1、立体几何大题1如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片 ABC 中， ACB90，AC4cm，CD 是斜边上的高沿 CD 把ABC 折成直二面角（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定 A，B 的位置，使二面角ACD B 是直二面角？证明你的结论（2）试在平面 ABC 上确定一个 P，使 DP 与平面 ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值解：（1）用直尺度量折后的 AB 长，若 AB4cm，则二面角 ACDB 为直二面角 ABC 是等腰直角三角形， ,cm2DBA又 ADDC，BDDC ADC 是二面角 ACDB 的平面角
2、 当当,c4,2 .90D.D2 （2）取ABC 的中心 P，连 DP，则 DP 满足条件 ABC 为正三角形，且 ADBDCD 三棱锥 DABC 是正三棱锥，由 P 为ABC 的中心，知 DP平面 ABC， DP 与平面内任意一条直线都垂直（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的 4 个面都相切，设小球球心为 0，半径为r，连结 OA，OB，OC，OD ，三棱锥被分为 4 个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为 r，故有 代入得 ，即ABCODACOBCDA VVV 362r半径最大的小球半径为 3622如图，已知正四棱柱ABCDA 1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A
3、1B，过A 作AFA 1B垂足为F，且AF的延长线交B 1B于E。（）求证：D 1B平面AEC；（）求三棱锥BAEC的体积；A BC第 1 题图A BCD第 1 题图（）求二面角BAE C的大小.证（）ABCDA 1B1C1D1是正四棱柱，D1DABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，由三垂线定理知 D1BAC.同理，D 1BAE，AE AC = A，D1B平面AEC . 解（）V BAEC = VE ABC .EB平面ABC，EB的长为E点到平面ABC的距离.RtABE RtA1AB，EB =.4912VB AEC = VE ABC = SABCEB3= 33249= （10分）
4、.87解（）连CF，CB平面A 1B1BA，又BF AE，由三垂线定理知，CFAE .于是，BFC 为二面角 BAEC的平面角，在Rt ABE中，BF = ，59AE在Rt CBF中， tgBFC = ， 3BFC = arctg .5即二面角BAEC的大小为 arctg . 353如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 1，点M 在 BC 上，AMC 1 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点 M 为 BC 的中点；（）求点 B 到平面 AMC1 的距离；（）求二面角 MAC1B 的正切值.答案：（I）证明：AMC 1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，AMMC
5、1 且 AM=MC1在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，有 CC1底面 ABC.C1M 在底面内的射影为 CM，ABCA1B1C1M第 3 题图由三垂线逆定理，得 AMCM.底面 ABC 是边长为 1 的正三角形，点 M 为 BC 中点.（II）解法（一）过点 B 作 BHC1M 交其延长线于 H.由（I）知 AMC1M， AMCB，AM平面 C1CBB1.AMBH. BH平面 AMC1.BH 为点 B 到平面 AMC1 的距离.BHMC1CM.AM=C1M= 在 RtCC1M 中，可求出 CC1,23.2.6231 BHCBH解法（二）设点 B 到平面 AMC1 的距离为 h.则 1BMCA
6、V由（I）知 AMC1M，AMCB ，AM平面 C1CBB1AB=1，BM= .2,3,211C可 求 出 AShSMBCAMC113323226h（III）过点 B 作 BIAC1 于 I，连结 HI.BH平面 C1AM，HI 为 BI 在平面 C1AM 内的射影.HIAC1，BIH 为二面角 MAC1B 的平面角.在 RtBHM 中， ,2,6BHAMC1 为等腰直角三角形，AC 1M=45.C1IH 也是等腰直角三角形.由 C1M= .32,63,2312HCBMH有 .6I.21HIBtg4如图，已知多面体 ABCDE 中，AB平面 ACD，DE 平面 ACD，三角形 ACD 是正三角
7、形，且 AD=DE=2，AB=1，F 是 CD 的中点（）求证：AF平面 BCE；（）求多面体 ABCDE 的体积；（）求二面角 C-BE-D 的正切值 证：（）取 CE 中点 M，连结 FM，BM，则有ABDEF/21/四边形 AFMB 是平行四边形AF/BM， 平面 BCE，平面 BCE，AF/平面 BCE （）由于 DE平面 ACD，则 DEAF又ACD 是等边三角形，则 AFCD而CDDE=D，因此 AF平面 CDE又 BM/AF，则 BM平面 CDE BMABVVCDEBAABCDE 2132431 23（）设 G 为 AD 中点，连结 CG，则 CGAD由 DE平面 ACD， 平面
8、 ACD，则 DECG，又 ADDE=D，CG平面 ADEB作 GHBE 于 H，连结 CH，则 CHBECHG 为二面角 C-BE-D 的平面角 由已知 AB=1， DE=AD=2，则 ，3CG 2121)(GBES不难算出 5 ， 3HBE 53 1Ctg5已知：ABCD 是矩形，设 PA=a，PA 平面 ABCD.M、N 分别是 AB、PC 的中点.（）求证：MNAB ；（）若 PD=AB，且平面 MND平面 PCD，求二面角 PCDA 的大小；（）在（）的条件下，求三棱锥 DAMN 的体积.（）连结 AC，AN. 由 BCAB，AB 是 PB 在底面 ABCD 上的射影. 则有 BCP
9、B.又 BN 是 RtPBC 斜边 PC 的中线，即 . PCBN21由 PA底面 ABCD，有 PAAC，则 AN 是 RtPAC 斜边 PC 的中线，即 ABN又 M 是 AB 的中点，（也可由三垂线定理证明）（）由 PA平面 ABCD，ADDC，有 PDDC.则PDA 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角 由 PA=a，设 AD=BC=b，CD=AB=c， 又由 AB=PD=DC，N 是 PC 中点，则有 DNPC 又 平面 MND平面 PCD 于 ND， PC平面 MND PCMN，而 N 是 PC 中点，则必有 PM=MC. 此时 .bacbca.4122 4,1PD
10、Atg即二面角 PCDA 的大小为 （） ，连结 BD 交 AC 于 O，连结 NO，则 NO PA. 且 NOMDNADV 21平面 AMD，由 PA=a. 32431aSADAN6如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 、M、N分别为棱 DD1、AB、BC 的中点。（I）求二面角 B1MNB 的正切值；（II）证明：PB平面 MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有 4 个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中 P、B 两点间的距离。解：（I）连接 BD 交 MN 于 F，则BFMN，连接 B1FB1B平面 ABCDA BCDPA1 B1C1D1第 6
11、题图MNB1FMN 2 分则B 1FB 为二面角 B1MNB 的平面角在 RtB1FB 中，设 B1B=1，则 F24 4 分tgF 12（II）过点 P 作 PEAA1，则 PEDA，连接 BE又 DA平面 ABB1A1，PE 平面 ABB1A1又 BEB1M PBMB1又 MNAC，BD AC，BD MN又 PD平面 ABCDPBMN，所以 PB平面 MNB1 11 分（III ） ，符合条件的正方体表面展开图可以是以下 6 种之一：PB1327如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PA 底面 ABCD，PA=AD=2，点 M、N分别在棱 PD、PC 上，且 PC平面 AMN.（）求证
12、：AMPD ；（）求二面角 PAMN 的大小；（）求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小.（I）证明：ABCD 是正方形，CDAD，PA底面 ABCD， PACD.CD平面 PAD AM 平面 PAD，CD AM.PC平面 AMN， PCAM.AM平面 PCD.AMPD （II）解： AM平面 PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN 为二面角 P-AM-N 的平面角 PN平面 AMN， PNNM.在直角PCD 中，CD=2，PD=2 ，PC=2 .23PA=AD，AM PD，M 为 PD 的中点，PM= PD=21由 RtPMNRtPCD，得 .PCDN.3arcos.32)cos(
13、PCN即二面角 PAMN 的大小为 .rs（III ）解：延长 NM，CD 交于点 E.PC平面 AMN， NE 为 CE 在平面 AMN 内的射影CEN 为 CD（即（CE）与平在 AMN 所成的角 CDPD，ENPN ，CEN=MPN.在 RtPMN 中， .3arcsin)2,0(.sinMPNCD 与平面 AMN 所成的角的大小为 ri8如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求证：AB 1BC1；（II）求二面角 BAB1C 的大小；（III）求点 A1 到平面 AB1C 的距离.（1）证明：ABCA 1B1C1 是直三棱柱，CC
14、1平面 ABC， ACCC1.ACBC， AC平面 B1BCC1.B1C 是 AB1 在平面 B1BCC1 上的射影.BC=CC1， 四边形 B1BCC1 是正方形，BC1B1C. 根据三垂线定理得， AB1BC1 （2）解：设 BC1B1C=O，作 OPAB1 于点 P，连结 BP.BOAC，且 BOB1 C， BO平面 AB1C.OP 是 BP 在平面 AB1C 上的射影.根据三垂线定理得，AB 1BP.OPB 是二面角 BAB1C 的平面角 OPB1ACB1， ,AOP.31aBA在 RtPOB 中， ，26tg二面角 BAB1C 的大小为 .26arctg（3）解：解法 1 A1C1/
15、AC，A 1C1 平面 AB1C，A 1C1/平面 AB1C. 点 A1 到平面 AB1C 的距离与点 C1 到平面 AB1C.的距离相等.BC 1平面 AB1C， 线段 C1O 的长度为点 A1 到平面 AB1C 的距离.点 A1 到平面 AB1C 的距离为 .21a解法 2连结 A1C，有 ，设点 A1 到平面 AB1C 的距离为 h.CABAV11B1C1平面 ACC1A1， ，11Sh又 ，22,211 aaSACA 点 A1 到平面 AB1C 的距离为 .ah .9在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，已知 AB=BC=2，BB 1=3，连接 BC1，过 B1 作 B1EBC1交
16、 CC1 于点 E()求证：AC 1平面 B1D1E；()求三棱锥 C1B 1D1E1 的体积；()求二面角 EB 1D1C 1 的平面角大小(1)证明：连接 A1C1 交 B1D1 于点 OABCDA 1B1C1D1 是长方体AA1平面 A1B1C1D1，A 1C1 是 AC1 在平面 A1B1C1D1 上的射影AB=BC，A 1C1B1D1，根据三垂线定理得：AC 1B1D1； AB平面 BCC1B1，且 BC1B1E，AC1B1EB1D1B1E=B1，AC1平面 B1D1E1 (2)解：在 RTBB1C1 中， 13tg2BC在 RTEC1B1 中，C 1E=B1C1tgC1B1E=B1
17、C1ctgBC1B1=2 ， 243VC1B 1D1E = VD1B1C1E = 11118()3329BCESDBCEDA(3)解：连接 OE， B1C1E1 D1C1E1 ， B1E=D1EO 是 B1D1 中点， B1D1OE，C1OE 是二面角 EB 1D1C 1 的平面角 在 RTOC1E 中， 112tg3O所以，二面角 EB 1D1C 1 的平面角为 ， arctg10在矩形 ABCD 中，AB 4，BC3，E 为 DC 的中点，沿 AE 将AED 折起，使二面角 DAEB 为 60 （）求 DE 与平面 AC 所成角的大小；（）求二面角 DECB 的大小答案：如图 1，过点 D
18、 作 DMAE 于 M，延长 DM 与 BC 交于 N，在翻折过程中DMAE，MN AE 保持不变，翻折后，如图 2， DMN 为二面角 DAE B 的平面角，DMN 60 ， AE平面 DMN，又因为 AE 平面 AC，则 AC平面 DMN （）在平面 DMN 内，作 DOMN 于 O，平面 AC平面 DMN，DO平面 AC连结 OE，DO OE， DEO 为 DE 与平面 AC 所成的角如图 1，在直角三角形 ADE 中，AD3，DE 2，,12DEA2.34AM,136ADBCEA BCED第 10 题图如图 2，在直角三角形 DOM 中， 在直角三角形 DOE 中，,1360sinDM
19、O，则13DEOsin.239arcsiEDE 与平面 AC 所成的角为 .6rin（）如图 2，在平面 AC 内，作 OFEC 于 F，连结 DF，DO平面 AC，DF EC，DFO 为二面角 DECB 的平面角如图 1，作 OFDC 于 F，则 RtEMDRtOFD， ,EMO .DEMOF如图 2，在 RtDOM 中，OMDMcosDMODMcos60 13如图 1， .138OF,9在 RtDFO 中， ,2Dtg二面角 DECB 的大小为 arctg11直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ACCBAA 12，ACB90，E 是 BB1 的中点，DAB， A1DE90.（）求证：CD平面 ABB1A1；（）求二面角 DA 1CA 的大小.
