1、高中数学导数压轴题专题拔高训练一选择题（共 16 小题）1已知函数 f（x）=ax 3+bx2 的图象在点（ 1，2）处的切线恰好与 x3y=0 垂直，又 f（x）在区间m，m+1 上单调递增，则实数 m 的取值范围是（ ）A m3B m0 C m3 或 m0 D m3 或 m0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；两条直线垂直的判定菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 求出 f（x） ，根据切线与 x3y=0 垂直得到切线的斜率为3，得到 f（1）= 3，把切点代入 f（x）中得到f（ 1）=2，两者联立求出 a 和 b 的值，确定出 f（x）的解析式，然后求出 f
2、（x）大于等于 0 时 x 的范围为（，2 或 0，+）即为 f（x）的增区间根据 f（x）在区间m，m+1上单调递增，得到关于 m 的不等式，即可求出 m 的取值范围解答： 解：f（x）=3ax 2+2bx，因为函数过（1，2） ，且切线与 x3y=0 垂直得到切线的斜率为3，得到： 即 解得： ，则 f（x）=x 3+3x2f（x）=3x 2+6x=3x（x+2 ） 0 解得：x0 或 x2，即 x0 或 x2 时，f （x）为增函数；所以m，m+1 （，2或m，m+1 0，+）即 m+12 或 m0，解得 m3 或 m0故选 D点评： 考查学生掌握两条直线垂直时斜率的关系，会利用导数研究
3、曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调性本题的突破点是确定函数的解析式2已知函数 f（x）=lnx+m2f（1） ，m R函数 f（x）的图象过点（1， 2）且函数 g（x）= +af（x）在点（1，g（1） ）处的切线与 y 轴垂直，则 g（x）的极小值为（ ）A1 B 1 C 2 D 2考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 求出导函数，令 x=1 求出 f（1）的值，再将（1，2）代入 f（x）求出 m 的值；求出 g（x）令其 x=1 求出 g（1）=0 求出 a 值；求出 g（x）=0 的根，判断出根左右两边的
4、符号，求出极小值解答： 解：f（1）=1f（ x）=lnx+m2函数 f（x）的图象过点（1， 2）2=m2m=0f（ x）=lnx2在点（1，g（1） ）处的切线与 y 轴垂直g（1）=0 即 1+a=0 解得 a=1令 g（x）=0 得 x=1当 x1 时，g（x）0；当 0x1 时，g（x）0所以当 x=1 时，g（x）有极小值 g（1）=12=1故选 B点评： 本题考查曲线的切线问题时，常利用的是切线的导数在切点处的导数值为切线的斜率；解决函数的极值问题唯一的方法是利用导数3平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=ax（a0 且 a1）在第二象限的部分都在不等式（x+y 1） （xy+1
5、）0 表示的平面区域内，则 a 的取值范围是（ ）A0a B a1 C 1ae Dae考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；二元一次不等式（组）与平面区域菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 先画出不等式（x+y 1） （xy+1）0 表示的平面区域，然后根据曲线 y=ax（a0 且 a1）在第二象限的部分都在不等式（x+y 1） （xy+1）0 表示的平面区域内，则考虑零界位置，直线 xy+1=0 与曲线 y=ax 相切与点（0，1）是零界位置，求出此时 a 的值，从而得到结论解答： 解：画出不等式（x+y 1） （xy+1）0 表示的平面区域曲线 y=ax（a 0 且 a1）在第二
6、象限的部分都在不等式（ x+y1） （xy+1）0 表示的平面区域内a1，直线 xy+1=0 与曲线 y=ax 相切与点（0，1）是零界位置而（a x） =axlna，则 lna=1 即 a=e1 ae故选 C点评： 本题主要考查了二元一次不等式（组）与平面区域，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题4对于三次函数 f（x）=ax 3+bx2+cx+d（a 0） ，定义：设 f（x）是函数 y=f（x）的导数，若方程 f（x）=0 有实数解 x0，则称点（x 0，f（x 0） ）为函数 y=f（x）的“ 拐点”有同学发现：“ 任何一个三次函数都有 拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且
7、拐点 就是对称中心 ”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数 g（x）= x3 x2+3x+ ，则 的值是（ ）A2010 B 2011 C 2012 D2013考点： 实际问题中导数的意义菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题；新定义分析： 构造 h（x）= x3 x2+3x ，m（x）= ，则 g（x）=h（x）+m （x） ，分别求得对称中心，利用g（x）+g（1 x）=h（x）+h（1x）+m（x）+m （1x）=2，可得结论解答： 解：由题意，令 h（x）= x3 x2+3x ，m（x）=则 h（x）=x 2x+3，h（x）=2x 1，令 h（ x）=0，可得 x=h（ ） =1，即
8、h（x）的对称中心为（ ，1） ，h（ x） +h（1x）=2m（x）= 的对称中心为（ ，0）m（x）+m（1x）=0g（ x） =h（x）+m（x）g（ x） +g（1x）=h（x）+h（1x）+m（x）+m（1 x）=2 =2010故选 A点评： 本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题5若函数 f（x）=（a 3）xax 3 在区间 1，1上的最小值等于 3，则实数 a 的取值范围是（ ）A （2 ，+）B C D （2 ，12 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题；分类讨论分析： 由函数 f
9、（x）=（a 3）xax 3 在区间 1，1上的最小值等于 3，由函数解析式先求其导函数，进而可判断函数在区间 1，1上的单调性，从而可求函数的最小值，即可解答： 解：由函数 f（x）=（a 3）xax 3 求导函数为：f （x）= 3ax2+（a 3） ，当 a=0 时，f（x）=3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=3，符合题意，所以 a=0 符合题意；当 a0 时，f （x）=0，即 3ax2=a3 （I）当 0a3 时，f （x）=3ax 2+（a 3）为开口向下的二次函数，且=12a（a 3） 0，f （x）0 恒成立所以函数 f（x）在定义域上为单调递减函
10、数，函数的最小值为 f（1）= 3，此时符合题意；（II）当 a0 或 a3 时，f （ x）=0，即 3ax2=a3 解得： ，当 ，即 a ，函数 f（x）在1， 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以此时函数在定义域的最小值为 f（1）=3 或 f（ ）= 令解得：a，即 时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为 f（1）=3，符合题意综上所述：当即 时符合题意故选 B点评： 此题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了学生在函数字母的不等式分类讨论思想及学生的计算能力6已知函数 的两个极值分别为 f（x 1） ，f （x 2） ，若 x1，x 2 分别在区间
11、（0，1）与（1，2）内，则 b2a 的取值范围是（ ）A （4 ， 2）B （，2）（7，+ ） C （2，7） D （5 ，2 ）考点： 利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可解答： 解： 函数f（x）=x 2+ax+2b=0 的两个根为 x1，x 2，x1， x2 分别在区间（0，1）与（1，2）内 画出区域图得b2a（ 2，7） ，故选 C点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题7f（x）=2x 36x2+a 在 2
12、，2 上有最大值 3，那么在2，2 上 f（x）的最小值是（ ）A 5B 11 C 29 D 37考点： 利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 本题需要先根据条件：f（x）有最大值 3 来求出参数 a 的值，再进一步求出 f（x）的最小值来解答： 解：由已知 f（ x）=6x 212x，令 f（x）0 得 x0 或 x2，又因为 x2，2因此 f（x）在2，0上是增函数，在0，2 上是减函数，所以 f（x）在区间2，2的最大值为 f（x） max=f（0）=a=3由以上分析可知函数的最小值在 x=2 或 x=2 处取到，又因为 f（ 2）= 37，f（2）=
13、5，因此函数的最小值为37故应选 D点评： 本题考查了函数的导数的应用，以三次的多项式类型函数为模型进行考查，以同时考查函数的单调性为辅，紧扣大纲要求，模型典型而又考查全面，虽是基础题，却是一个非常好的题目8已知 f（x）=x 33x+m，在区间0，2 上任取三个数 a，b，c，均存在以 f（a） ，f （b） ，f（c）为边长的三角形，则 m 的取值范围是（ ）Am2 B m4 C m6 Dm8考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间0，2上的最
14、小值与最大值，从而可得不等式，即可求解解答： 解：由 f（x） =3x23=3（x+1） （x 1）=0 得到 x1=1，x 2=1（舍去）函数的定义域为0，2函数在（0，1）上 f（x） 0， （1，2）上 f（x）0，函数 f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（ 1，2）单调递增，则 f（x） min=f（1）=m 2，f （x） max=f（2）=m+2，f （0）=m由题意知，f（1）=m 20 ；f（1）+f（1）f（2） ，即4+2m2+m由得到 m6 为所求故选 C点评： 本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间0，2上的最小值与最大值9 （2011
15、开封二模）已知 f（x）=ln（x 2+1） ，g（x）=（ ） xm，若x 10，3，x 21，2，使得 f（x 1）g（x 2） ，则实数 m 的取值范围是（ ）A ，+ ） B （， C ，+ ） D（， 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数 m 的取值范围解答： 解：因为 x10，3 时，f（x 1）0 ，ln4；x21，2时，g（x 2） m， m故只需 0 mm 故选 A点评： 本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题10若
16、不等式 x2+2xya（2x 2+y2）对于一切正数 x、y 恒成立，则实数 a 的最小值为（ ）A2 B C D1考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；基本不等式菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题；不等式的解法及应用分析： 不等式整理为（2a1） （ ） 22 +a0 对于一切正数 x，y 恒成立，换元，再分离参数，求出函数的最值，即可求得结论解答： 解：由题意可得：不等式 x2+2xya（2x 2+y2）对于一切正数 x，y 恒成立，即不等式（2a1）x 22xy+ay20 对于一切正数 x，y 恒成立，即不等式（2a1） （ ） 22 +a0 对于一切正数 x，y 恒成
17、立，令 t= ，则有 t0，所以（2a1）t 22t+a0 对于一切 t（0，+）恒成立， 对于一切 t（0，+）恒成立，令 f（t）= ，则 f（t）=t（0，1）时，f（t）0，函数单调递增，t（1，+）时，f（t ）0，函数单调递减t=1 时，函数取得最大值 1a1实数 a 的最小值为 1故选 D点评： 本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11 （2011上饶二模）已知定义在1，+）上的函数 当 x2n1，2 n（nN *）时，函数 f（x）的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S=（ ）A1 B 2 C 3 D4考点： 定积分在求面积中的应
18、用；函数的图象与图象变化；函数的周期性菁优网版权所有专题： 压轴题；数形结合分析： 本选项题利用特殊值法解决取 n=1，由题意可知当 x1，2时，函数 f（x）的图象与 x 轴围成的图形是一个三角形，然后根据三角形的面积的运算公式进行求解即可解答： 解：令 n=1 得，2 n1，2 n=1，2，当 x1，2时，函数 f（x）的图象与 x 轴围成的图形是一个三角形，如图所示，其面积为：S= 14=2，故选：B点评： 本题考查函数的图象与图象变化、分段函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题12设函数 ，它们的图象在 x 轴上的公共点处有公切线，则当 x1
19、 时，f（x）与g（x）的大小关系是（ ）Af（x）g（x） B f（x）g（x）C f（x）=g（x） Df（x）g（x）与 g（x）的大小不确定考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；对数函数的图像与性质菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： f（x）与 x 轴的交点（1，0）在 g（x）上，所以 a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，可求出 a 与b 的值，令 h（x）=f（x）g（ x） ，然后利用导数研究该函数在（ 1，+）上的单调性，从而得到正确选项解答： 解：f（x）与 x 轴的交点（1，0）在 g（x）上，所以 a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，f（x）=
20、，g（x）=a ，以上两式在 x=1 时相等，即 1=ab，又因为 a+b=0，所以 a= ，b= ，即 g（x）= ，f（x）=lnx，定义域x|x0，令 h（x）=f（x）g（x）=lnx + ，对 x 求导，得 h（x）= = =x 1h（x）0h（ x）在（ 1，+ ）单调递减，即 h（x）0f（ x）g（x）故选 B点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的基本性质，同时考查分析问题的能力，属于中档题13若函数 ，且 0x 1x 21，设 ，则 a，b 的大小关系是（ ）Aab B abC a=b Db 的大小关系不能确定考点： 利用导数研究函数的单调性菁优网版
21、权所有专题： 综合题；压轴题分析： 求出函数的导函数，根据 x 的范围和正切函数的图象判断出导函数的正负即可单调函数的单调性，利用函数的单调性即可判断出 a 与 b 的大小解答： 解：f（x）= =0 x1 时，xtanxf（x）0，故函数单调递减，所以当 0x 1x 21 时，f（ x1）f （x 2）即 ab故选 A点评： 此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调性，会根据函数的单调性由自变量的大小判断出其对应的函数值的大小，是一道中档题14已知函数 f（x）=x 2+mx+lnx 是单调递增函数，则 m 的取值范围是（ ）A m2B m2 C m2 Dm2考点： 利用导数研究函数的单
22、调性菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 先求出导函数，然后将函数 f（x）=x 2+mx+lnx 是单调递增函数，转化成 f（x）0 在（0，+）上恒成立，然后将 m 分离出来，利用基本不等式求出另一侧的最值，即可求出所求解答： 解： f（x）=x 2+mx+lnxf（x）=2x+m+函数 f（x）=x 2+mx+lnx 是单调递增函数，f（x）=2x+m+ 0 在（0，+）上恒成立即m 2x+ 在（0，+ ）上恒成立而 x（0，+）时 2x+ 2m2 即 m故选 B点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题，同时考查了转化的数学思想，属于中档题15已知奇函数 f（
23、x）在 x 0 时， ，f （x）在 上的值域为（ ）AB C D考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数奇偶性的性质菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 利用导数先求函数 f（x）在 x1，2 时的单调性，然后根据单调性可求函数在 上的最值，根据奇函数的对称性可求函数在 上的值域解答： 解：当 x 时， ，f（x）=x 21当 x1，2时，f（x） 0，f（x）在1，2单调递增；当 x 时，f （x）0，f （x）在 上单调递减当 x=1 时，函数有最小值 f（1）= ，而 f（ ）f（2）=函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称f（x）在 上的值域为 故选 C点评： 本题
24、主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，奇函数的对称性的应用是求解本题的关键16设函数 f（x）=e x（sinxcosx） ，若 0x2012，则函数 f（x）的各极大值之和为（ ）ABC D考点： 利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题： 计算题；综合题；压轴题；转化思想分析： 先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值 f（2k+ ）=e 2k+sin（2k +）cos（2k+）=e 2k+，再利用数列的求和方法来求函数 f（x）的各极大值之和即可解答： 解：因为函数 f（x）=e x（sinxcosx） ，所以 f（x）=（e x）（sinx cosx）+e x（sinx cosx）=2e xsinx，x（2k，2k +）时原函数递增， x（2k+，2k+2 ）时，函数递减故当 x=2k+ 时，f （x）取极大值，
