1、高中数学辅导网 http:/ http:/ 2-1 期末试卷（测试时间：120 分钟 满分 150 分）注意事项：答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内答题时，答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效本卷考试结束后，上交答题纸一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分）1. 已知命题 ，其中正确的是 （ ）tan1pxRx： ， 使(A) (B) ： ， 使 tan1pxRx： ， 使(C) (D) taxx： ， 使 ： ， 使2. 抛物线 的焦点坐标是 （ ）24(0)y（A）（ , 0） （B）( , 0) （C）（0, ） （D）（0
2、, ）a aa3. 设 ，则 是 的 （ ）R1a（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件4. 已知ABC 的三个顶点为 A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则 BC 边上的中线长为 （ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55.有以下命题：如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；ba, ba, 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，则点 一定共面；,OCOBA, ,OABC已知向量 是空间的一个基底，则向量 也是空间的一个基底。c, cba,其中正确的命题是 （ ）（A） （B） （C） （
3、D）6. 如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ，1BAM1CADBaABbD则下列向量中与 相等的向量是（ ）c1M（A） （B）cba2 cba2（C） （D） 17. 已知ABC 的周长为 20，且顶点 B (0，4)，C (0，4)，则顶点 A 的轨迹方程是 （ ）（A） （ x0） （B） （ x0） 12036yx 13620yx（C） （ x0） （D） （ x0）M C1CB1D1A1A BD高中数学辅导网 http:/ http:/ 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1, y1）B（x 2, y2）两点，如果 =6，21x那 么 （ ） A
4、B（A）6 （B）8 （C）9 （D）109. 若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，那么 的取值范围是 （ ）2kxy62yx k（A）（ ）（B）（ ） （C）（ ） （D）（ ）315,315,00,3151,3510.试在抛物线 上求一点 P，使其到焦点 F 的距离与到 的距离之和最小，则该点xy42 ,2A坐标为 （ ）（A） （B） （C） （D）1, 1, ,2,11. 在长方体 ABCD-A B C D 中，如果 AB=BC=1，AA =2，那么 A 到直线 A C 的距离为 （ ）1 11（A） （B） （C） （D） 263362236312.已知点 F1、 F2分别是椭
5、圆 的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、 B 两点，xyab若 ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率 为 （ ）e（A） （B） （C） （D）233二、填空题（每小题 4 分，共 4 小题，满分 16 分）13.已知 A（1，2，11）、 B（4，2，3）、C（ x， y，15）三点共线，则 x y =_。14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时，量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后，水面宽度是_米。15. 如果椭圆 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是_。19362yx16.一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；在 中，“ ”是“ 三个角
6、成等差数列”的充要条件.ABC0CBA, 是 的充要条件；“ am22,55 分所以异面直线 BE与 所成角的余弦为 6 分2（2）设平面 的法向量为 1(,)nxyz则11:20;nAxz知 .Cy知 取 1(,2)n， 8 分则 ，10 分30652,cos1nEB故 BE 和平面 AC的所成角的正弦值为 12 分20、证明：（1）解法一：设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 =2x 于点 A(x1,y1)、B( x2,y2).2y当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于A(3, )、B(3, )， 。 3 分663OBA当直线 l 的钭率
7、存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x3),其中 k0.得 ky22 y6 k=0,则 y1y2=6. 又 x1= y12, x2= y22, )3(2xky =x1x2+y1y2= =3. 7 分OBA 2121)(4综上所述, 命题“.”是真命题. 8 分解法二：设直线 l 的方程为 my =x3 与 =2x 联立得到 y2-2my-6=0 =x1x2+y1y22y OBA=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1) (-6)+3m2m+93 8 分（2）逆命题是：“设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 ,
8、那么该直线过点 T(3,0).” O高中数学辅导网 http:/ http:/ 分该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点 A(2,2),B( ,1),此时 =3,213OBA直线 AB 的方程为 y = (x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 12 分32点评：由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、B( x2,y2)满足 ,可得 y1y2=6。或 y1y2=2，如果3y1y2=6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(1,0),而不过点(3,0)。21、解：方法一：证：在 Rt BAD 中， AD=2， BD= ， AB =2，AB
9、CD 为正方形，因此 BDAC. PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，BDPA .又PAAC =A BD 平面 PAC. 解：（2）由 PA面 ABCD，知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影，又 CDAD， CDPD，知PDA 为二面角 PCDB 的平面角. 又PA =AD， PDA= 450 . （3）PA=AB=AD=2，PB= PD=BD= ，设 C 到面 PBD 的距离为 d，2由 ，有 ， PBDCBPVdSASPBDBCD3131即 ，得 026sin)(213 32方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 A（0，0，0）、D（0，2， 0）、P（0，0，2）.
10、2 分在 Rt BAD 中， AD=2， BD= ， AB=2.B（2，0，0）、C（2，2，0）， )0,2(),(),( BDAP ，即 BDAP，BD AC ，又 APAC =A，BD 平面 PAC. 4 分 0D解：（2）由（1）得 .),(),(C设平面 PCD 的法向量为 ，则 ，1zyxn011CDnP即 ， 故平面 PCD 的法向量可取为 020xzy )1,(PA平面 ABCD， 为平面 ABCD 的法向量. 7 分)1,(AP设二面角 PCDB 的大小为 ，依题意可得 . 9 分 2cos1APn yzDPABCx高中数学辅导网 http:/ http:/ ，设平面 PBD
11、 的法向量为 ，)2,0(),2(PDB ),(2zyxn则 ，即 ，x=y=z ， 故可取为 . 11 分 ,022nPyx 1, ，C 到面 PBD 的距离为 14 分),( 322nPCd22、解：（1）由题设知：2a = 4，即 a = 2， 将点 代入椭圆方程得 ，解得 b2 = 3),1( 1)(223bc 2 = a2b 2 = 43 = 1 ，故椭圆方程为 ， 5 分342yx焦点 F1、F 2 的坐标分别为（-1，0）和（1，0） 6 分（2）由（）知 ， ， PQ 所在直线方程为 ，)3,(),(BA2ABPQk )1(23xy由 得 1342yx09482y设 P (x1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 ， 9 分89,23211 yy89422121 12 分.2112121yFSPQF
