1、专题三：高考理科数学概率与数学期望一离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量 的分布列或概率分布如下：X1x 2x nxP p p p1. 其中， ，则称 为随机变120,.1i nn12.nxpx量 的均值或 的数学期望，记为 或 X()EX数学期望 =()E12.nxpxp性质 （1） ；（2） （ 为常数）c()()abb,ac2. ， （其中 ）刻画了随机变2()().)nxpx120,.1i np量 与其均值 的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量 的方差，记为 或X X()DX2方差 2221()().()nDxpxp2方差公式也可用公式 计算21()iXEX3随机变
2、量 的方差也称为 的概率分布的方差， 的方差 的算术平方根称为()DX的标准差，即 X()D1.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求 EX，DX 。X 1 0 1P 95二超几何分布对一般情形，一批产品共 N件，其中有 M件不合格品，随机取出的 n件产品中，不合格品数 X的分布如下表所示： 012 lPnMNCnMNnMNClnlMNC其中 mi(,)l网一般地，若一个随机变量 X的分布列为 ()rnMNPXC，其中 0r， 1， 2， 3， l， min,，则称 服从超几何分布，记为(,)XHnMN:，并将 ()rMNn记为 (;,)Hrn1高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏
3、：在一个口袋中装有 10个红球， 2个白球，这些球除颜色外完全相同现一次从中摸出 5个球，（1）若摸到 4个红球 1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率（2）若至少摸到 3个红球就中奖，求中奖的概率解：由 22 节例 1 可知，随机变量 的概率分布如表所示：XX 0 1 2 3 4 5P 5875280715702123从而 484()013451.6735727E答： 的数学期望约为 X.6说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到 0()rnnMNrCEX:2. 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件，求：（I）取出的 3 件产
4、品中一等品件数 X 的分布列和数学期望；（II）取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。三二项分布1 次独立重复试验n一般地，由 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即 与 ，每次试验中 。我们将这样的试验称为 次独立重复试验，A()0PApn也称为伯努利试验。（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。（2） 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 。nk()PXk(1)knknCp2二项分布若随机变量 的分布列为 ，其中 则X()PXknCpq0.,02,
5、q称 服从参数为 的二项分布，记作 。,np(,)B:1一盒零件中有 9 个正品和 3 个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 的概率分布。2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .31(1)设 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 的分布列；(2)设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3.甲乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 .2132（1）记甲击中目标的此时为 ，求 的分布
6、列及数学期望；（2）求乙至多击中目标 2 次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.【巩固练习】1.（2012 年高考（浙江理） ）已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和.()求 X 的分布列;()求 X 的数学期望 E(X).2 （2012 年高考（重庆理） ）(本小题满分 13 分,()小问 5 分,()小问 8 分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结
7、束.设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概13率为 ,且各次投篮互不影响.12() 求甲获胜的概率;() 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望3设篮球队 与 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜 场则比赛宣告结AB4束，假定 在每场比赛中获胜的概率都是 ，试求需要比赛场数的期望, 123 （2012 年高考（辽宁理） ）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”.()根据已知条件完成下面的 2列联
8、表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?()将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 ()EX和方差 ()D.5.（2007 陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、54、 ，且各轮问题能否正确回答互不影响. （）求该选手被淘汰的概率； 532（）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数数期
9、望.（注：本小题结果可用分数表示）6. 一批产品共 10 件，其中 7 件正品，3 件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数 的概率分别布.(1)每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007 山东）设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 表示方程x2+bx+c=0 实根的个数（重根按一个计） （I）求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率；（II）求 的分布列和数学期望；ABC60湖北理工学院 湖北师范学院996 5 07 21151617181
10、98 91 2 5 8 93 4 60 18.（本题满分 12 分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如 下：消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元；停在 B 区域返券 30 元；停在 C 区域不返券. 例如：消费 218 元， 可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之和.（I）若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；（II）若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则 参与 了活动，他获得返券的金额记为X（元） ，求随机变量 X的分布列和数学期望. 9. (
11、本题满分 12 分)中国 黄石第三届国际矿冶文化旅游 节将于 2012 年 8 月 20 日在黄石铁山举行，为了搞好 接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募 8 名和 12 名志愿者，将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括175cm）定义为“非高个子” ，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游” 。（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“ 高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2
12、 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望 。10.某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，8，其中 X5 为标准 A，X3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/ 件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示：1x5 6 7 8P 04 a b 01且 X1 的数字期望 EX1=6，求 a，b 的
13、值；（II）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的数学期望.11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下： 将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机
14、抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 1X，生产一辆乙品牌轿车的利润为 2X，分别求 1， 2X的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。巩固练习答案1.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. () X 的可能取值有:3,4,5,6. ; ; 359()42CP2154390()CPX; . 1539 4396故,所求 X 的分布列为X 3 4 5 6P 542201142214() 所求 X 的
15、数学期望 E(X)为: E(X)= . 6413()ii【答案】()见解析;() . 2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 解:设 分别表示甲、乙在第 次投篮投中,则 ,kABk, , 13P2k123(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知, 112123PCAPBAB112ABP233197(2) 的所有可能为: 1,2由独立性知: 11213PAPB212122 9B 2121339
16、PAB综上知, 有分布列1 2 3P23919从而, (次) 19E3. 解：（1）事件“ ”表示， 胜 场或 胜 场（即 负 场或 负 场） ，且4XA4B4A两两互斥；400412()()()26PCC（2）事件“ ”表示， 在第 5 场中取胜且前 场中胜 3 场，或 在第 5 场中5 B取胜且前 场中胜 3 场（即第 5 场 负且 场中 负了 3 场） ，且这两者又是互斥的，所以 43141441()()()226X（3）类似地，事件“ ”、 “ ”的概率分别为6X7，3535255(6)()()PC63666117221比赛场数的分布列为 X4 5 6 7P 16465516故比赛的期望为 （场）2() 7.82116E这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行 6 场才能分出胜负4.【答案及解析】 (I)由频率颁布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 22 列联表如下:
