1、有这么一个故事-离心率经典的，不会那么容易过时- 1关于椭圆离心率设椭圆 的左、右焦点分别为 ，如果椭xayba210（ ） F12、圆上存在点 P，使 ，求离心率 e 的取值范围。F129解法 1：利用曲线范围设 P（x，y），又知 ，则cFc1200（ ， ） ， （ ， ）FcPxyPxcy1221212290()()()， ， ，由 ， 知 ，则 ，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得xacbFPacba221222900但 由 椭 圆 范 围 及知即可 得 ， 即 ， 且从 而 得 ， 且所 以 ， ） caecae2 2121解法 2：利用二次方程有实根由椭圆定义知|PF
2、aPFPFa12122124有这么一个故事-离心率经典的，不会那么容易过时- 2又 由 ， 知则 可 得这 样 ， 与 是 方 程 的 两 个 实 根 ， 因 此FPcauac1212212 29040|()| ()48022cea()因 此 ，e)21解法 3：利用三角函数有界性记 PFF1221， ， 由 正 弦 定 理 有|sin|i|sin|sinsincoscosPFaFeca12129012212又 ， ， 则 有而知从 而 可 得0924512|cose有这么一个故事-离心率经典的，不会那么容易过时- 3解法 4：利用焦半径由焦半径公式得| |PFaexaexFcccaexePy
3、xaxa12212 2222 240，又 由 ， 所 以 有即 ，又 点 （ ， ） 在 椭 圆 上 ， 且 ， 则 知 ， 即02122ce得 ， ）解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有 平方后得12aPF|4 282122121212aPFPFc|(|)|得 c2所 以 有 ， ）e解法 6：巧用图形的几何特性由 ，知点 P 在以 为直径的圆上。FP1290|Fc12又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点 P故有 cba22由 此 可 得 ， ）e1有这么一个故事-离心率经典的，不会那么容易过时- 4演练一、直接求出 ac，或求出 a 与 b 的比值，以求解 e。在椭圆中， e， 2
4、221abc1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 32.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的 2 倍，则其离心率为 23.若椭圆经过原点，且焦点为 )0,3(,1F,则椭圆的离心率为 14.已知矩形 ABCD， AB4， BC3，则以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的离心率为 12。5.若椭圆 )0(,bayax短轴端点为 P满足 21F，则椭圆的离心率为 e2。6.已知 )0.(1nm则当 mn 取得最小值时，椭圆2nyx的的离心率为 237.椭圆 1(0)ab的焦点为 1F， 2，两条准线与 x轴的交点分别为 MN， ，若 2 ，则该椭圆离心率的取值范围是2
5、，8.已知 F1为椭圆的左焦点， A、 B 分别为椭圆的右顶点和上顶点， P 为椭圆上的点，当 PF1 F1A， PO AB（ O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e2。9.P 是椭圆 ax+ 2by=1（ a b0）上 一 点 ， 21F、 是 椭 圆 的 左 右 焦 点 ， 已 知有这么一个故事-离心率经典的，不会那么容易过时- 5,2,121FP ,321椭圆的离心率为 e1310.已知 、 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,51221， 则椭圆的离心率为 611.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为12.设椭圆 2byax
6、=1（ a b0）的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是 2。13.椭圆 12bya（ab0）的两顶点为 A（a,0）B(0,b),若右焦点 F到直线 AB 的距离等于 AF，则椭圆的离心率是 36。 14.椭圆 12byax（ab0）的四个顶点为 A、B、C、D，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是 215 15.已知直线 L 过椭圆 12byax（ab0）的顶点 A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线 L 的距离为 ，则椭圆的离心率是 36 16.在平面直角坐标系中，椭圆2xyab1( ab
7、0)的焦距为 2，以O 为圆心， a为半径作圆，过点 ,0c作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= 2 有这么一个故事-离心率经典的，不会那么容易过时- 617.设椭圆21(0)xyab的离心率为 1e2，右焦点为 (0)Fc， ，方程 abc 的两个实根分别为 x和 ，则点 12Px， （ A ）必在圆 2xy内 必在圆 2y上必在圆 外 以上三种情形都有可能二、构造 ac，的齐次式，解出 e1已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 532以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线 MF1与圆相切，则椭圆的离心率
8、是 33以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果MF=MO，则椭圆的离心率是 134设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F 2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 25已知 F1、F 2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 36设 12、 分别是椭圆 0xyab的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为 3c （ 为半焦距）的点，且 12F，则椭圆的离心率是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1已知 1F、
9、2是椭圆的两个焦点，满足 120M的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 (0,)2已知 21、 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 9021PF，椭圆离心率 e 的取值范围为 1,23已知 21F、 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 21，椭圆离心率 e 的取值范围为 ,有这么一个故事-离心率经典的，不会那么容易过时- 74设椭圆 12byax（ab0）的两焦点为 F1、F 2，若椭圆上存在一点Q，使F 1QF2=120，椭圆离心率 e 的取值范围为 136e 5在 ABC 中， ， 7cos18B若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 e36设 12F， 分别是椭圆2xyab（ 0a）的左、右焦点，若在其右准线上存在 ,P 使线段 1F的中垂线过点 2，则椭圆离心率的取值范围是 3，7如图，正六边形 ABCDEF 的顶点 A、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点 B、C、E、F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是 13B C F EA D
