 a 3 时，直线的方程为 ，直线经过4yx 1yx第一、二、四象限综上所述，所求直线方程为 2xy40 和 xy30
