1、129第八章 无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： 1)(1n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种 0)()(第二种 111第三种 设 Sn 1)(则 ,1S,122这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。 8.1 常数项级数（1） 内容要点一、基本概念与性质1. 基本概念无穷多个数 依次相加所得
2、到的表达式 称 ,321nu nn uu321为数项级数（简称级数） 。（ ）称为级数的前 n 项的部分和，nkuS123n ,321称为部分和数列。),(n130SuS，uS，n nn 1 1)(lim记 以且 其 和 为是 收 敛 的则 称 级 数存 在若不存在，则称级数 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义nli若 1n下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。 ）2 基本性质（1） 如果 1 1 11)(,n n nnn vbua，bvau，bavu 且 等 于收 敛则为 常 数皆 收 敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不
3、变。（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4） 级数1nu收 敛 的 必 要 条 件 是 0limnu（注：引言中提到的级数 ，因此收敛级数的必要条件不1,)(n具 有 nli不 存 在1n满足， 发散。调和级数 满足 却是发散的，所以1n1nnli但,01n满足收敛级数的必要条件 ，而 收敛性尚不能确定。 ）nlim0u1nu3两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）0nar当 时， 收敛10nra1当 时， 发散r0n131（2）p 一级数1n当 p1
4、时， 收敛， 当 p 1 时 发散1npnp（注：p1 时， 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知 ）1np 1n62二、正项级数敛散性的判别法则 称为正项级数，这时 是单调,3210nu若 1nunnSS所 以,3211加数列，它是否收敛就只取决于 是否有上界，因此 有上界，这是正项级nS1nnu收 敛数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1. 比较判别法收敛，则 收敛；如果 发如 果皆 成 立时当设 ，u，cvNncn0,01nv1nu1nu散，则 发散。1nv2. 比较判别法的极限形式设 若),32(,0vun nlimAvu1) 当 00，而nunlimu11） 当
5、 1 时(包括 =+ )，则 发散1n3） 当 =1 时，此判别法无效（注：如果 不存在时，此判别法也无法nlimu1用）4根值判别法（柯西）设 0，而nunlimu1） 当 1 时(包括 =+ )，则 发散1n3） 当 =1 时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在 =1 情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法1交错级数概念若 0, 称为交错级数。nu1nu1)(2莱布尼兹判别法设交错级数 满足：1nn1)(1331） nu),321(2
6、) =0 ，则 收敛，且 01 时， 是绝对收敛的1nn1)(2） 当 01 时，级数 收敛。1n:()nfx证 记 100当 时 ,(),.nfx故 在 上 单 调 增 加1(),nf而 由 连 续 函 数 的 介 值 定 理 知0n nxx存 在 唯 一 正 实 根nnx由 与 知13710,nnx10()n故 当 时 ,1n而 正 项 级 数 收 敛 ,所以当 1 时，级数 收敛。1nx 8.2 幂级数（甲）内容要点一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）1 函数项级数的概念设 皆定义在区间 I 上，则 称为区间 I 上的函数项级数。)(xun),321n)(xu2 收敛域设 ，如果常
7、数项级数 收敛，则称 是函数项级数 的收敛点，如果0x1n)(0xu0x1n)(xu发散，则称 是 的发散点。函数项级数 的所有收敛点构成的集1n)(0u01n)(1n)(合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。3 和函数在 的收敛域的每一点都有和，它与 有关，因此 ， 收敛域1n)(xux)(xS1n)(ux称 为函数项级数 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。)(S1n)(xu二、幂级数及其收敛域1 幂级数概念138称为 的幂级数， 称为幂级数的系数，是常数，当0nanx)(0)(0x),210(na时， 称为 的幂级数。一般讨论 有关问题，作平移替换就可以得出00n 0n
8、x有关的有关结论。0nanx)(02幂级数的收敛域幂级数 的收敛域分三种情形：0nx（1） 收敛域为 ，亦即 对每一个 皆收敛，我们称它的收敛半径),(0nax R（2） 收敛域仅为原点，除原点外幂级数 皆发散，我们称它的收敛半径 。0n 0（3） 收敛域为 R，RR我 们 称 它 的 收 敛 半 径 为中 的 一 种或或或 ,),( 0所以求幂级数的收敛半径 非常重要， （1） （2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论 两点上的敛散性。1 1lim()lim(),(,n nalal Rl如 果 包 括 或 包 括 则 收 敛 半 径 若0,Rl则 若 则 如 果 上 述 两 极 限 不 成 立 那 么 就 要 用 其 它 方 法 求 收 敛.半 径 后 面 有 所 讨 论三、幂级数的性质1 四则运算设 0nax021),(;),(nRxgbRf
