1、第四章4-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统在正、负反()1)(2KGss馈情况下的根轨迹图。解：（1）负反馈情况令 ，解得 3 个开环极点()2=0s1230,pp根轨迹分支数为 3，起点分别为 终点均为无穷远处。(,)()jjj在实轴上的根轨迹为 两段。,由 n=3,m=0 得轨迹有 3 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标 11nmijapz渐近线与实轴正方向的夹角为 21=3akknm（ ） （ ） ， （ k=0,2）当 时，计算得 分别为 60，180，-60 k=0,12确定分离点，由 解得 由于 不是根轨迹1+02d12.4,1.58d2d上的点，故不是分离点，分离
2、点坐标为确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程 令32=0ssKsj代入上式得 写出实部和虚部方程32=0jjK可求得23=0K6或因此，根轨迹在 处与虚轴相交，交点处的增益 ；另外实轴上的根轨迹26K分支在 处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示0（2）正反馈情况令 ，解得 3 个开环极点(1)=s1230,pp根轨迹分支数为 3，起点分别为 终点均为无穷远处。(,)()jjj在实轴上的根轨迹为 两段。2,10由 n=3,m=0 得轨迹有 3 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标 11nmijapz渐近线与实轴正方向的夹角为 2=3ak， （ 0,12）当 时，计算得 分别为 0，120，-
3、120 k=0,12确定分离点，由 解得 由于 不是根轨迹1+2d12.4,.58d1d上的点，故不是分离点，分离点坐标为确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程 将32-=0ssKj代入上式得 写出实部和虚部方程32-=0jjK可求得23-=0K-6或因此，根轨迹在 处与虚轴相交。正反馈系统根轨迹如下图所示4-2 设系统的开环传递函数为 绘制根轨迹图，证明根轨(+)()sKzGHp迹的复数部分是圆，并求出圆的圆心和半径。解：系统实轴上的根轨迹为 ,0z根轨迹分离点坐标满足 解得11+=dp2212,dzpdzpz系统闭环特征方程 解得2()0sKsz 21,24()-Ksj令 则4()=-,
4、ppxy2222()()(z-)()44KzKppy两式相加得 22()=xzyz又分离点 d 到开环零点距离 2rdpz即 222()r=()xzydz故根轨迹的复数部分是圆，圆心为零点，半径为零点到分离点之间的距离。根轨迹图如下：4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹图。（1） （2）()()13KsG2(1)()0.KsG（3） （4）(5)()ss 2()s（5） （6）24)()1KG2(0.)36KGs解：（1）由开环传递函数可知，系统有 1 个开环零点 1z3 个开环极点 1230,pp根轨迹分支数为 3，起点分别为 一个终点为(0),(30)jjj(2,0)j另
5、两个终点为无穷远处。在实轴上的根轨迹为 两段。,21,由 n=3,m=1 得轨迹有 2 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标 11nmijapz渐近线与实轴正方向的夹角为 21=2akknm（ ） （ ） ， （ k=0,）当 时，计算得 分别为-90 ，90k=0,1a则系统根轨迹如下图所示（2）由开环传递函数可知，系统有 1 个开环零点 1z3 个开环极点 1230,0pp根轨迹分支数为 3，起点分别为 一个终点为(),(0)jj(1,0)j另两个终点为无穷远处。在实轴上的根轨迹为 段。10,由 n=3,m=1 得轨迹有 2 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标14.5nmijapz渐近线与实轴正
6、方向的夹角为 21=2akknm（ ） （ ） ， （ k=0,1）当 时，计算得 分别为-90 ，90k=0,1a确定分离点，由 解得+10dd124,.5d确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程 将30.=0sKsj代入上式可求得 =0K则系统根轨迹如下图所示（3）由开环传递函数可知，系统有 1 个开环零点 15z2 个开环极点 12,3p根轨迹分支数为 2，起点分别为 ，终点分别为 和无穷远处。(,0)3,jj(,0)j在实轴上的根轨迹为 两段。,51轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标 11nmijapz渐近线与实轴正方向的夹角为 2=2a akkn（ ） （ ） ， （ 0）
7、 则确定分离点，由 解得1+=35dd125d，确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程 将2(4)3=sKssj代入上式可求得 均舍去017,3-45jK则系统根轨迹如下图所示（4）由开环传递函数可知，系统有 1 个开环零点 1z2 个开环极点 120,p根轨迹分支数为 2，起点分别为 ，终点分别为 和无穷远处。(0,),j (,0)j在实轴上的根轨迹为 段。,1轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标 11nmijapz渐近线与实轴正方向的夹角为 2=2a akkn（ ） （ ） ， (0)则确定分离点，由 解得 ，则分离点为1+=dd,j则系统根轨迹如下图所示（5）由开环传递函数可知，
8、系统有 1 个开环零点 14z2 个开环极点 12,p根轨迹分支数为 2，起点分别为 ，终点分别为 和无穷远处。(,0),jj(,0)j在实轴上的根轨迹为 段。,4轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标 12nmijapz渐近线与实轴正方向的夹角为 2=2a akkn（ ） （ ） ， (0)则确定分离点，由 解得 1+=4dd7则系统根轨迹如下图所示（6）由开环传递函数可知，系统有 1 个开环零点 10.2z3 个开环极点 1230,.6pp根轨迹分支数为 3，起点分别为 ，终点分别为 和(0),(3.6)jj(0.2,)j无穷远处。在实轴上的根轨迹为 段。.6,2轨迹有 2 条渐近线，
9、它与实轴上的交点坐标 11.7nmijapz渐近线与实轴正方向的夹角为 2=22a akkn（ ） （ ） ， (=0,)则确定分离点，由 解得 11+=3.60.2dd12.67,0.43d则系统根轨迹如下图所示4-5 已知系统如下图所示，试绘制根轨迹图。解：由图可知系统的开环传递函数为 32()KGsHs令 ，解得 3 个开环极点32=0ss120,1pjpj根轨迹分支数为 3，起点分别为 ，终点分别为 和无穷远(,),()jjj和 (5,0)处。在实轴上的根轨迹为 段。,0轨迹有 3 条渐近线，它与实轴上的交点坐标 123nmijapz渐近线与实轴正方向的夹角为 2=akkn（ ） （ ） ， （ k=0,1）当 时，计算得 分别为 60，180，-60 k=0,12确定分离点，由 无解得 无分离点11+0()()djdj确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程 将32=0ssKsj代入上式可求得 =02,4K由 得出射角为11(2)()mnpi zjpipjijjik321,4ppp则系统根轨迹如下图所示
