1、- 1 -一章习题解答1.1 给定三个矢量 A、 B和 C如下：23xyze45xz求：（1） Aa；（2） ；（3） A；（4） AB；（ 5） 在 上的分量；（6）C；（7） ()B和 ()C；（8） ()C和 ()。解 （1）2212341413xyzA xyzeee（2） ()()xyzyz65xyz（3） BeA11（4）由 cosB147238，得 1cosAB1()5.238（5） A在 上的分量 BAcosAB17（6） C12350xyze4130xyzee（7）由于 B2xyz852xyzeA1304xyze104xyze所以 ()C(2)xyzeA(852)Bxz（8）
2、()A10452xyze05xyze- 2 -()ABC123850xyze41xyzee1.2 三角形的三个顶点为 1(,)P、 2(,3)和 (6,25)P。（1）判断 123是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解 （1）三个顶点 (0,)、 2(4,)和 3(,)的位置矢量分别为yzre， 2xyzre， 625xyzre则 121zR， 2328Re，3367xy由此可见 12(4)(8)0zxyzeeAA故 123P为一直角三角形。（2）三角形的面积 1231231769.13SRR1.3 求 (,14)点到 (,)P点的距离矢量 及 的方向。解 3Pxyzre， xyzre，
3、则 5且 R与 、 、 轴的夹角分别为 11cos()cos()32.1xPxeRA110.475yyPcos()cos()9.3zz eRA1.4 给定两矢量 23xyze和 6xyzBe，求它们之间的夹角和 A在B上的分量。解 A与 之间的夹角为 11cos()cos()13297 AB 在 上的分量为 3.571.5 给定两矢量 4xyze和 64xyzBe，求 AB在xyzCe上的分量。- 3 -解 AB23461xyze3210xyzee所以 在 C上的分量为 ()CAB()2514.3A1.6 证明：如果 和 ，则 BC；解 由 ，则有 ()，即()()()A由于 AB，于是得到
4、故 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 为一已知矢量， pAX而 P， p和 P已知，试求 X。解 由 P，有 ()()()()AA故得 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,3)定出，求该点在：（ 1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解 （1）在直角坐标系中 cosx、 4sin(23)y、 3z故该点的直角坐标为 (2,3)。（2）在球坐标系中 245r、 1ta)5.、 120故该点的球坐标为 5,.101.9 用球坐标表示的场 2rEe，（1）求在直角坐标中点 (3,45)处的 和 xE；（2）求在直角坐标中点 处 与矢量
5、2yzBe构成的夹角。解 （1）在直角坐标中点 ,处， 22(3)4(5)0r，故1rEecos2205xrxA（2）在直角坐标中点 (3,45)处， 4xyze，所以210zrE- 4 -故 E与 B构成的夹角为 119(02)cos()cos153.6EB A1.10 球坐标中两个点 1,r和 2,r定出两个位置矢量 R和 2。证明 1和2R间夹角的余弦为 121212coscosinsco()解 由 1inisxyzrrreee22222得到 1cosRA121212incsiosinsisncos1 12(c)i)co1.11 一球面 S的半径为 5，球心在原点上，计算： (3si)d
6、rSeA的值。解 (3sin)d(3sin)dr rrSSeeAA2220in5i751.12 在由 、 0z和 4围成的圆柱形区域，对矢量 rze验证散度定理。解 在圆柱坐标系中 21()()32rzrA所以 42500d3d10z又 2()()rzrzSSSSeeeAA4522005d4d120r故有 1ASA1.13 求（1）矢量2223xyzxyee的散度；（2）求 A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 （1）2 2()(4)7xyzA（2） 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 12221d(7)d24xyxzz- 5 -（3） A对
7、此立方体表面的积分 121222d()d()dSyzyz12122xx12 12323214()d4()d24yyxy 故有 dASA1.14 计算矢量 r对一个球心在原点、半径为 a的球表面的积分，并求 rA对球体积的积分。解 2230ddsin4rSSeA又在球坐标系中，21()3r，所以 230dsind4araA1.15 求矢量2xyzee沿 xy平面上的一个边长为 2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 轴和 轴相重合。再求 A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解 22220000ddd8CAl又 22xyzxzyee所以 0d()d8xzzS xyAA故有 8ClS
8、1.16 求矢量2xye沿圆周 22xya的线积分，再计算 A对此圆面积的积分。解 2ddCAl 42420(cosincosin)da - 6 -d()dyxzzSSASee2420sindaayrr1.17 证明：（1） 3R；（2） ；（3） ()AR。其中xyzRe， 为一常矢量。解 （1）xyzA（2） xyzeR0（3）设 xyzAee，则 xyzAR，故()()()xyzxyzA ezxzexyze1.18 一径向矢量场 ()rfF表示，如果 0FA，那么函数 ()fr会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1d()rf可得到 ()Cfr为任意常数。在球坐标系中，由 21d()
9、0rfFA可得到 2()fr1.19 给定矢量函数 xyEe，试求从点 1(2,)P到点 2(8,1)的线积分dElA：（1）沿抛物线 2y；（2）沿连接该两点的直线。这个 E是保守场吗？ 解 （1） ddxClAdCx221()yy2164y（2）连接点 (,P到点 8,)直线方程为2xy即 60xy故 1dd(4)()dxyCEylA 21(4)d1y- 7 -由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20 求标量函数 2xyz的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345500xyzee定出；求 (,31)点的方向导数值。 解 222()xyzzxxyeeze故沿方向34550
10、0lxyze的方向导数为26lxxylA点 (2,31)处沿 e的方向导数值为 310155l1.21 试采用与推导直角坐标中yxzA相似的方法推导圆柱坐标下的公式1()zrA。解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 沿 e方向穿出该六面体的表面的通量为 ()ddz zrr rArA (),(,)rrzz()()1r rAz同理 ddz rr zAAr(,)(,)zr Azrddrzz zrr(,)(,)zzArAzzr因此，矢量场 穿出该六面体的表面的通量为rzoxyz题 1.21 图- 8 -()1rzrzA 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()limrzA1.22 方
11、程22xyzuabc给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解 由于 22xyzuabcee()()故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2222()()(xyzuxyzabcabcnee1.23 现有三个矢量 A、 B、 C为sinososinre22zzzre(3)xyxe（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中 211()(sin)isir AArA2 1sncoco)(sin)i sirr s2i 0inrr2in1sinsirrAAee2 sin1 0sincoscosisrrrrreee
12、故矢量 A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中- 9 -1()zrBB=A221sin(cos)(sin)zrzr2iiir22110sincosinzr zrzBzr eee故矢量 B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中 yxzC=A22(3)()()0xz22(6)3xyzyeeC故矢量 可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为0A， ；sinrB=， 0B；C， (26)zxye1.24 利用直角坐标，证明 ffAA解 在直角坐标中 ()()yxzxyzfffA)(yx zffA()()(xyzfAffAf1.25 证明 H
13、H解 根据 算子的微分运算性质，有 ()()()AA- 10 -式中 A表示只对矢量 作微分运算， H表示只对矢量 作微分运算。由 ()()abcb，可得 ()()AA同理 HHA故有 ()1.26 利用直角坐标，证明 ()ffGG解 在直角坐标中 ( )()y yx xz zxffGeeef )(zyyxzzyxffffff所以 ff()()yzxzyGffzexy zGffx()()yz xye)yzxff(xzfGfze()yxzGfe()f1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 ()0u及()0A，试证明之。解 （1）对于任意闭合曲线 C为边界的任意曲面 S，由斯托克斯定理有()dd0S CuullAA由于曲面 是任意的，故有 (0（2）对于任意闭合曲面 为边界的体积 ，由散度定理有 12)d)d()d()dSSSAAAA其中 1S和 2如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有11()SCl， 22()SCl由题 1.27 图可知 C和 2是方向相反的同一回路，则有 12dlA
