1、习题 2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1) ; (2) ； 1nx2(1)nnx(3) ； (4) .3()n解：(1) 此数列为 所以 。1234,51nxxx lim1nx(2) 所以原数列极限不存在。1234,12()n (3) 4,3(),3nnxxx 所以 。limn(4) 所以1234211,496nxxx lim1nx2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于 0 的数列的通项也一定大于 0.解：(1) 正确。(2) 错误 例如数列 有界，但它不收敛。(-1)n(3) 正确。(4) 错误 例
2、如数列 极限为 1，极限大于零，但是 小于零。2()nnx1x*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) ; 1()limnn(2) ；2li1n(3) 35lin证：(1) 对于任给的正数 ，要使 ，只要 即可，所以可1()1nnx1n取正整数 .1N因此， ， ，当 时，总有 ，所以01nN1()n.1()limnn(2) 对于任给的正数 ，当 时，3要使 ，只要 即可，22223111n nx 2n所以可取正整数 .max,3N因此， ， ，当 时，总有 ，所以02,nN21n.2li1n(3) 对于任给的正数 ，要使 ，52762()() 133(1)3nnxnn只要 即可，所以可
3、取正整数 .123n21N因此， ， ，当 时，总有 ，所以03n52()3n.125limn习题 2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限：(1) ; (2) ； 21limx-lixe(3) ； (4) ;+e+cotxar(5) ; (6) ； lix2-lim(1)(7) ； (8) 1(n)csx解：(1) ; (2) ； 2lim0x-li0xe(3) ； (4) ;+e +cotar(5) ; (6) ； lix 2-lim(1)5x(7) ； (8) 1(n)cs2. 函数 在点 x0 处有定义，是当 时 有极限的( D )f 0xfx(A) 必要条件 (B) 充分
4、条件(C) 充要条件 (D) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究 当 的极限时，我们关心的是 x 无限趋近 x0fx0时 的变化趋势，而不关心 在 处有无定义，大小如何。fxf3. 与 都存在是函数 在点 x0 处有极限的( A )00fxf(A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 无关条件解：若函数 在点 x0处有极限则 与 一定都存在。f 0fx0fx4 设 作出 的图像；求 与 ；判别21;,ff 0limxf0lixf是否存在? 0limxf解： ， ，故 不存在。00lilixxf200limli(1)xxf0lixf5设 , ,当 时，分别求 与 的左、右极限
5、，问ff与 是否存在? 0limxf0lix解：由题意可知 ，则 ， ，因此1;0,xf00limli1xxf00limli1xxf。0li1xf由题意可知 ， ， ，因此1;0,x00lili1xx00lili(1)xx不存在。0limx*6.用极限的精确定义证明下列极限：(1) ; 1lix(2) ；2-1lim-+x(3) .0lisnx证：(1) ，要使 ，只要 即可.12()1xfxx21x所以， ,当 时，都有 ，故 . 21XxX(1)fx1limx(2) 对于任给的正数 ，要使 ,只要221fAx. 所以 ， , 当 时，都有不等式 成立.1x001x2()x故 .2-1lim
6、-+x(3) 对于任给的正数 ，要使 ,只要 .所以1sin0fxAxx， , 当 时，都有不等式 成立.故 .00xix01limsnx习题 2-31下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大?(1) ; (2) ; (3) 2xlnx21解：(1) 因为 ，故 时 为无穷小，2lim0x2x因为 ，故 时 为无穷大。1lix1(2) 因为 ，故 时 为无穷小，n0xxlnx因为 ， ，故 和 时 都为无穷大。0limxlix0xlnx(3) 因为 ， ，故 和 时 为无穷21lix221lilim()xx121x小，因为 ，故 时 为无穷大。20lix022求下列函数的极限：(1)
7、 ; (2) ; (3) .201limsnx tanlixrc2coslimn解：(1) 因为 ， ，且 ，故得 .,0(,)1ix20lix201limsnx(2) 因为 ， ，且 ，故得,0(,)xarctnlix.tanlim0xrc(3) 因为 ，且 ，故得 .2cos1nlim0n2cosli0n习题 2-41. 下列运算正确吗?为什么?(1) ;0001limcoslicoslicosxxx(2) .2211lilixx 解：(1) 不正确，因为 不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。0licosx正确做法是：因为 ，且 ，故得 .10limx01licosx(2) 不正确，因
8、为 ，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。1lix正确做法是：因为 ，由无穷小与无穷大的关系可知 .21li0x21limx2. 求下列极限：(1) ； （2） ；203053lim71x13lin（3） ; (4) ;30lihx 21lim1xx(5) ; （6） ;322lim1xx 3arcotli5xx(7) ; (8) ;39li124nn 12lim2nn(9) .)(lim1xx解：(1) ； 20302030 2305 5513li lim7717x xx（2） ；11223()33limlili1nnn nn（3） ;322220003limlilim(3)hhhx
9、xxx(4) ;22111lilili()x xx(5) ; 3 322 21li lili() 4()x x xx （6） ; 因为 ，且 ，23arcotlim5xxarcot2231limli055xxx所以23arcotli05xx(7) ; 111()31 ()339limlimli44()2422nnnn n(8) ;(1)123 12li lilim22()n nn (9) .22111limlimlil0()()x xx3.已知 , 求 0,13)(2xf ).(lim),(li),(li0 xfxffxx 解：因为 ， ，所以 ，2300lim()lixxf00lim()li
10、(1)xxf0li()1xf， 。231li()lixxfli()li()xxf习题 2-51.求下列函数的极限：(1) ; (2) ;2limsinnR sinlmx(3) ; （4） ;0arctn3lims2x0lim1cosxx(5) ; (6) .01o4lix2nlix解：(1) ;222sinlisinlinRR(2) ;ii()lml1xx(3) ; 00arctn3arctn323lilis2sixxx（4） ;00022lililim1cossinsinxxxx(5) ; 22000i8cs4si()limllsnnnxxx(6) .211sisi1ll()2xx2. 求下
11、列函数的极限:(1) ; (2) ;-3lim1xx 1lim2xx(3) ; (4) .cot0li2anxx 3sec2lioxx解：(1) ; -33-3 31111lilili lilim1xx x xx xe (2) 2(2)limlilim()li()12xxxxx ;12()2li()li(xxx e(3) ; 2cot tan00li12anli1xx x (4) .33seccos22limlixxxe习题 2-61. 当 时， 与 相比，哪个是高阶无穷小量？0x2x3x解：因为 ，所以 比 高价。2320limli23x2x2. 当 时，无穷小量 与（1） ；（2） 是否同
12、阶？是否等价？1xx31解：因为 ，所以 与 是同阶无穷小，311()lilixxx3因为 ，故无穷小量 与 是等价无穷小。211()()limli1xxx1x23. 利用等价无穷小，求下列极限:(1) ; (2) ；0sinl1coxax20coslimxabx（3） ； （4） ；2rtlimsnacixx 21lin()x（5） ； （6） .221olistaxx2lsiem()xx解：(1) ; 002inlmlic1xxa(2) ；22 2 200 0sinsioslil limx x xbxabxab a （3） ； rctlimlisnaxx（4） ；21lililim1n()
13、n(1)xxx（5） ； 2222cos488limli li4tas()cosx x x（6） 22 222sinellnsielnielnmim()()()xx xxxx x .2222sinsinl1eeimllim1()xxxxx习题 2-71.研究下列函数的连续性，并画出图形：（1） 2,01,();xf（2） ,();fx（3） .21()limnnf解：（1） 在区间 和 是初等函数，因此在区间 和 是连fx(0,)1, (0,1),2()fx续函数，因为 ，所以 在点 右连续，200li()li()xxff()fx因为 ， ，且 ，所以 在11m11limli2xx(1)f()
14、fx点 连续，综上所述， 在区间 是连续函数。()fx0,2)（2） 在区间 ， 和 是初等函数，因此在1(,1,)上 是连续函数，(,1)(,)fx因为 ， ，且 ，所以 在点1limlixxf11lim()lixx(1)f()fx连续，因为 ， ，所以 在点 间断，11li()lixxf11li()lixxf()f1综上所述， 在区间 是连续函数，在点 间断。()f(,)(,)x（3）由题意知 ， ，当 时， ，10ff1x21()limnnfx当 时， ，因此 ，1x2211()limlinnnxf x 1()0 xf在区间 ， 和 是初等函数，因此在()fx(,)(1,)上 是连续函数
15、，,1,fx因为 ， ，所以 在点 间断，1lim()li()xxf11lim()lixxf()fx1因为 ， ，所以 在点 间1 () 断，综上所述， 在 上连续，在点 间断。()fx,1)(,)1x2. 求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：(1) ; (2) ;21cosxy 1arctnyx(3) ； （4） ；1xe 23(5) ; (6) 2tanyxsin,0,;xf解：(1) 在 无定义，因此 为函数的间断点，21cos0xx又因为 ，所以 为函数的可去间断点，补充定义2200limlixx0，原函数就成为连续函数。 ()f(2) 在 无定义，因此 为函数的间断点，1arctnyx0x由 ，可得 ，由 ，可得 ，0limx01liarctn2x01limx01liarctn2x所以 为函数的跳跃间断点。(3) 在 无定义，因此 为函数的间断点，1xye由 ，可得 ，由 ，可得 ，所以0lix10lixe01lix10lixe
