1、高中数学讲义之解析几何1圆锥曲线第 1 讲 椭圆【知识要点】1、 椭圆的定义1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点 1F、 2的距离之和等于定长 a2（ 21F）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注 1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作 a）大于这两个定点之间的距离 21（记作 c） ，否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（）当 a时，点的轨迹是椭圆；（）当 时，点的轨迹是线段 21F；（）当 c2时，点的轨迹不存在。注 2：若用 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 aMF21（ c，McF1） ，即 211F.注 3：凡是有关椭
2、圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a21千万不可忘记。2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数 e（ 10）的点的轨迹叫做椭圆。2、 椭圆的标准方程（1 ） 焦点在 x轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12byax（ 0a） ；（2 ） 焦点在 y轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 2（ ）.注 1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在 x轴还是在 y轴，主要看长半轴高中数学讲义之解析几何2跟谁走。长半轴跟 x走，椭圆的焦点在 x轴；长半轴跟 y走，椭圆的焦点在 y轴。（1 ） 注 2：求椭圆的方程通常采用待定系
3、数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12bya（ 0a）或12bay（ 0a） ；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在 x轴上还是 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12nymx（0m， n，且 n）. 3、 椭圆的性质以标准方程12byax（ 0a）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1 ） 范围： x， by；（2 ） 对称性：关于 轴、 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3 ） 顶点：左右顶点分别为 )0,(1aA， ),(2；上下顶点分别为 ),0(1bB， ),(2；（4 ） 长轴长为 a2，短轴长为 b，焦距为 c；（5 ） 长半轴 、短半轴 、半焦距
4、 之间的关系为 22cba；（6 ） 准线方程： cx2；（7 ） 焦准距：b2；（8 ） 离心率： ace且 10. e越小，椭圆越圆； e越大，椭圆越扁；（9 ） 焦半径：若 ),(0yxP为椭圆 2byax在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有 01eaF， 2e；（10 ）通径长：b.注 1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点 )0,(2cF和右高中数学讲义之解析几何3准线 l： cax2为例，可求得其焦准距为 cbac222.注 2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴
5、的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为12byax（ 0a） ，过其焦点 )0,(2cF且垂直于 x轴的直线交该双曲线于 A、 B两点（不妨令点 A在 x轴的上方） ，则,abA，),2B，于是该椭圆的通径长为 abab22)(.4、 关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题（1 ）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值” （指 a、 b、 c的值或它们之间的关系，由这个关系结合 22bac，我们可以确定出 、 、 的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置
6、特征，并能得到 、b、 c的值。（2 ） 椭圆的标准方程中的参数 a、 b、 c是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；a、 、 三者之间的关系： 22必须牢固掌握。（3 ） 求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数 a、 b。根据题目已知条件，我们列出以 a、 b为未知参数的两个方程，联立后便可确定出 、 的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在 x轴或 y轴上，则以 、 为未知参数的方程组只有一个解，即 、 只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以 a、b为未知参数的方程组应有两个解，即 a、 b应有两个值。（4 ） 有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方
7、程也可设为 12nymx，但此时 m、n必须满足条件： 0m， n，且 n. 5、 点与椭圆的位置关系高中数学讲义之解析几何4点 ),(0yxP与椭圆12byax（ 0a）的位置关系有以下三种情形：（）若 2，则点 ),(0yxP在椭圆上；（）若120byax，则点 ),(0在椭圆外；（）若 20，则点 ),(0yxP在椭圆内；【例题选讲】题型 1：椭圆定义的应用1. 平面内存在一动点 M到两个定点 1F、 2的距离之和为常数 a2（ 21F） ，则点M的轨迹是（）A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段解：由题意知， 2121aF（）当 2a时，点 M的轨迹是椭圆；（）当 1时，点
8、 的轨迹是线段 21F.故点 的轨迹是椭圆或线段2. 已知圆 C： 36)1(2yx，点 )0,1(A， M是圆 C上任意一点，线段 AM的中垂线 l和直线 M相交于点 Q，则点 的轨迹方程为_.解：圆 ： )(2yx的圆心坐标为 ),(，半径 6r连接 A，由 l是直线 的中垂线知， QA6rCQCQ而 2， A于是点 的轨迹是以 )0,1(， ),(为左右焦点的椭圆，其中 62a， 2c高中数学讲义之解析几何53a， 1c， 81922cab又该椭圆的中心为坐标原点故点 Q的轨迹方程为 892yx3. 已知点 )0,3(A，点 Q是圆 42yx上的一个动点，线段 AQ的垂直平分线交圆的半径
9、 O于点 P，当点 在圆周上运动时，点 P的轨迹方程为_.解：圆 ： 42yx的圆心坐标为 )0,(O，半径 2r连接 A，由 l是直线 Q的垂直平分线知， AQ2rPPO而 3， OA于是点 的轨迹是以 )0,(， ),3(为左右焦点的椭圆，其中 2a， 3c1a， 23c， 412cab又该椭圆的中心为 OA的中点)3,0()2,(A故点 P的轨迹方程为14)2(2yx注：本题点 的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点)0,23(对称，其方程可由把椭圆142yx沿 x轴向右平移了 23个单位得到。4. 方程 222yxxy表示的曲线是（）A. 椭圆 B. 双曲线 C.
10、抛物线 D. 线段高中数学讲义之解析几何6解：由 2222yxxy，有1,02)1()(2yx这表明，点 ),(P到定点 )1,(F的距离与它到定直线 l： 02yx的距离之比等于常数 2（0） 由椭圆的第二定义知，点 ),(P的轨迹是椭圆，即方程22yxxy表示的曲线是椭圆。5. 椭圆132的左、右焦点分别为 1F、 2，点 P在椭圆上。若线段 1PF的中点在y轴上，则 1PF是 2的（）A. 7 倍 B. 5 倍 C. 4 倍 D. 3 倍解：在椭圆 312yx中， 912,3,122bacba,cba于是 )0(21F又 线段 P的中点在 y轴上，而 O是线段 21F的中点轴y2于是 轴
11、xF（法一）在 12PRt中，21221FPF3694)( 221 c又由椭圆的定义，有 1a34621PF高中数学讲义之解析几何7联立、得， 237341PF， 23742PF故7231，即 1PF是 2的 7 倍。（法二）32ab，而 34221aPF7341PF故7231，即 1PF是 2的 7 倍。6. 设 1F、 2为椭圆 492yx的两个焦点， P为椭圆上的一点。已知 P， 1F， 2是一个直角三角形的三个顶点，且 21FP，则 21=_.解：在椭圆 492yx中， 549,4,9222 bacba5,3cba于是 )0(1F， ),(2（）当9P时， 205421221 cFPF
12、又 6321a 820362)()( 21121 F于是 44)()( 11 PFPP又 21高中数学讲义之解析几何821PF联立、得，461， 2462PF于是此时22PF（）当901时，21221FPF054)( 2221 c而 63aPF1021联立、得， 3146281PF， 34162PF于是此时73421故 21PF的值为 2 或题型 2：求椭圆的方程7. （1）若方程1352kyx表示椭圆，则 k的取值范围是_ ；（2 ）若方程2表示焦点在 x轴上的椭圆，则 k的取值范围是_ ；（3 ）若方程1352kyx表示焦点在 y轴上的椭圆，则 的取值范围是_.解：（1） 方程2表示椭圆高
13、中数学讲义之解析几何954350kk或故当 )5,4(,时，方程132kyx表示椭圆。（2 ） 方程132kyx表示焦点在 x轴上的椭圆4503k故当 )4,(时，方程1352kyx表示焦点在 x轴上的椭圆。（3 ） 方程2k表示焦点在 y轴上的椭圆5450k故当 ),(时，方程132kyx表示焦点在 y轴上的椭圆。8. 已知椭圆142myx的焦距为 2，则 m=_.解：由题意知， c 于是 12cba（ ）（）当椭圆142yx的焦点在 x轴上时， 42， m2于是由（ ）式，有 3m（）当椭圆142yx的焦点在 y轴上时， a2， 42b于是由（ ）式，有 5故 m的值为 3 或 5高中数学
14、讲义之解析几何109. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且经过点 )0,3(P，则该椭圆的方程为_.解：由题设条件知， ba23（）当椭圆的焦点在 x轴上时，设其方程为12yx（ 0ba）则由该椭圆过点 )0,3(P，有192ba联立、得， 2，于是此时该椭圆的方程为192yx（）当该椭圆的焦点在 轴上时，设其方程为12bxay（ 0a）则由该椭圆过点 )0,3(P，有192ba联立、得， 2b， 8于是此时该椭圆的方程为192xy故所求椭圆的方程为2或 8210. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴，且经过两点 )1,6(P，)2,3(2P，则椭圆的方程为_.解：设所求椭圆的方程为 12nymx（ 0， n，且 nm）则由该椭圆过 )1,6(P， )2,3(2两点，有 1236n，解得：319n
