1、12014 年山东省普通高等教育专升本考试2014 年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013 年 5 月 17 日星期五 曲天尧 编写2一、求极限的各种方法1约去零因子求极限例 1：求极限 1lim4x【说明】 表明 无限接近，但 ，所以 这一零因子可以约去。与 1xx【解】 =46)(li1)()(li 2121 xxx2分子分母同除求极限例 2：求极限 13lim2x【说明】 型且分子分母都以多
2、项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】 3li13li12xxx【注】(1) 一般分子分母同除 的最高次方；(2) nmbaxbanmmnnx 0li13分子(母) 有理化求极限例 3：求极限 )13(li22xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 13)(lim)(lim222222 xxx013li22xx例 4：求极限 30sintali xx3【解】 xxxxx sin1talimsin1talim3030 4li2sitalistan1li 30300 xxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 4应用两个重要
3、极限求极限两个重要极限是 和 ，第一1sinlm0x exnxxx 10)(lim)1(li)(li个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例 5：求极限xx1li【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑 ，最后凑指数部分。X1【解】 221lim12li1lim exxx xxx 例 6：(1) ；(2)已知 ，求 。x2li 8lixaa5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时, ,0x )1ln(arctrsintasinxxx e；bb121cos(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的
4、方法中应作为首选。例 7：求极限 0ln()im1cosx【解】 .02llix例 8：求极限 x30tansil4【解】 xx30tansilm 613lim31coslisinl 2102030 xxxxx6用洛必达法则求极限例 9：求极限 220 )sin1l(coslnixx【说明】 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】 220 )sin1l(coslnimxxxx2sin1cosilim203si2li 20 x【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例 10：设函数 f(x)连续，且 ，求极限0)(f .)(lim0xdtf【解】 由于 ,于是00 )()(xx
5、xut ufdfdf=xxx ftttf 000 )(li)(lim=xx xfduft0)()(li xxfduft0)()(lim= =)()(lim0xfduftxx.21)(f7用对数恒等式求 极限 )(lixg例 11：极限 xx20)1ln(i【解】 = =xx20)l(im)1ln(20lixxe.2)1ln(2im)1ln(2lim00 eeexxx 5【注】对于 型未定式 的极限，也可用公式1)(limxgf=)(lixgf )(1li(fe因为 )1(ln)(lim)(lnlim)(li xfgxfgxgf )(1lim(xgfe例 12：求极限 .3012cosli1x【
6、解 1】 原式2cosln30imxxe20cosln3ixx20lcoslix（ ） 01sincoimxx（ ）1nl 6【解 2】 原式2cosln301imxxe20cosl3ixx20slix（ ） 20cos1lim36x8利用 Taylor 公式求极限 例 13 求极限 .) 0( ,2lim0axax【解】 ,) (ln2l12ln xeaax ;) (lln22xaxx ). (l22ax6.axaxaxx 22020 ln) (lnimli 例 14 求极限 01li(cot)x.【解】 001sincoslitlxxx3230()()!limxx301()()12!lix
7、.9数列极限转化成函数极限求解例 15：极限21sinlmn【说明】这是 形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限 61sin101sin222 limli1sinl eeex yyxxx所以， 612sinlmen10n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例 16：极限 222 11limnnn 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把 看成0,1定积分。)(xf710)(21l
8、imdxfnffnfn【解】原式 222111li nnn2l102dx例 17：极限 nnn 222 1lim【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成 的形式，nfffn2lim因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】 nnn 222 11lim因为 1122222 n又 nn2li 1lim2所以 nn 2221li 11单调有界数列的极限问题例 18：设数列 满足nx110,si(,)nnxx（）证明 存在，并求该极限；lim（）计算 .21linxn【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极
9、限的存在. 8【详解】 （）因为 ，则 .10x210sinx可推得 ，则数列 有界.1sin,x x于是 ， （因当 ） ， 则有 ，可见数列nn0sinx时 ， 1nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限 存在.nx limnx设 ，在 两边令 ，得 ，解得 ，即limnl1sinnx s0l.0nx（） 因 ，由（）知该极限为 型，2211sinlilmnnxxn1(使用了洛必达法则)61sin01sin00 32221 llisilm eexxxxxx故 .22116ililnnn 9二、常见不定积分的求解方法的讨论0. 引言不定积分是高等数学中的一个重要内容，它是定积分、广
10、义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如（其中 ） ； ； ； 等。xkd2sin110kdxsinxe2dxln1这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法
11、分类归纳，以便于更好的掌握、运用。1. 不定积分的概念定义：在某区间 I 上的函数 ，若存在原函数，则称 为可积函数，并将)(xf )(xf的全体原函数记为)(xf,dxf)(称它是函数 在区间 I 内的不定积分，其中 为积分符号， 称为被积函)(xf )(xf数， 称为积分变量。若 为 的原函数，则：)(xF)(f= +C(C 为积分常数) 。dx(F在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：( ) 和 dxdxfdxf)(是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性
12、质：1.微分运算与积分运算时互逆的。注：积分和微分连在一起运算时：10完全抵消。d抵消后差一常数。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即： =dxgxf)()( 。dxf)(dxg)(3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：= ( 0) 。kf)(kf)k在这里，给出两个重要定理：(1)导数为 0 的函数是常函数。(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。2. 直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法) 。下面先给出基本求导公式：(1) (2) kx)( xx1)(3) (4) 1)(ln 21)(arctn(5) (6) xx21)(arcsiaxaln)(log(7) (8) exx)( cssin(9) (10) sinco xxe)(ta2(11) 。xxc)(t2根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：
