1、高数（2）历届试题汇编 第 1 页（共 6 页）高数（2）历届试题汇编（20032008）一、填空题和单项选择题:1、 （2003）交换二次积分的次序 102),(xdyfd./1212/0 ,),(yy fdxfd2、 （2003）幂级数 的收敛域为 .nnx)3( )31,3、 （2004）交换二次积分的次序 102(ydxfd.xx fdyfd10 ),(),(24、 （2004）级数 收敛的充要条件是 满足不等式 .1/)nne2/55、 （2004）设 在 处条件收敛，则其在 处( A )xa(02xA.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性不确定6、 （2005）由方程 所确
2、定的隐函数 在点522xyz ),(yz处的全微分 .则则10P0Pdd17、 （2005）.交换二次积分的次序 242),(xyf. yy fxfd4020 ),(),(8、 （2005）将 展开成 的幂级数,并指出其收敛域:21x )(xf.)6(,)(410 xnn9、 （2005）.设 ,则级数 ( B ) nulim1(nnuA.收敛于 0 B.收敛于 C.发散 D.敛散性不确定110、 （2006）设 : 所围成,则 = .D2yxDdxy)ta(211、 （2006）交换二次积分的次序 20,yxfd.2020 2),(),(xx fdyf12、 （2006）级数 的敛散性为 收
3、敛 .11n13、 （2007）考虑二元函数 的下面四条性质：),(yxf函数 在点 处连续 函数 在点 处两个偏导数连),(yxf0 ),(yxf),(0续 高数（2）历届试题汇编 第 2 页（共 6 页）函数 在点 处可微 函数 在点 处两个偏导数存),(yxf),(0 ),(yxf),(0在则下面结论正确的是( A )A. B. C. D. 14、 （2007）二次积分 可以写成( D )2/0cos)sin,(rdrfdA. B. 102),(yxfd102yxfC. D.x2),(x15、 （2007）XOY 平面上的抛物线 绕 X轴旋转而成的旋转曲面的方程为z5.zy5216、 （
4、2007）二次积分 = .21sinydx2cos117、 （2007）设 ,则 = .|),(2RxDDdxy)(418.（2008）已知三角形 的顶点分别为 ，则三角形ABC)2,01(,3CBA的面积为 .ABC2319.（2008）设函数 ，则全微分 .xyeyxz)(),)0,2(dzdyx20.（2008）交换二次积分的次序 .012,(yfd1),(f21.（2008）函数 展开成 的幂级数为 .xf2)()(0!lnnx22.（2008）设 ，则 与 的夹角为（ B ）A. B.baba24, 0C. D.2/6/3/23.（2008）设 确定了隐函数 ，则 （ A )sin(
5、2zxyzx),(yxzyzx）A. B. C. D.24.（2008）设 D： ( C ) A.0 B.1/3 Ddyx)|(,1|则C.2/3 D.4/3 25.（2008）设 在 处发散，则其在 处( C ) A.绝对收敛 B.条件nnxa)3(140x收敛 C.发散 D.无法判断敛散性二、解答题:1、 （2003）求幂级数 的和函数 . 答案： = , 12nx)(xs)(xs)1ln(22x)1,(2、 （2003）将 展开成 的幂级数,并求展开区间. )3l(y答案: ,012nn)高数（2）历届试题汇编 第 3 页（共 6 页）3、 （2004）求函数 在区域 上的最大值和最小值
6、。yxyxz16222yx5答案：最大值 125，最小值 。754、 （2004）计算二重积分 ，其中 : . 答案：Dd| D10,| 55、 （2004）求幂级数 的收敛域与和函数. 答案： , =1nx)(xs)lnx6、 （2004）将 展开成 的幂级数,并求展开区间.32)(f x答案: ,01nnxf )1,(7、 （2005）计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平DdxysiD6,0xy面闭区域. 答案： 238、 （2005）判别级数 是否收敛？如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？17sin!答案：绝对收敛9、 （2005）求幂级数 的收敛域并求其和函数 .答案： , =13
7、nx)(xs)3(xs2)310、 （2006）设 ，其中 具有二阶连续偏导数,求 ),()(ygfzgf yz答案: =yx2 221fg11、 （2006）将 展开成 的幂级数. 65)(xf答案: ,013nnf )3/1,(12、 （2006）求幂级数 的收敛域及和函数. 12n答案： = , ; =0,)(xs)l(x)1,0(,xs013、(2006)求旋转抛物面 在第一卦限内的面积. 答案：2yz12314、 （2006）设 ， ，试判别级数 的敛散性.),1(0na nnaas21 nsa答案：收敛，提示：部分和 121sn15、 （2007）1.设 ,其中 具有二阶连续偏导数
8、 ,求 , , .)(2xyfzf xz2yz答案： = , = , =x21z121214fxy 2f高数（2）历届试题汇编 第 4 页（共 6 页）12212)(4fyxfyf x16、 （2007）设 ,其中 由方程 所确定,zeu),(yz0xyz的隐函数,求 答案：5)1,0(|解： （* 1） ，又方程对 x求导得 ，xyzex21xzx从而 代入（* 1）得 ，故 =5.z1yzeux2)1,0(|u17、(2007)计算 ，其中 是由双曲线 和直线 所围成的Dydx2 2y平面闭区域. 答案： 15)4(18、 （2007）求双曲抛物面 被柱面 所截出的部分的面积. z22Ry
9、x答案： )(3223R19.（2008）设 ,其中 具有二阶连续偏导数,求 .答案： = , )xyfzf yxz2xz21fy=yxz2121(f解： = , = =2fyxz )(21212 xfyfxfyf .112)(f220.（2008）求函数 的极值. 答案：极小值xz962 1)4,(z解：解方程组 ，得驻点 .因09yxy )4,1(且 ，,02yx zCzBzA 032BA故函数在点 处取得极小值 .)4,1( 2)(21.（2008）判别级数 的敛散性. 答案：收敛13nn解：因为 ，且)(20n1nn32)(v，32lim3li1nvn所以 收敛，故原级数收敛.（注：本
10、题在 08级考试中失分非常严重！原因是错误地1直接运用了比值法或根值法，并认为其极限小于 1.然而直接比值法或根值法极限不存在.）nnuli;li22、(2008)求由圆锥面 与圆柱面 所围成的立体体积. 答22yxz)0(2axy高数（2）历届试题汇编 第 5 页（共 6 页）案： 983a解：由对称性知 =dxyxVayx)0(22=/233cos02/ cos dda 2/033cos4da= .（注：本题为高等数学习题课教程 P146页 B5原题）!49823.（2008）在平面 上求一点，使它与两个定点 的距离平方1zyx )1,02(),QP和最小. 答案： )2,1(解：设所求点
11、为 ，则M=)1()2()1( 2222 zyxzyxQP2)()(x设 = ，解方程组：,zyL1z得唯一可能的极值点 ，即为所求点.01)(4zyxLzyx)21,(24.(2008)求幂级数 的收敛域与和函数. 答案： ， =12n ),(xs)ln2x解： ,由比值法令 1,得收敛区间 .因为 时 发散，22|limxn2|x)1,(1n所以幂级数 的收敛域为 . 对 ， = ，则 =1)1,(),(xs12n)(xs，两边积分21212xnxn 0s= ，因为 ,故 =xd02 )1l(|)l(20 0)()12xn)(xs.)l(三、证明题1、 （2003）证明： 提示: 2516
12、)1(40)2dxe 2/1422xex2、 （2004）设 ,且 ，证明：级数 条件nulimnu)()11nnu收敛.3、 （2005）设 ，证明： .1,0)(Cxf10)(dxef10)(yf高数（2）历届试题汇编 第 6 页（共 6 页）4、 （2007）设 为恒正连续函数，证明： .)(xf badxf)(badxf1)(2)(ab5.（2008） 设级数 与 均收敛，且 ,证明级数 收敛.1na1nbncn1nc证明：因为 ,所以 .又 与 均收敛，于是c0c1nb收敛，从而由比较法知 收敛，故 收1)(nnab1)(nnac)(1nna敛. （注：本题在 08级考试中失分非常严重！ 95%以上的同学错误地认为“由 与1n均收敛，且 ，可直接推断 存在”. 这里误用了极限1nbnka1nkc1nkb1nkc1lim夹逼准则！）
