1、5.导函数不等式1. 已知函数 ()exfkR，（）若 k，试确定函数 ()f的单调区间；（）若 0，且对于任意 x， ()0fx恒成立，试确定实数 k的取值范围；（）设函数 ()()Fxf，求证：12(1)2ennN分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。解：（）由 ek得 ()exf，所以 ()exf由 ()0fx得 1，故 的单调递增区间是 1)， ，由 得 ，故 ()fx的单调递减区间是 (， （）由 ()fx可知 是偶函数于是 0对任意 R成立等价于 (
2、)0fx对任意 0x 成立由()exfk得 lnk当 (1， 时， ()e1()xfkx 此时 ()fx在 )， 上单调递增故 ()0fxf ，符合题意当 1k， 时， ln0k当 x变化时 ()fx， 的变化情况如下表：x()， lkln)k，()f0x单调递减 极小值 单调递增由此可得，在 0)， 上， ()ln)lfxfkk 依题意， ln0k，又 1ek， 综合，得，实数 k的取值范围是 0e（） ()()xFxf，1212121212121212() ()eeeexxxxxxx，()n，11)e(2.nF 由此得， 2 1)()(1)(2)1()(e2)nFnFF 故 1(1enFn
3、N ，2. 设3)xf，对任意实数 t，记23()tgxt（）求函数 8()yfx的单调区间；（）求证：（）当 0x时，()tfxg对任意正实数 t成立；（）有且仅有一个正实数 0x，使得 800()tgx对于任意正实数 t成立。分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、化归（转化）思想方法（I）解：3164xy由 20，得 2因为当 (2)x， 时， y0，当 ()x， 时， y，当 ()， 时， ，故所求函数的单调递增区间是 ， ， ()， ，单调递减区间是 (2)， （II）证明：（i）方法一：令23()()(
4、0)txhxfgtx，则23()hxt，当 0t时，由 ()0hx，得13t，当13()x，时， ()0hx，所以 ()在 ， 内的最小值是 )0h故当 时， ()tfgx 对任意正实数 t成立方法二：对任意固定的 0x，令23()(0)thgxt，则132()()htxt，由 ()ht，得 3t当 3t时， ht；当 3tx时， 0t，所以当 3tx时， ()ht取得最大值31()x因此当 时， ()fxg 对任意正实数 成立（ii）方法一： 8(2)()3tfg由（i）得， (2)ttg 对任意正实数 t成立即存在正实数 02x，使得 xt 对任意正实数 成立下面证明 的唯一性：当 02x
5、， 0， 8t时，30()xf， 016()43xg，由（i）得，30164x，再取30t，得 300()x，所以 300()()x xgg，即 02时，不满足 00()()xtg 对任意 t都成立故有且仅有一个正实数 02，使得 00()()xt 对任意正实数 t成立方法二：对任意 0x， 016()43xg，因为 0()tg关于 t的最大值是 0，所以要使 00()()xtg 对任意正实数成立的充分必要条件是： 300164xx，即200()4x， 又因为 0，不等式成立的充分必要条件是 02x，所以有且仅有一个正实数 2x，使得 00()()xtg 对任意正实数 t成立3. 定义函数 f
6、 n( x )(1x)n1, x2，nN*(1)求证：f n ( x ) nx；(2)是否存在区间 a，0 (a0)，使函数 h( x )f 3( x )f 2( x )在区间a，0上的值域为ka，0?若存在，求出最小实数 k 的值及相应的区间a，0，若不存在，说明理由.分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、数形结合思想方法解：(1)证明：f n( x )nx(1x)n1nx，令 g( x )(1x)n1nx , 则 g( x )n(1x)n11.当 x(2，0)时， g( x )0,当 x(0，）时，g( x
7、)0，g( x )在 x0 处取得极小值 g( 0 )0，同时 g( x )是单峰函数，则 g( 0 )也是最小值 .g( x )0, 即 f n ( x )nx (当且仅当 x0 时取等号). 注：亦可用数学归纳法证明.(2)h( x )f 3( x )f 2( x )x( 1x )2 h( x )(1x)2x2(1x)(1x)(13x)令 h(x)0, 得 x1 或 x ， 13当 x(2，1)，h(x)0；当 x(1， )时，13h(x)0；当 x( ,)时，h(x)0.13故作出 h(x)的草图如图所示，讨论如下：当 时，h(x)最小值 h(a)ka k(1a)213 a 0 49当
8、时 h(x)最小值 h(a)h( ) ka 43 a 13 13 427 k 427a19 k 49当 时 h( x )最小值 h( a )a(1a)2ka k(1a)2 ，a 43 19时取等号.a 43综上讨论可知 k 的最小值为 ，此时a，0 ，0.19 43例 4. 已知)(2)(Rxaxf在区间 1,上是增函数。（1）求实数 的值组成的集合 A；（2）设关于 x的方程1fx的两个非零实根为 1x、 2。试问：是否 Rm，使得不等式 |212tm对 a及 ,t恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由。分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及
9、综合运用所学知识分析和解决问题的能力函数方程思想、化归（转化）思想方法解：（1） )(xf)(2Rxa 22)()(f 2)(xa )(xf在 1,上 )(f0)(2对 1,x恒成立即 1,x，恒有 022ax成立设 )(2g 1,1)(Aga（2） xaxf12022ax 08 1、 是方程 022ax的两不等实根，且ax21， 21 3,84)(|21axx |212tm对 A及 1,t恒成立 3对 ,t恒成立设 )()(2tth， ,1 0对 ,恒成立 1202)1( mmh或或 ),满足题意5. 已知函数 )(ln(aexfx。（1）求函数 )y的反函数 (1xfy和 )f的导函数 )
10、(xf；（2）假设对 )4l(,3x，不等式 0ln|(|1xm成立，求实数 m的取值范围。分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力化归（转化）思想方法解：（1） )ln(aeyx yxe ayx )ln(aexy )l()fx )ln(x fx)（2） )4ln(,3ax， 0)(ln|)(|1xffm成立 xxeaeemll|)ln(| ax )ln()l(l设 xaeegxn)() ， xaeehxx)ln(4l,3nx )(a恒有 )()(xmg成立1)(exgxx )4ln(,3a 4,3aex aaxx0
11、 1ex，10x )(g， ）(在 )4ln(,3上 mx)4lnma 即 a)l(5l)3ln( )512ln(a 01exhxx )(xh在 )4ln(,3a上 )3(ln)(miah )l(l)2ln(am )38l(m 的取值范围是8l,512l6.设函数),1,()( Nxnnxf 且.()当 x=6 时,求1的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数 x,证明 2)(fxf );)(的 导 函 数是 xffx()是否存在 Na,使得 ank1 na)1(恒成立?若存在,试证明你的结论并求出 a 的值;若不存在,请说明理由.（）解：展开式中二项式系数最大的项是第 4 项，这项是3
12、56120Cn（）证法一：因2212nfxf21nnnl2n 1l2nfx证法二：因221nfxf221n1n而2lnf故只需对1n和l进行比较。令 lgxx，有 1xgx，由10x，得 1x因为当 01时，0， 单调递减；当 时， 0g，gx单调递增，所以在 1x处 g有极小值 1故当 时， g，从而有 lnx，亦即 ln1lxx故有1ln恒成立。所以 22fff，原不等式成立。（）对 mN，且 1有201 11kmmmCC 2111211! ! !k mmmmk 22! !k 113m 12k 1 1231km 3m又因102,34,kC，故123m2m，从而有 1knkn成立，即存在 a，使得 123nk恒成立。
