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1、立体几何第 1 页高中文科数学立体几何部分整理第一章 空间几何体（一）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方， “长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等， “宽度”与俯视图。 （简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形

2、，而不是直观图。3.直观图：3.1 直观图是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2 斜二测法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy ， （即取 ） ；90xoystep2：画直观图时，把它画成对应的轴 ，取 ，它们确定的,oxy45(13)r平面表示水平平面；step3：在坐标系 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行xoy于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于 y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 倍.24解决两种常见的题

3、型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 分别是 三边的中点）得ABC， ， GHI到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）立体几何第 2 页EFDIAH GB CEFDAB C侧视图 1 图 2BEABEBBECBED解：在图 2 的右边放扇墙(心中有墙 ),可得答案 A（二）立体几何1.棱柱1.1 棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所

4、围成的几何体叫做棱柱。1.2 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： 底 面 是 正 多 形棱 垂 直 于 底 面斜 棱 柱棱 柱 正 棱 柱直 棱 柱 其 他 棱 柱 四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体1.3 棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4 面积、体积公式： （ 是底周长， 是高）chS直 棱 柱 侧 hS 直棱柱表面 = ch+

5、2S 底 V 棱柱 = S 底 h2.圆柱2.1 圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都l上上上上上上E B DCAFBDEAF C上 上 上上 上 上 上上上 上CAA O COBB立体几何第 3 页是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4 面积、体积公式：S 圆柱侧= ；S 圆柱全= ，V 圆柱=S 底 h= （其中 r 为底面半径，h 为圆柱高）2rh2rh2r3.棱锥3.1 棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共

6、顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2 棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。 ） （如上图： 为直角三角形）,SOBHSOBAA3.3 侧面展开图：正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。3.4 面积、体积公式：S 正棱锥侧= ，S 正棱锥全= ，V 棱

7、锥= .（其中 c 为12ch12ch底 13h底底面周长， 侧面斜高，h 棱锥的高）正四面体：对于棱长为 正四面体的问题可将它补成一个边长为 的正方体问题。a a2对棱间的距离为 （正方体的边长）2正四面体的高 （ ）a36正 方 体 体 对 角 线l正四面体的体积为 （ ）312正 方 体小 三 棱 锥正 方 体 VV14上 上 上 上上 上上上 上上 上O CDA B HS立体几何第 4 页正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 （ ）3:1正 方 体 体 对 角 线正 方 体 体 对 角 线 ： ll2164.棱台4.1 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称

8、为棱台.4.2 正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； 如右图：四边形 都是直角,OMNB梯形棱台经常补成棱锥研究.如右图： ，注意考虑相似比.SAA上ON,B上S4.3 棱台的表面积、体积公式： 侧， ， （其中上上 1)3VSh上是上，下底面面积，h 为棱台的高）,S5.圆锥5.1 圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。5.2 圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；轴截面是等腰三角形；如右图： SAB如右图： .

9、22lhr5.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。5.4 面积、体积公式：S 圆锥侧= ， S 圆锥全= ，V 圆锥= （其中rl()rl213rhr 为底面半径，h 为圆锥的高， l 为母线长）rl h上 上 上上 上上 上上 上 上上 上AO BS上 上 上上 上上 上上 上上 上上上 上 上NMA CBDO CDABSO立体几何第 5 页6.圆台6.1 圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 6.2 圆台的性质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来研究。如右图：，注意相似比的

10、应用.SOAB上6.3 圆台的侧面展开图是一个扇环；6.4 圆台的表面积、体积公式：S 圆台侧 = (R + r)l (r、R 为上下底面半径)S 圆台全 = r2 + R2 + (R + r)lV 圆台 = 1/3 ( r2 + R2 + r R) h (h 为圆台的高)7.球7.1 球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2 球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面； （其中，球心到截面的距离为2rRdd、球的半径为 R、截面的半径为 r）7.3 球与多面体的组合体：球

11、与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。7.4 球面积、体积公式：r dR上 上上上 上上 上AOO1 B ACD BCDOA BOCAA cl 上 上 上rRh上 上 上上 上 上上 上上上 上 DOBOACS立体几何第 6 页（其中 R 为球的半径）234,SRV球 球例：（福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为 ，则正方体的棱长为32_例题讲练1、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A B910C D 2解：从三视图可以看出该几何体

12、是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，其表面及为：，故选 D。241213.S2、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图 )是一个底边长为6、高为 4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S解:由已知可得该几何体是底面为矩形，高为 4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD。(1) 18643(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且 BC边上的高为, 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形,2184hAB 边上的高为2245h俯视图 正(

13、主)视图 侧(左)视图2322立体几何第 7 页因此 112(6485)4022S3、用与球心距离为 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（ ）A. B. C. D. 83282832解：截面面积为 截面圆半径为 1，又与球心距离为 球的半径是 ，1所以根据球的体积公式知 ，故 B 为正确答案 3482RV球第二章 点、直线、平面之间的位置关系（一） 平面的基本性质1.平面无限延展，无边界1.1 三个定理与三个推论公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。(用于证明直线在平面内)公理 2：不共线的三点确定一个平面. (用于确定平面)推论 1：直线与直线外的一点确定

14、一个平面. 推论 2：两条相交直线确定一个平面. 推论 3：两条平行直线确定一个平面. 公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.立体几何第 8 页（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系： 共 面 :ab=A,/异 面 与 异 面1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述： /,/abc1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（2）判定定理：连平面

15、内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。图形语言：a AP符号语言： PAaa上1.4 异面直线所成的角：（1）范围： ；（2）作异面直线所成的角：平移法.0,9如右图，在空间任取一点 O，过 O 作 ，则/ab所成的 角为异面直线 所成的角。特别地，找异面,ab,b直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.ba baO立体几何第 9 页2.直线与平面的位置关系： /lAl3.平面与平面的位置关系：平 行 ： /斜 交 ： =a相 交 垂 直 ：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：定义

16、：直线与平面无公共点.即 ./ll判定定理： （线线平行 线面平行）/ab 性质定理： （线面平行 线线平行）/aab (面面平行 线面平行)； （用于判断） ； /a /ba2.线面斜交： lA直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。 【如图】 于POO，则 AO 是 PA 在平面 内的射影， 则 就是直线 PAA与平面 所成的角。范围： ，注：若 ，则直线 与平面0,9/ll或 l所成的角为 ；若 ，则直线 与平面 所成的角为 。l90APO立体几何第 10 页3.面面平行：定义： ；/判定 1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述： （如图一）,/abOab判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述： .【如图二】,/aOba图一 图二面面平行的性质：（1） （面面平行 线面平行） ；/a（2） ；（面面平行 线线平行）/ab（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意 都有 ，且 ，则 .,alall判定定理： （线线垂直 线面垂直）,bOllalb证明或判定线面垂直的依据：（1） （较常用） ；（2）/ab/aa