1、造桥选址问题的拓展利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。下面就课本中一道习题，加以拓展探究，我们可发现其一般规律。一、原题再现如图 1，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN。桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。（人教课标七年级下册 2007 年第二版 37 页第 7 题）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径 AMNB 中的 MN的长度是固定的。我们可以将点 A 沿与河垂直的方向平移 MN 的距离到 A1，那么为了使 AMNB最短，只需 A1B 最短。根据两点之间距离最短，连接 A
2、1B，交河岸于点 N，在此处造桥 MN，所得路径 AMNB 就是最短路径。如图 2。 证明：如图 3，如果在不同于 MN 的位置造桥 M1N1。由于 M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。可知，AN 1+N1BA 1N+NB。 所以，路径 AMNB 要短于 AM1N1B。 二、拓展应用 拓展 1：如图 4，如果 A、B 两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到 这个最短的距离呢？方法 1：仿照上例，可以将点 A 沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A 2，路径中两座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要 A2B 最短。连接A2B，交河流 2 河岸
3、于 N，在此处造桥 MN；连接 A1M，交河流 1 河岸于 P，在此处造桥 PQ。所得路径 AQPMNB 最短。方法 2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。 如图 6，将点 A 沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到 A1，将 B 沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到 B1，连接 A1B1 与两条河分别相交于 N、P，在 N、P 两处，分别建桥 MN、PQ，所得路径 AQPMNB 最短。 拓展 2：如图 7，如果 A、B 之间有三条平行的河流呢？方法 1：仿照拓展二方法 1，将点 A 沿与河垂直的方向平移 S 三个河宽分别到到 A1、A 2、A 3，路径中三座桥的长度是固定的。为了使路径最短
4、，只要 A3B 最短。连接 A3B，交河流 3 于 N，在此处造桥 MN；连接 A2N，交河流 2 于 P，在此处造桥 PQ；连接 A1Q，交河流 1 于 R，在此处造桥 RS。所得路径 ASRQPMNB 最短。方法 2：此处还可以先将 A 沿与河流 1 河岸垂直的方向平移两个单位到A1、A 2，再将 B 沿与河流 3 河岸垂直的方向平移一个河宽到 B1；或先将 A 沿与河岸垂直的方向平移 1 个单位到 A1，再将 B 沿与河岸平移 2 一个河宽到B1、B 2，来选择修桥位置。（请同学们自己画出图形。） 拓展 3：如图 9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又 该如何建桥？方法 1：如
5、图 10，先将点 A 沿与河流 1 河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流 2 河岸垂直的方向平移一河宽到 A2，连接 A2B，交河流 2 河岸于N，此处建桥 MN；连接 A1M，交河流 1 于 P，在此处建桥 PQ。所得路径 AQPMNB最短。方法 2：也可以将 A 沿与河流 1 垂直的方向平移 1 个河宽，得到 A1，再将 B沿与河流 2 河岸垂直的方向平移 1 个河宽得到 B1，连接 A1B1与河流 1、河流 2分别相交于 N、P，分别作桥 MN、PQ。所得路径 AQPNMB 最短。由以上拓展，我们不难体会到，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过平移变换，使除桥长不变外所得到的其他路径经平移后在一条直线上。
