1、高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一切线问题题型 1 求曲线 在 处的切线方程。)(xfy0方法： 为在 处的切线的斜率。0题型 2 过点 的直线与曲线 的相切问题。),(ba)(xfy方法：设曲线 的切点 ，由 求出 ，进而)(f,0 bxffax)()(000 0x解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲 线 过 某 点 的 切 线 往 往 不 止 一 条 。例 已知函数 f（x）=x 33x（1）求曲线 y=f（x）在点 x=2 处的切线方程；（答案： ）0169yx（2）若过点 A 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围、)2(,1m)(fym（提示：设曲
2、线 上的切点（ ） ；建立 的等式关系。将问题转化为关fy,0x)(,0f于 的方程有三个不同实数根问题。 （答案： 的范围是 ）,0 2,3练习 1. 已知曲线 xy3（1）求过点（1，-3）与曲线 相切的直线方程。答案：（ 或03yx）02745x（2）证明：过点（-2,5）与曲线 相切的直线有三条。xy32.若直线 与曲线 相切，求 的值. （答案：1）0122eyxxaey1题型 3 求两个曲线 、 的公切线。)(xfy)(g方法：设曲线 、 的切点分别为（ ） 。 （ ） ；)(xfy)(g)(,1xf)(,2xf建立 的等式关系， ， ；求出21,x 1212yxf 12y，进而求
3、出切线方程。解 决 问 题 的 方 法 是 设 切 点 ， 用 导 数 求 斜 率 ， 建 立 等 式 关 系 。例 求曲线 与曲线 的公切线方程。 （答案 ）eln0e练习 1.求曲线 与曲线 的公切线方程。 （答案 或 ）2xy2)1(xy 012yx2设函数 ，直线 与函数 的图象都相切，且与函数,ln2)1()xxpf2)(gl)(,xgf的图象相切于（ 1,0） ，求实数 的值。 （答案 或 ）(xf p1p3二单调性问题题型 1 求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类；（2）在求
4、极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，与 0 的关系不定） ；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数 xaxaf )1(2ln)(（1）求函数 的单调区间。 （利用极值点的大小关系分类）（2）若 ，求函数 的单调区间。 （利用极值点与区间的关系分类）ex,)f练习 已知函数 ，若 ,求函数 的单调区间。12)1()( kxekxefx 2)(xf（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）题型 2 已知函数在某区间是单
5、调，求参数的范围问题。方法 1：研究导函数讨论。方法 2：转化为 在给定区间上恒成立问题， 0)()( xff或方法 3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。注意：“函数 在 上是减函数”与“函数 的单调减区间是 ”的区别是前者)(xfnm, )(xfba,是后者的子集。例 已知函数 2lfa+ 在 上是单调函数，求实数 的取值范围x,1（答案 ）,0练习 已知函数 ，且 在区间 上为增函数求实数 的取值范围。23)1()(xkxf)(f),2(k（答案： ）1k题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。方法 1：正难
6、则反，研究在某区间的不单调方法 2:研究导函数是零点问题，再检验。方法 3:直接研究不单调，分情况讨论。例 设函数 ， 在区间 内不单调，求实数 的取值范围。1)(23xaxf Ra1,2a（答案： ） ）,a三极值、最值问题。题型 1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 疑似极值点 单调区间 极值 最值。例 已知函数 ，求在 的极小值。12)1()( kxekxefx 2,1x（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）练习 已知函数 的图象过点 ，且函数 的图象关于32()fxmnx(1,6)()6gxfxy 轴对称.若 ，求函数 在区间 内的极值.0a()yfa（答案：当 时， 有
7、极大值 ，无极小值；当 时， 有极小值 ，无1f 3a极大值；当 或 时， 无极值.）题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法 2.转化为函数单调性问题。例 函数 。0 是函数 的极值点。求实数 值。1)(21)(341)(3xpxpxf )(xf p（答案：1）练习 已知函数 若函数 存在极值，且所有极值之和大2()ln,.fxaxaR()fx，求 a 的取值范围。 （答案： ）15ln24题型 3 已知最值，求系数值或范围。方法：1.求直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。例 设 ，函数 若函数 ，在 处取得最aR
8、23)(xaxf()()02gxfx， ， x大值，求 的取值范围 （答案： ）56,练习 已知函数 ， 当 时，函数 在区间 上的最小值是xaxf ln)2()(20a)(xfe,1，求实数 的取值范围。 （答案： ）2a,1四不等式恒成立（或存在性）问题。一些方法1.若函数 ， 恒成立， ，则nmxf,)(值 域 a)(xfna2.对任意 ， 恒成立。则 。21)(21gmin1)(xfax2)(g3.对 ， 成立。则 。, ai4.对 ，恒成立 。转化 恒成立)(1f01xf4. 对 ， 成立。则 。nxx,21(21xf in1)(fin2)(5. 对 ， 成立。则nmxx,21)(2
9、1xgfmax1)(fax2)(g6. 对 ， 成立。则构造函数 。 转化证明a)( ft在 是增函数。)(tn,题型 1 已知不等式恒成立，求系数范围。方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。（2）讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，与 0 的关系不定） ；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。（3）数形结合：（4）变更主元解题思路 1.代特值缩小范围。2.
10、 化简不等式。3.选方法（用讨论法时，或构造新函数） 。方法一：分离法。求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。例 函数 。在 恒成立，求实数 取值范围。 （方法：分离axexf)ln()2e,1xf)(a法，多次求导答案： ）,0练习 设函数 ，若当 0 时 0，求 a 的取值范围。 （方法： 分离法，2)1()axexf)(xf用罗比达法则答案： ）,方法二：讨论法。 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，与 0 的关系不定） ；极值点的大小关系不定而而引起的分
11、类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 设函数 f(x)= .若当 x0 时 f(x)0，求 a 的取值范围.21xea（答案： 的取值范围为 ）a,练习 1.设函数 ， 时， ，求实数 a的取值范围xef1)(01)(axf（答案： ）2,02.函数 ，当 .0a对 0， ，求实数 取值范围。xaxf1ln)(x1)ln2(xaa（多种方法求解。 （答案： ）1,e）方法三：变更主元例：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间 D 上的导数为 ，若在区间()yfx()fxf ()gxD 上， 恒成立，则称函数 在区间 D 上为 “凸函数 ”，已
12、知实数 m 是常数，()0gxyf，若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸43216mf2mm()fx,ab函数” ，求 的最大值. （答案： ）ba练习 设函数 。证明：当 3 时，对任意 ， 成立。xfln)(a0xxeafxf)(（提示 化为 ） ，研究 的单调性。 ）eaaxeff)(aeg)五函数零点问题题型 1：判断函数零点的个数。方法：方程法；函数图象法；转化法；存在性定理例.设 31,()()lnaRfxaxx若函数 ()yfx有零点，求 的取值范围a（提示：当 时， ， ，所以成立，答案 ）0)f03af ,31练习.求过点（1,0）作函数 图象的切线的个数。
13、（答案：两条）xyln题型 2：已知函数零点，求系数。方法：图象法(研究函数图象与 x 轴交点的个数) ；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化函数，研究函数的单调性。 ）例.函数 在（1,3）有极值，求实数 的取值范围。 （答案 ）31(ln)axf a18,练习：1.证明：函数 的图象与函数 的图象无公共点。xfln)(exg21)(六不等式证明问题方法 1：构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。方法 2：讨论法。方法 2.研究两个函数的最值。如证 ，需证 的最小值大于 的最大值即可。)(xgf)(xf)(xg方法一：讨论法例：已知函数 ln()1axbf，曲线 ()yf在点 1,()f处的切线方程为 230y。证明：
