1、(A 卷) 第 1 页 共 6 页上 海 交 通 大 学线 性 代 数(B 类)试 卷-A 卷 2007-01-10姓名_ _ _班级_ _ _学号_ _题号 一 二 三 四 总分得分一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1设 为实矩阵,则线性方程组 只有零解是矩阵 为正定矩阵的 nmA 0Ax)(AT(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。2已知 为四维列向量组，且行列式 ，321, 4,1321，则行列式 1BBA(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。406303设向量组 线性无关，且可由向量组 线s， 21)2(s， 21性表示，则以下
2、结论中不能成立的是 (A) 向量组 线性无关；s， 21(B) 对任一个 ，向量组 线性相关；jsj， 2(C) 存在一个 ，向量组 线性无关；j sj， (D) 向量组 与向量组 等价。s， 21 s， 214对于 元齐次线性方程组 ，以下命题中，正确的是 n0Ax(A) 若 的列向量组线性无关，则 有非零解；A(B) 若 的行向量组线性无关，则 有非零解；(C) 若 的列向量组线性相关，则 有非零解；0x(D) 若 的行向量组线性相关，则 有非零解。A5设 为 阶非奇异矩阵 ， 为 的伴随矩阵，则 An)2(n(A) ； (B) ；11|)(A|)(1(C) ； (D) 。|A1|(A 卷
3、) 第 2 页 共 6 页二、填空题（每题 3 分，共 15 分）6 列向量 是矩阵 的对应特征值 的一个特征向量. 12135baA则 ， ， 。a7设 阶向量 ， ；矩阵 ,nTx)0(， TEA且 ，则 _ _。EA118已知实二次型 正定,则常数 的321232132,14)( xaxxf a取值范围为_。 9设矩阵 ， 是 中元素 的代数余子式， ，3)(jiaAji|Aji jijiA，已知 ，则 。121 01a110设 ， ，已知向量 与 线性相关，则 。403AAa三、计算题(每题 9 分,共 54 分)11 (1) 求方程 的根，其中 ；0)(xf 21236543)(2x
4、xf(A 卷) 第 3 页 共 6 页(2) 计算 阶行列式 。n nnnnxxyyxxxD121121 12设实向量 ，其中 ， ，矩阵Ta321013TTEA(1) 试说明矩阵 能相似于对角阵； (2) 求可逆矩阵 ，使 为对角阵，AP1并写出此对角阵； (3) 求行列式 。|EA(A 卷) 第 4 页 共 6 页13已知线性方程组 ，试讨论：2)1(2321kxkx(1) 取何值时，方程组无解； (2) 取何值时,方程有唯一解，并求出其解；k(3) 取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。14. 设实二次型 ，323123121321 84545)( xxxxf ，求：正交变换 ，将 化
5、为标准型。yQf(A 卷) 第 5 页 共 6 页15. 设 的基为 ， ， 。3R10213(1) 试由 构造 的一个标准正交基 ；321， R321，(2) 求由基 的过渡矩阵 ；321，到， P(3) 已知向量 ，求向量 在基 下的坐标。321321，16. 已知 为 阶矩阵，且满足方程 ，其中 。BA,3EBA421201(1) 证明：矩阵 可逆； (2) 求矩阵 。E2(A 卷) 第 6 页 共 6 页四、证明题(每题 8 分,共 16 分)17设向量组 线性无关，且可由向量组 线性表示。证明：321， 321，(1) 向量组 线性无关； (2) 向量组 与 等价；， ， 321，(
6、3) 向量组 中存在某个向量 ，使得向量组 线性无关。321， j 32，j18设 是 阶矩阵, 是 的特征多项式。证明: 矩阵 可BA可n|)(BEf)(Af逆的充分必要条件为 的特征值都不是 的特征值。A(A 卷) 第 7 页 共 6 页线性代数（B） （06071）期末试卷（A）参考答案一、选择题 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A)二、填空题 6-1,-3,0； 7. ； 8. ； 9 ； 10. 1。2/7|a6三、计算题11 （1） ， 1，1，3，3； （4 分）)9(15)(2xxf （2） 。 （9 分）ninyD12)(12(1) 为实对称矩阵，所以相
7、似于对角阵。 (2 分)A(2) 因为 ，所以 是 的特征值。2)()( TTE21A又秩 ， ，所以 是 的另两个特征值。1)Tr 0|A3设 为 对应 的特征向量，则由x,(32132，得 对应 的线性无关的特征向量), 321aa 132，令TT),0(,)0,( 132121 1323110),( aP则 。 (7 分)101AP(3) 的特征值为21=1，1+1=2，1+1=2，因此 。 (9 分)E 4|EA13(1) 时， ，无解 (2 分)k3)(2)(Arr(2) 时， ，唯一解 (5 分)0， TTkx0,12(),(321(3) 时， ，无穷多解, 通解 。 (9 分)2
8、k2)(r 2032cx14 ； (8 分) 。 (9 分)3254101Q 23210yyf(A 卷) 第 8 页 共 6 页15(1) , , ， （3 分）1312162 013(2) （6 分） 32),(),(321321P(3) （9 分）32163注：本题答案不唯一，如 ， ， ，则 ，011203 01P321316(1) （4 分）EBAEBA8)4(284 )(8)2(1EBA(2) ， (9 分）() 20)(1四、证明题17(1) ，故 ， (2 分) )(3321，r 3)(21，r 3)(21，r(2) ，且 可由 线性表示,， ， 3， 21，故向量组 与 等价 (5 分)321， 321，(2)若不，则对任意 ， 线性相关， 线性无关,故j，j 32， 321，由 线性表示， ，矛盾。 (8 分)32， )(321，r)(32，r18. 设 是矩阵 的特征值， ，则 ， (2 分)iBni)(|1iniBEf 于是 ， 行列式 )()1EAfini |)(|Aii故 都不是 的特征值。(8 分)nf ii ,0|0|( 可
