高中数学必修5导学案.doc

1、高一数学必修 5 导学案1.1.1 正弦定理学习目标 1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题学习过程 一、课前准备试验：固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 学习探究探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在 Rt ABC 中，设BC=a，AC=b，AB =c， 根据锐角三角

2、函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 ， sinAcsiBsin1cC从而在直角三角形 ABC 中， iisinabAB(探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ，则 ， siniaBbAsiniabB同理可得 ， iicC从而 snsn类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试试导.高一数学必修 5 导学案新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即siniabABsincC试试：（1）在 中，一定成立的等式是

3、（ ）A B.siniabcosaAbBC. D.（2）已知ABC 中，a4，b8，A30，则B 等于 理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ， ， ；sinasinckC（2） 等价于 ， ， sinbABcCibBsinaAicC（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ； sia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 ； siniaABbsinC（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形 典型例题例 1. 在 中，已知 ， ， cm，解三角

4、形AB4560B42a变式：在 中，已知 ， ， cm，解三角形CC1例 2. 在 6,45,2,ABcAabB中 ， 求 和变式：在 3,0,1,CbBcAC中 ， 求 和三、总结提升高一数学必修 5 导学案 学习小结1. 正弦定理： siniabABsincC2. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义，还有 等积法，外接圆法，向量法.3应用正弦定理解三角形：已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角 知识拓展，其中 为外接圆直径.siniabAB2sincRC学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10

5、 分）计分：1. 在 中，若 ，则 是（ ）.ABCcosAbaBCA等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形C直角三角形 D等边三角形2. 已知ABC 中，AB C114，则 abc 等于（ ）.A114 B112 C11 D22333. 在ABC 中，若 ，则 与 的大小关系为（ ）.siniABA. B. C. D. 、 的大小关系不能确定B4. 已知 ABC 中， ，则 = si:si1:23C:abc5. 已知 ABC 中， A ， ，则60a= sinsinabcAC课后作业 1. 已知ABC 中，AB 6，A30，B ，解此三角形1202. 已知ABC 中，sinAsinB sinC

6、k ( k1)2k (k 0)，求实数 k 的取值范围为1.1.2 余弦定理高一数学必修 5 导学案学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题学习过程 一、课前准备复习 1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = 复习 2：在ABC 中，已知 ，A=45 ，C=30，解此三角形10c思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学 探究新知问题：在 中， 、 、 的长分别为 、 、 .ABCCAcab ， 同理可得： ，22cosabcaC新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去

7、这两边与它们的夹角的 的积的两倍思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：， ，22cosbcaA理解定理（1）若 C= ，则 ，这时90cos22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例（2）余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角试试：（1）ABC 中， ， ， ，求 3a2c150Bbc abA BC高一数学必修 5 导学案（2）ABC 中， ， ， ，求 2ab31cA 典型例题例 1. 在ABC 中，已知

8、， ， ，求 和 3a2b45B,ACc变式：在ABC 中，若 AB ，AC 5，且 cosC ，则 BC_910例 2. 在ABC 中，已知三边长 ， ， ，求三角形的最大内角3a4b37c变式：在 ABC 中，若 ，求角 A22abc三、总结提升 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： 已知三边，求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边 知识拓展在ABC 中，若 ，则角 是直角；22abcC若 ，则角 是钝角；若 ，则角 是锐角学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D

9、. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 已知 a ，c2，B 150 ，则边 b 的长为（ ）.3A. B. C. D. 4422. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7，则最大角为（ ）.A B C D60710150高一数学必修 5 导学案3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x，则 x 的取值范围是（ ）.A B x5 513x1C 2x D x54. 在 ABC 中，| |3，| |2， 与 的夹角为 60，则ACABC| |_B5. 在ABC 中，已知三边 a、b、c 满足，则C 等于 22bac课后作业 1. 在ABC 中，已知 a7，b8，cos C

10、，求最大角的余弦值1342. 在ABC 中，AB 5，BC 7，AC 8，求 的值.AB1.1 正弦定理和余弦定理（练习）学习目标 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形学习过程 一、课前准备复习 1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理复习 2：在ABC 中，已知 A ，a25 ，b50 ，解此三角形62二、新课导学 学习探究探究：在ABC 中，已知下列条件，解三角形. A ，a25，b50 ； 62 A ，a ，b50 ； 503 A ，a50，b50 .

11、62思考：解的个数情况为何会发生变化？高一数学必修 5 导学案新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）b a b a ba b aa一一一a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一 abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CH H H试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2用图示分析（A 为钝角时）解的情况？ 典型例题例 1. 在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况80a1b45A变式：在 ABC 中，若 ， ， ，则符合题意的 b 的值有_个1a2c40C例 2. 在 ABC 中， ， ， ，求 的值60A1b

12、csinsinacABC变式：在 ABC 中，若 ， ，且 ，求角 C5a16bsin203ab三、总结提升 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况） 知识拓展在 ABC 中，已知 ，讨论三角形解的情况 ：当 A 为钝角或直角时，必须,abA才能有且只有一解；否则无解；ab当 A 为锐角时，如果 ，那么只有一解；高一数学必修 5 导学案如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：ab（1

13、）若 ，则有两解；sinA（2）若 ，则只有一解；（3）若 ，则无解i学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 已知 a、b 为ABC 的边，A、B 分别是 a、b 的对角，且 ，则 的值=（ sin23ABab）.A. B. C. D. 1324352. 已知在ABC 中，sinAsinB sinC357，那么这个三角形的最大角是（ ）.A135 B90 C120 D1503. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由

14、增加长度决定4. 在ABC 中，sinA:sinB:sinC4:5:6，则 cosB 5. 已知ABC 中， ，试判断ABC 的形状 cosb课后作业 1. 在 ABC 中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求axm2c45x 的取值范围2. 在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c ，且满足 ，求角 C221sin24abcbC1.2 应用举例测量距离 学习目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程 一、课前准备复习 1：在ABC 中，C60，ab ，c 2 ，则A 为 . 23高一数学必修 5 导学案复习 2：在ABC 中，sinA ，判断

15、三角形的形状.sincoBC二、新课导学 典型例题例 1. 如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC= ， ACB= . 求 A、B 两5175点的距离(精确到 0.1m). 提问 1： ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB

16、边. 知 1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线. 例 2. 如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B两点间距离的方法. 分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D 两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离. 变式：若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得 BCA=60， ACD=30，CDB=45， BDA =60.练：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观

17、察站 C 的北偏东 30，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60，则 A、B 之间的距离为多少？高一数学必修 5 导学案三、总结提升 学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

18、A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角 的等腰直角三角板的斜45边紧靠球面，P 为切点，一条直角边 AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于（ ）.A5cmB 52cmC (1)D6cm2. 台风中心从 A 地以 每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A0.5 小时 B1 小时 C1.5 小时 D2 小时3. 在 中，已知 ，2()sin()()sin()ababAB则 的形状（ ）.A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形4.在 中，已知 ， ， ，则 的值是 ABC4a6b120Csin5. 一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 ，行驶60h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 ，这时船与灯塔的距离为 km5课后作业 1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距 km 的 C、D 两点，并测得3ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，A、B、C、D 在同一个平面，求两目标 A、B 间的距离.PA C