1、第二章 极限与连续习题 2-11、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限.(1) ； 有. .nax)1(0limnx(2) ； 有. .(3) ； 无. nxn)(4) ； 无.2si(5) ； 有. .1xn 1limnx(6) ； 无.n)(7) ； 有. .coslin(8) . 无.nx1l2、设 , , ,问9.01u.2 个nu9.0(1) ?limn(2) 应为何值时,才能使 与其极限之差的绝对值小于 ？n 01.解：(1) 显然, ,可见 ；nu101limnu(2) 欲使 ,只需 即可.40.|n 53、对于数列 , ,给定(1) ;(2) ;
2、 (3)1nx)2( 1.00.时,分别取怎样的 ,才能使当 时,不等式 成立,01.Nn|nx并利用极限定义证明此数列的极限为 .解：欲使 ,只需 .knx10| 10k(1)若给定 ,此时 ,取 即可;1.09(2)若给定 ,此时 ,取 即可;22(3)若给定 ,此时 ,取 即可 ;33N下面证明 . 欲使 ,只需 .limnxnxn1| 1,取 ,当 时,恒有 ,01N|nx所以 .lilinnx4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？(1)设数列 ,当 越来越大时, 越来越小,则 .nx|anaxnlim解：结论错误.例如取 , ,显然 越来越小,n10xn1|但 .an01lim
3、(2)设数列 ,当 越来越大时, 越来越接近于 ,则 .x|axn0axnli解：结论错误.例如取 , ,显然 越来越接近于n10n1|,0但 .axn01lim(3)设数列 , , ,当 时,有无穷多个 满足 ,则 .Nnnx|anaxnlim解：结论错误.例如取 , ,显然 , ,nx)1(a0|2ak)21(那么 , ,当 时,有无穷多个 ,满足 ,01Nnnx|an但显然 不存在.nxlim(4)设数列 ,若对 , 中仅有有限个 不满足 ,则nxn|n.anli解：结论正确.,假设仅有 不满足 ,0knn,21 |axn于是取 ,那么当 时, ,NmxN |axn所以 .anli5、用
4、极限性质判别下列结论是否正确,为什么？(1)若 收敛 ,则 ( 为正整数)；nxknnxlili解：结论正确.显然 是 的子数列,故 .k nknxlimli(2)有界数列 必收敛；nx解：结论错误.例如取 ,虽然 有界,但显然 发散.n)1(nxn(3)无界数列 必发散；n解：结论正确. 因收敛数列必有界,那么无界数列必发散.(4)发散数列 必无界.nx解：结论错误.例如取 ,虽然 发散,但显然 有界.n)1(nxnx6、利用数列的“ ”分析定义证明下列极限：N(1) ；01lim2n分析： ,欲使 ,只需 或 即可.nxn1|211n证明： ,取 ,当 时,恒有N,nxn1|0|2所以 .
5、0limlinx(2) ；32132lin分析： ,欲使 ,0 nnxn 1)3(1只需 或 即可.证明： ,取 ,当 时,恒有0N,nxn1)3(2所以 .2limlinx(3) ；1)3(lin分析： ,欲使 ,只需 或 即可.0nxn13| 11n证明： ,取 ,当 时,恒有N,nxn13|所以 .1lim)(linx(4) .0slimn分析： ,欲使 ,只需 或 即可.nxn1si| 11n证明： ,取 ,当 时,恒有0N11n,nxnsi|所以 .0limlinx7、若 ,证明 ,并举例说明,如果数列 有极限,但0linu|linu|nu数列 未必有极限 .证明：因 ,有 , 时,
6、 ,lin0N.tsn|0|n于是 , 所以 .|nu|limu而若取 ,显然 ,但显然 没有极限.n)1(1|linn8、对于数列 ,若 , , , ,xak12)(axk2)(证明 , .an)(证明：因 ,有 , 时, ,0limkN1.ts1|12axk又因 ,对 , 时, ,2x2k取 ,当 时,a21Nn若 ,有 , ,kn1|12axkn若 ,有 , ,22Nn|ax总之,当 时, ,所以 , .|axn)(习题 2-21、用极限定义证明：(1) ；12)5(lim2x分析： ,欲使 ,只需 即可.0|2|5)(|xf 5|2|x证明： ,取 ,当 时,恒有05|2|0x,|2|
7、1)(|xf所以 .1)(lim)(li2fx(2) ；42limx分析： ,欲使 ,只需 即可.0|)(|xf |2|0x证明： ,取 ,当 时,)2(0恒有 , |4|)4(|2xf所以 .)(limli22xfxx(3) .8)13(limx分析： ,欲使 ,只需 即可.0|3|)(|xf 3|x证明： ,取 ,当 时,恒有3|0,|12)(|xf所以 .8)(lim)1(li33xf2、用极限定义证明：(1) ；65lix分析： ,欲使 ,只需 即可.0xf5|)(| 5|x证明： ,取 ,当 时,恒有 ,0K| xf|6)(|所以 .6)(lim56lixfx(2) .0sinlmx
8、x分析： ,欲使 ,只需 即可.xf1sin|)(| 21证明： ,取 ,当 时,恒有 ,0012KKxf|0)(|所以 .)(limsnlixfx3、当 时, ,问 等于多少,则当 时, 242y|2|0x？(提示：因为 ,所以不妨设 ).01.|4|yx31解：欲使 |4)(|2| ,30.5)| x只需 即可.01|2|3因此,取 ,当 时,有 .0|2|x1|4|y4、设 作 的图形,并讨论 时, 的左.3 ,)(xf )(f 3x)(xf右极限(利用第 1题(3)的结果).解：(1) 的图形.f(2) 令 , ,g)(1)(xh已知 , ,3limli3x 8)13(lim)(lix
9、h于是 , . 8x显然,当 时, ,于是 ；)(gf 3)(li)(li33gfxx当 时, ,于是 .xh8h5、证明 ,当 时的极限为零.|)(f0证明： ,取 ,当 时,0|x恒有 , |0|)(| xxf所以 .)(lim|li0f6、函数 ,回答下列问题：xf|)(1)函数 在 处的左右极限是否存在？答： 在 处的左右极限是均存在.f0这是因为： ；1)(limli)(lim00 xxxf.0(2)函数 在 处是否有极限？)(xf答： 在 处是没有极限.这是因为： .)(lim1)(li00 xfxfxx (3)函数 在 处是否有极限？)(f答： 在 处有极限.1这是因为： ；1l
10、ili)(li1xxxf.m11由于 ,故 .)(li)(lim1ffxx )(lixf7、证明 的充要条件是 .Afxli0 Affxxlili00证明:“必要性” , 时,fx)(li0.ts|,从而,|)(|f当 时, ；0|)(|f也有,当 时, ,xAx所以 .ffx)(lim)(li00“充分性” , Axffxx)(lim)(li00 021.ts当 时, ；1|当 时, ,2f取 ,当 时,有 , ,in|0x|)(|Axf所以 .Axf)(l08、设 ,证明当 充分大时 .)()limfx x2|)(|xf证明:因 ,对于 , , 当 时,002|0K.|)(| Axf所以
11、.2|)(|)| Axf习题 2-31、根据定义证明：(1) 为当 时的无穷小；xy1证明： ,取 ,当 时,恒有 ,0|1|0x|1|xy所以 为当 时的无穷小.(2) 为当 时的无穷小.xy1cos证明： ,取 ,当 时,恒有 ,0|0|x|xy所以 为当 时的无穷小.2、根据定义证明：函数 为当 时的无穷大 ,问 应满足什么xy210x条件,能使 ？40|y(1)分析： ,欲使 ,只需 即可.0KKxy2|1| 21|0x证明： ,取 ,当 时,恒有02,xxy|11|所以 .y00limli(2) 欲使 ,取 , Ky41| 1024则 满足 即可.x02|3、利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限：(1) .xx1sinlm20解：因 , , )0(x有 (无穷小), (有界), ,)1o1sinO)0(x则 , , 所以 .)()sin2ox)01sinlm20xx(2) . xarctlim解：因 , , 012rtan有 (无穷小), (有界), ,)ox)1cOx)(x则 , , 所以 .()1arcto0arctnlimx4、函数 在区间 内是否有界?又当 时,这个函数是xysin,0
