1、第三章直线与方程3.1.1 直线的倾斜角和斜率教学目标:知识与技能(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.(3) 理解直线的斜率的存在性.(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式情感态度与价值观(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学用具：计算机教学方法：启发、引
2、导、讨论.教学过程：（一） 直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, 易见 ,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?PcbaYXO(1)它们都经过点 P. (2)它们的 倾斜程度不同. 怎样描述这种 倾斜程度的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地 ,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0.问: 倾斜角 的取值范围是什么? 0180.当
3、直线 l 与 x 轴垂直时, = 90.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度 .如图, 直线 abc, 那么它们YXcbaO的倾斜角 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角 不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 P 和一个倾斜角 .(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角 (90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是k = tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, =
4、90, k 不存在.由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.例如, =45时, k = tan45= 1; =135时, k = tan135= tan(180 45) = - tan45= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率?可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略 )斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当 x1=x2 时
5、，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 = 90, 直线与 x 轴垂直；(2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换 , 但分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 =0，直线与 x 轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到(四) 例题:例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线
6、, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且 x1x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tan0 时, 倾斜角 是锐角; 而当 k = tan=0 时, 倾斜角 是 0.略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/70, 所以它的倾斜角 是锐角 ;直线 BC 的斜率 k2=-0.50, 所以它的倾斜角 是锐角.例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l.分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定; 或者 k=tan=1 是特殊值,所以也可以以原点为
7、角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y0) (x0)所以 x = y可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1). 此时过原点和点 M(1,1), 可作直线 a.同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.(六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念 (2) 直线的斜率公式.(七) 课后作业: P94 习题 3.1 1. 3.(八) 板书设计:3.1.2 两条
8、直线的平行与垂直教学目标(一)知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形3.1.11直线倾斜角的概念 3.例 1 练习 1 练习 32. 直线的斜率4.例 2 练习 2 练习 4结合能力(三)学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题注意：对于两条直
9、线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题教学过程(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式 . 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率 , (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 90，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直(二)两条直线的斜率都存在时, 两直
10、线的平行与垂直设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线 , 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合) 的情形如果 L1L2(图 1-29)，那么它们的倾斜角相等：1=2(借助计算机, 让学生通过度量, 感知 1, 2 的关系 )tan1=tan2即 k 1=k2反过来，如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2，那么 tg1=tg2由于 01180 ， 0180，1=2又两条直线不重合， L1L2结论:
11、 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2, 那么一定有 L1L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形如果 L1L2，这时 12，否则两直线平行设 21( 图 1-30)，甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方；乙图的特征是 L1 与 L2的交点在 x 轴下方；丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上，无论哪种情况下都有1=90+2因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2 ，即 190，所以
12、 20， 可以推出 : 1=90+2 L1L2结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果 k1k2 = -1, 那么一定有 L1L2; 反之则不一定.(借助计算机, 让学生通过度量 , 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持L1L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使 1 为锐角,钝角等).例题例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关
13、系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想 :BAPQ, 再通过计算加以验证 .(图略)解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4)=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3)=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BAPQ.例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想 : 四边形 ABCD 是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上.例 3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0
14、,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系.解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6)=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1k2 = -1 所以 ABPQ.例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状.分析: 借助计算机作图 , 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 ABBC, 再通过计算加以验证.(图略)课堂练习 P94 练习 1. 2. 课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直
15、线平行的条件, 判定三点共线.布置作业 P94 习题 3.1 5. 8.板书设计3.2.1 直线的点斜式方程一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2、过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。3、情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能
16、用联系的观点看问题。二、教学重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。三、教学设想问 题 设计意图 师生活动1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标 满足的关),(yx系式。2、直线 经过点 ，且l),(0yxP斜率为 。设点 是直线k上的任意一点，请建立 与l,之间的关系。0,yx培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标 满足的关),(yx系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。学生根据斜率
17、公式，可以得到，当 时， ，即0x0xk（1）)(0y教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。yxOPP03、（1）过点 ，斜率),(0yP是 的直线 上的点，其坐标都满kl足方程（1）吗？使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。学生验证，教师引导。问 题 设计意图 师生活动（2）坐标满足方程（1）的点都在经过 ，斜率为 的直),(0yxPk线 上吗？l 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 学生验证，教师引导。然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）.4、直线的点斜式方程能否表示坐
18、标平面上的所有直线呢？使学生理解直线的点斜式方程的适用范围。学生分组互相讨论，然后说明理由。5、（1） 轴所在直线的方程是x什么？ 轴所在直线的方程是什么？y（2）经过点 且平行于),(0xP轴（即垂直于 轴）的直线方xy程是什么？（3）经过点 且平行),(0x于 轴（即垂直于 轴）的直线y方程是什么？进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式。教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。6、例 1 的教学。 学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率。教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目
19、那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。y x O P 0 yxOP0同时掌握已知直线方程画直线的方法。7、已知直线 的斜率为 ，且lk与 轴的交点为 ，求直线y),0(b的方程。l 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。学生独立求出直线 的方程：l（2）bkxy再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。8、观察方程 ，它的bkxy形式具有什么特点？深入理解和掌握斜截式方程的特点？学生讨论，教师及时给予评价。问 题 设计意图 师生活动9、直线 在
20、轴上的截距是什么？使学生理解“截距”与“距离 ”两个概念的区别。学生思考回答，教师评价。10、你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？一次函bkxy数中 和 的几何意义是什么？你能说出一次函数 3,12图象的特点吗？体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。11、例 2 的教学。 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中 的几bk,何意义。教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考（1） 时， 有2/l21,;bk何关系？（2） 时，21l有何关系？在此由学21,;bk生得出结论：且 ；,/2121l21bk12、
21、课堂练习第 100 页练习第1，2，3，4 题。巩固本节课所学过的知识。学生独立完成，教师检查反馈。13、小结 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙教师引导学生概括：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一去脉。 条直线的方程，要知道多少个条件？14、布置作业：第 106 页第 1 题的（1）、（2）、（3）和第 3、5题巩固深化 学生课后独立完成。3.2.2 直线的两点式方程一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2、过程与方法让学生
22、在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。二、教学重点、难点：1、 重点：直线方程两点式。2、难点：两点式推导过程的理解。三、教学设想问 题 设计意图 师生活动1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线 经过两点l,求直线 的方)53(,2Pl程.（2）已知两点其中),(),(221yx，求通过这x两点的直线方程。遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什
23、么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1） )1(23xy（2） 1121y教师指出：当 时，方程可以写成1),(2121212 yxxy由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.2、若点 使学生懂得 教师引导学生通过画图、观察和分析，中有),(),(221yxP，或 ，此时这x1两点的直线方程是什么？两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。发现当 时，直线与 轴垂直，所21xx以直线方程为： ；当 时，1
24、2y直线与 轴垂直，直线方程为：y。1问 题 设计意图 师生活动3、例 3 教学已知直线 与 轴的交点为 Alx，与 轴的交点为 B)0,(ay，其中 ，求b0,b直线 的方程。l 使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线 的方l程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程： 1byax教师指出： 的几何意义和截距式方,程的概念。4、例 4 教学已知三角形的三个顶点 A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求 BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边 BC 所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。5、课堂练习第 102 页第 1、2、3 题。学生独立完成，教师检查、反馈。6、小结 增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？7、布置作业 巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。学生课后完成3.2.3 直线的一般式方程一、教学目标
