1、第 1 页 共 10 页第十三章实数 -知识点总结一、算术平方根1. 算术平方根的定义： 一般地，如果 的 等于 a，即 ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，a叫做 规定：0 的算术平方根是 0. 也就是，在等式 (x0)中，规定 。ax2 ax理解： (x0) ax2a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的算术平方根 a 的算术平方根是 x2. 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， 是一个有限数；当 a 不是一个完全平方数时， 是一个无限不循环小数。3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4. 夹值法及
2、估计一个（无理）数的大小（方法： ）二、平方根1. 平方根的定义：如果 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的 即：如果 ，那么 x 叫做 a 的 理解： ax2a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的平方根 a 的平方根是 x第 2 页 共 10 页2.开平方的定义：求一个数的 的运算，叫做 开平方运算的被开方数必须是 才有意义。3. 平方与开平方 ： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3 4. 一个正数有 平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数 平方根，即负数不能进行开平方运算5. 符号：正数 a 的正的平方根可用 表示， 也是 a 的算术平方根；a正数 a
3、 的负的平方根可用- 表示6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。三、立方根1. 立方根的定义：如果 的 等于 ，这个数叫做 的 （也aa叫做 ） ，即如果 ，那么 叫做 的立方根。x2. 一个数 的立方根，记作 ，读作：“三次根号 ”，a3a其中 叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。理解： ax3axa 是 x 的立方 x 的立方是 a x 是 a 的立方根 a 的立方根是 x3. 一个正数有一个正的立方根；0 有一个立方根，是它本身
4、；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。第 3 页 共 10 页4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。330a四、实数1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数整 数有 理 数 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数实 数 分 数无 理 数 无 限 不 循 环 小 数4. 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如 ， ， 是正无理数， ， ，2323是负无
5、理数。由于非 0 有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：负 无 理 数负 有 理 数负 实 数 正 无 理 数正 有 理 数正 实 数实 数 05. 实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数第 4 页 共 10 页大6. 数 的相反数是 ，这里 表示任意一个实数。aa7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的
6、绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。8. 无限小数是有理数（ ） 无限小数是无理数（ ）有理数是无限小数（ ） 无理数是无限小数（ ）数轴上的点都可以用有理数表示（ ） 有理数都可以由数轴上的点表示（ ）数轴上的点都可以用无理数表示（ ） 无理数都可以由数轴上的点表示（ ）数轴上的点都可以用实数表示（ ） 实数都可以由数轴上的点表示（ ）五、考点分析类型一、有关概念的识别例 1下面几个数： ，其中，无理数的个数有5723064.01.,723. 3， A、1 B、2 C、3 D 、4【变式 1】下列说法中正确的是（ ）A、 的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、 D、 是 5 的平方根的
7、相反数 8 1【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数是（ ）A、1.5 B、1.4 C、 D、23类型二、计算类型题例 2设 ，则下列结论正确的是（ ） a6第 5 页 共 10 页A. B. C. D. 举一反三：【变式 1】1 ）1.25 的算术平方根是 _；平方根是_.2） -27 立方根是_. 3） _， _， _.【变式 2】求下列各式中的（1） （2） （3）5x912x643x类型三、数形结合 例 3. 点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上表示的数为 2，则 A， B
8、两点的距离为_53举一反三：【变式 1】如图，数轴上表示 1， 的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点2C 表示的数是（ ） A B C D1222类型四、实数非负性的应用第 6 页 共 10 页例 4已知 ， 求 的值。0262zyx3zyx【变式 1】已知 ， 求 的值。01522cbacba类型五、易错题例 5判断下列说法是否正确（1 ） 的算术平方根是-3 （ ） （2） 的平方根是15 （ ）23 25第 7 页 共 10 页（3 ）当 x=0 或 2 时， （ ） （4） 是分数 （ ）0x23类型六、实数应用题例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个
9、长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。类型七、引申提高例 7. 把下列无限循环小数化成分数： 0.6.230.17第 8 页 共 10 页一、填空题1、 （ -0.7） 2 的平方根是 2、若 a=25, b=3,则 a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是 2a2 和 a4，则 a 的值是 4、 _5、若 m、n 互为相反数，则 _nm56、大于- ，小于 的整数有 _个。2 107、一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a= ，x= 。二、选择题1、以下语句及写成式子正确的是（ ）A、7 是 49 的算术平方根，即 B、7 是 的平方根，即492)(7)(2C、 是 49 的平方根，即 D、 是 49 的平方根，即7492、下列语句中正确的是（ ）A、 的平方根是 B、 的平方根是 9393C、 的算术平方根是 D、 的算术平方根是3、下列语句中正确的是（ ）第 9 页 共 10 页A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根 C、3 的平方是 9，9 的平方根是 3 D、 是 1 的平方根三、利用平方根解下列方程21160x24310x四、解答题1、若 ，求 的值。0)13(2yx25yx第 10 页 共 10 页4、已知 ，求 7（xy）20 的立方根。052xy
