1、 陈氏优学教学课题 椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数( )，这个动点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；若 ，则动点 的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1若 的两个顶点 ， 的周长为 ，则顶点 的轨迹方程是 ABC4,0,ABAC18C知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；2当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ；3
2、椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， 。讲练结合二利用标准方程确定参数1椭圆 的焦距为 ，则 = 。214xym2m2椭圆 的一个焦点是 ，那么 。52k),0(k知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆 的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程 ，把 x 换成x，或把 y 换成y，或把 x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆 是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x
3、|a，|y|b 。（3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆 （ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（a，0） ，A 2（a ，0） ，B 1（0，b） ，B 2（0，b） 。线段 A1A2，B 1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A2|=2a，|B 1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 。因为 ac 0，所以 e 的取值范围是 0e 1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接
4、近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2。椭圆 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1） ， ， ；（2） ， ， ；（3） , ， ；知识点四：椭圆 与 （ab0）的区别和联系标准方程图形焦点 ， ，焦距范围 ， ，对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 ， ，轴 长轴长= ，短轴长= 离心率性质准线方程焦半径 ， ，注意：椭圆 ， （ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和 ，a 2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。题型一 椭圆焦点三角形面积公式的应用定理
5、在椭圆 （ 0）中，焦点分别为 、 ，点 P 是椭圆上任意一点，12byaxab1F2，则 .21PFtn21SPF证明：记 ，由椭圆的第一定义得2|,| rr.4)(,2121 aar在 中，由余弦定理得：PF .)2(cos2121rr配方得： .4cos2)(11r即 .4cos422a.1)(21br由任意三角形的面积公式得：.2tan2cosincos1insi22211 bbbrSPF.ta21PF典题妙解例 1 若 P 是椭圆 上的一点， 、 是其焦点，且 ，求16402yx1F2 6021PF 的面积.21FPy F1 O F2 xP解法一：在椭圆 中， 而 记16402yx,
6、68,0cba.0.|,| 21rPFr点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.221r在 中，由余弦定理得：21F .)2(cos1r配方，得： .43)(21rr从而.43402156.342sin2121 rSPF解法二：在椭圆 中， ，而16402yx6b.0.3tan2t21 bSPF解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知 P 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则1952yx1F2 21|1PF 的面积为（ ）21FA. B. C. D. 33233解：设 ，则 ，21PF21|cos1PF.60.30tan9t21 bSF故选答
7、案 A.练习6已知椭圆的中心在原点， 、 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且 ， 的面1F2 21|12PF21PF积是 ，准线方程为 ，求椭圆的标准方程 .334x参考答案6解：设 ， .21PF120,|cos21PF， .360tant 221 bbSPF b又 ，即 .34ca 342 cc或 .当 时， ，这时椭圆的标准方程为 ；3c22cba 142yx当 时， ，这时椭圆的标准方程为 ；32 32但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时， 为最大， ，不合题意.60故所求的椭圆的标准方程为 .142yx题型二 中点弦问题 点差法中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解
8、。在椭圆 中，以 为中12byax0(,)Pxy点的弦所在直线方程？例 3. 过 椭 圆 内 一 点 ， 引 一 条 弦 ， 使 弦 被 点 平 分 ， 求 这 条xyMM216421()弦所在的直线方程。分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一 设 所 求 直 线 方 程 为 ， 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 ， 得ykx12()()()()41242602kxkx， 又 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为AyBy xk()1212 122841， 、 ， ， 则 、 是 方 程 的 两 个 根 ， 于 是
9、，又 为 的 中 点 ， ， 解 之 得 ， 故 所 求 直 线 方Mxkk1224()程 为 xy240法二 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为 ， 、 ， ， ， 为 的 中 点 ，AxyBxyMAB()()()121 ， ， 又 、 两 点 在 椭 圆 上 ， 则 ，xy xy1212 1224 464 64012， 两 式 相 减 得 ()()xy yx1212()即 ， 故 所 求 直 线 为kxyAB40点差法1.过点(1，0) 的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 的椭圆 C 相交于2A、B 两点，直线 y= x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点
10、与右焦点关于直21线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将 A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线 AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理.解法一：由 e= ,得 ,从而 a2=2b2,c=b.2ac12ab设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B
11、(x2,y2)在椭圆上.则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x 12x 22)+2(y12y 22)=0,.)(211yxxy设 AB 中点为 (x0,y0),则 kAB= ,又(x 0,y0)在直线 y= x 上，y 0= x0,于是 =02212102yx1,k AB=1, 设 l 的方程为 y=x+1.右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为 (x,y), byxbxy1 12解 得则由点(1,1 b) 在椭圆上，得 1+2(1b) 2=2b2,b2= .89,162a所求椭圆 C 的方程为 =1,l 的方程为 y=x +1.29168yx解法二：由 e=
12、 ,从而 a2=2b2,c=b.,22abac得设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1),将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k 2)x24k 2x+2k22b 2=0,则x1+x2= ,y1+y2=k(x11)+k (x21)=k( x1+x2)2k= .4k 21直线 l：y= x 过 AB 的中点( ),则 ,解得 k=0，或,2121y22kk= 1.若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去，从而 k=1，直线 l 的方程为 y=(x1), 即 y=x +
13、1,以下同解法一.题型三 弦长公式与焦半径公式1、一般弦长公式弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 分别为 A、B 的横坐标，则ykxb12,x ， （若 分别为 A、B 的纵坐标，则 ） ，若弦 AB 所在直线方AB21kx12,yAB212yk程设为 ，则 。ybAB12ky2、焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。1. 第 二 定 义 ： 平 面 内 与 一 个 定 点 的 距 离 和 它 到 一 条 定 直 线 的 距 离 之 比 是 常 数ecaM()0的 动 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆
14、 ， 定 点 为 椭 圆 的 一 个 焦 点 ， 定 直 线 为椭圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率。注意： 对 对 应 于 右 焦 点 ， 的 准 线 称 为 右 准 线 ，xybaFc2 2100()()方 程 是 ， 对 应 于 左 焦 点 ， 的 准 线 为 左 准 线acFcxa21 2()e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。对 于 椭 圆 ， 设 ， 为 椭 圆 上 一 点 ， 由 第 二 定 义 ：xaybPxy210()()左 焦 半 径 左 左rxcrecaex02020右
15、焦 半 径 右 右racxrex200已知点 P 在椭圆 上， 为椭圆的两个焦点，求 的取值范围yb21()F12、 |PF126. 解：设 P ，椭圆的准线方程为 ，不妨设 F1、F 2分别为下焦点、上焦点()xy0， yac2则 |Fyacyca10220， ，| |PPF1020 |()()Facya1200cy202 ，ay0当 时，|PFa122最 大 ， 最 大 值 为当 y cb0 2时 ， 最 小 ， 最 小 值 为|因此， 的取值范围是|F12b2，例 2. 椭 圆 的 焦 点 为 、 ， 点 为 其 上 的 动 点 ， 当 为 钝 角xyFPFP212 1294时，点 P 横坐标的取值范围是_。 （2000 年全国高考题）分析：可先求F 1PF290时，P 点的横坐标。解：法一 在 椭 圆 中 ， ， ， ， 依 焦 半 径 公 式 知 ，abcPFx325351| |PFxFP2 121221235， 由 余 弦 定 理 知 为 钝 角()()()259352 2xx， 应 填法二 设 ， ， 则 当 时 ， 点 的 轨 迹 方 程 为 ，PxyFPPy12 205由 此 可 得 点 的 横 坐 标 ， 点 在 轴 上 时 ， ； 点 在 轴 上xFP35012时 ， 为 钝 角 ， 由 此 可 得 点 横 坐 标 的 取 值 范 围 是FPPx12 35
