1、高中微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限1 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫数列，记作 ，并把每个数叫做数列的项，第 n 个数叫做数1,nx nx列的第 n 项或通项界的概念：一个数列 ，若 ， 对 ，都有 ，则称 是有界的：nx0M.st*NnxMnx若不论 有多大，总 ， ，则称 是无界的*mmx若 ，则 称为 的下界， 称为 的上界naxbanxbn有界的充要条件： 既有上界，又有下界2 数列极限的概念定义：设 为一个数列， 为一个常数，若对 ，总 , 当 时，有nxa0N.stn则称 是数列 的极限，记作 或anxlimnxa()数列有极限时，称该数列为收
2、敛的，否则为发散的几何意义：从第 项开始， 的所有项全部落在点 的 邻域1Nnxa(,)a3 数列极限的性质唯一性 收敛必有界 保号性：极限大小关系 数列大小关系（ 时）n二、 函数的极限1.定义：两种情形 ：设 在点 处的某去心邻域内有定义， 为常数，若对 ，0x()fx0 A0， 当 时，恒有 成立， 则称 在 时.st()fx()fx有极限 A记作 或0lim()xfA0()fxx几何意义：对 ， ， 当 时， 介于两直线.st0()fxy单侧极限：设 在点 处的右侧某邻域内有定义， 为常数，若对 ，()fx0 A0， 当 时，恒有 成立，称 在 处有右极限0.st()fx()fx，A记
3、作 或0lim()xfA0()fx的充要条件为： =0 00()ffxA垂直渐近线：当 时， 为 在 处的渐近线0li()xf()0 ：设函数 在 上有定义， 为常数，若对 ，xb0当 时，有 成立，则称 在 时有极限 ，,.XbstxX()fxA()fxA记作或lim()xf()f的充要条件为：li()xfAlilim(xxfA水平渐进线： 若 或 ，则 是 的水平渐近线li()xfA)fy()fx2.函数极限的性质：唯一性 局部有界性 局部保号性（在当 时成立）0三、 极限的运算法则1 四则运算法则设 、 的极限存在， 则()fxglim(),li()fxAgxB limAB ()fx （
4、当 时）li()gB0 （ 为常数）limcfxAc （ 为正整数） lim()kfxA2 复合运算法则设 ，若 ，则()yf0li()xa0lim()xffa可以写成 （换元法基础）00lixxf四、极限存在准则及两个重要极限1极限存在准则夹逼准则设有三个数列 ， ， ，满足nxynz， 则nyzlimlialimnxa单调有界准则有界数列必有极限3 重要极限 或0sinl1x1lixxe10lixxe五、无穷大与无穷小1无穷小：在自变量某个变化过程中 ，则称 为 x 在该变化过程中的无穷小lim()fx()f 若 ，则 为 x 在所有变化过程中的无穷小()0fxf若 ，则 不是无穷小()性
5、质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小2.常量与无穷小的乘积为无穷小3.有限个无穷小的乘积为无穷小4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理： 的充要条件是 ，其中 为 x 在该变化中过程lim()fxA()()fxA()中的无穷小无穷小的比较：(趋于 0 的速度的大小比较)，为同一变化过程中的无穷小),(x若 （ 常数） 则 是 的同阶无穷小 （当 时为等价无穷小）limc1c若 （ 常数） 则 是 的 k 阶无穷小lik0若 则 是 的高阶无穷小lim0常用等价无穷小：( ) ；0xsintarcsinartln(1)xxxe:； ；21cosx:(11lx2
6、无穷大：设函数 在 的某去心邻域内有定义。若对于 ， 当()f0 0M.st时，恒有x()fx称 当 时为无穷大，记作()f00lim()xf定理： （下：趋于某点，去心邻域不为lim()fx1li()liffx无 穷 大 为 无 穷 小无 穷 小 为 无 穷 大0） 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定六、连续函数1定义设函数 在 某邻域有定义，若对 ， 当 时，()yfx0 0.st0x恒有： 也可记作 或 00lim()xfx0limxy（或 ）为左（或右）连续0()ff()f2函数的间断点第一类间断点：左右极限存在 左 右 极 限 相 等 ， 该 处 无 定 义 可 去 间 断
7、点左 右 极 限 不 等 跳 跃 间 断 点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3.连续函数的运算若函数 与 都在 处连续，则函数()fxgx， ， （ ）f()ff()0gx定理： ， ，若 在 处连续， 在 处连续，则yfgx0u0()fg0u在 处连续()yfgx04 闭区间连续函数的性质 最值定理： 在 上连续， 则 ，对一切 有()fx,ab12,x,xab12()f介值定理： 在 上连续，对于 与 之间的任何数 ，至少 一点()fx,()fafu，.stu第二章、 导数一、导数的概念定义：设函数 在点 的某邻域有定义，如果极限()yfx0存在，则称函数 在点0)(limxfx()
8、yfx可导，极限值为函数 在点 处的导数，记为0xyf00()f单侧导数：设函数 在点 处的左侧 有定义，若极限()yf0x(,x存在，则称此极限为函数0)lixf在点 处的左导数，记为 ，类似有右导数()yf0(fx0()fx导函数：函数 在某区间上可导，则 0()()limxfffx性质：函数 在点 处可导的充要条件yf0 00()fxf可导 连续导数的几何意义： 函数点处的切线斜率二、求导法则1函数的和、差、积、商的求导法则定理：若 都在 x 处可导，则函数 在 x 处也可导，且(),uxv()uv()()uvx定理：若 都在 x 处可导，则函数 在 x 处也可导，且(),uxv()uv
9、()uv推论：若 都在 x 处可导，则函数 在 x 处也可导，且1,n 12n 12 12n nuu 定理：若 都在 x 处可导，则函数 在 x 处也可导，且(),uxv()v2()uvx2反函数的求导法则定理：设函数 在 上单调可导，它的值域为 ，而 ，则其反函()gyI xI()0gy数 在区间 上可导，并且有1xfxI1()fg4 复合函数的求导法则定理：若函数 在 可导，函数 在点 可导，则复合函数()ux0()yfu0()x在 处可导 yf或 （连锁规则） ()()xfxdyxu:三、高阶导数定义：若函数 的导数 仍可导，则 导数为 的二()yf()yf()fx()yfx阶导数，记作
10、 ， 类似的，有 n 阶导数2“,dfx(),nndf四、隐函数求导对于 ,或 ，若求,()0Fxy,(),()FyGyxdyx求导法：方程两侧对 x 求导微分法：方程两侧求微分公式法： ，将方程化成 =0，将 F 看成关于 x,y 的二元函数，分xydF,xy别对 x,y 求偏导 ,xy五、参数方程所确定的函数求导，()xty()/tydytdyxxtx:导数公式基本函数：导数运算法则:()uv ()Cu 2v()()()nnuvv()()0nkkuu高阶导数 ()()nnCfaxbafxb() *,(),0nmnANm若 则 ()11!nnxx()lxnxnaa ()()loglnnaa(
11、)sii)2()css2x1. 1(nnox2. ，需补充条件 在 处可导或该极限存在000)lim()xfxf()fx00C1()xlnxa(log)lasicsx()in2ots(sec)taxx(cs)scotx 21arin 2(rcos)1x2(artn) 21cotx第三章、微分一、微分的概念定义：设函数 在某区间 上有定义， ，若()yfxI0,xI可表示为00(yfx（其中 A 与 无关） ，则称 为 y 在()yAxoxAx处的微分，记作0xd 的区别：dy与当 y 为自变量时， y当 y 为因变量时， ， ， 为 y 的线性主部d()dyoxd定理：对于一元函数 ，()fx
12、可 导 可 微性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分 ()nnyfx二、微分的几何意义“以直代曲”三、微分中值定理中值定理 条件 结论Rolle 上连续, 上可,ab(,)ab导, ()f()0fLagrange 上连续, 上ab(,)ab可导()()fbafCauchy 上连续, 上(,)可导， ()0gx ()()fbafgg有限增量定理： ()yfx(01)至少存在一点，使得 法则：,LHospital型未定式定值法： 在 的某去心邻域有定义，且0(),fxg0， 在 的某去心邻域可导，且 00lim()lixxf()x()0gx，则有0li()xAg00limli()()xxffg，
13、， ， ， ， 类似:1四、函数的单调性与极值1.单调性：定理：设函数 在 上连续，在 上可导，则()yfx,ab(,)ab导数符号 原函数单调性()0f:x2.极值定义：设函数 在点 某邻域有定义，若对该邻域内一切 x 都有()yf0)(fxf则 是函数 的一个极大值，点 为函数 的一个极大值点。 （极小值类0()fx(0x()fx似）函数取得极值的一阶充分条件函数 在点 去心邻域可导，且在 处可导或导数不存在，则：()yfx0 0x当 时， ， 时， ，则 是极大值00x()f0()fx当 时， ， 时， ，则 是极小值x()fx无论 还是 ，总有 （或 ） ，则 不是极值00x()f()
14、f0()fx函数取得极值的二阶充分条件函数 在点 处具有二阶导数，且 ， ，则()yf0 0()fx“0()f若 ，则 是极小值“0x()fx若 ，则 是极大值“0()fx0()fx第四章、不定积分一、不定积分的概念和性质1.原函数与不定积分原函数：设 在 上有定义，若对 ，都有()fxIxI或 ()Fxf()dFfxd则称 为 在 上的一个原函数()fI原函数存在定理：若函数 在 上连续，则在 上 可导函数 ， 对()xI()Fx.st，都有 。即连续函数一定有原函数I()Ffx不定积分：设 使 的一个原函数，C 为任意常数，称 为 的不()Fxf ()xC()fx定积分，记作 ()()fxdC几何意义：积分曲线族2.不定积分的性质：积分运算与微分运算为互逆运算 ()()()fxgdfxgdx k0k二、换元积分法1.第一类换元积分法定理：设 有原函数，且 具有连续导数，则 有原函数()fu()ux()fx()fdfu2.第二类换元积分法定理：设 连续， 具有连续导数，且 ，则()fx()t()0t，其中()fxdftd1()x三、分部积分法 uvxuv
