1、1 轴对称图形典型例题 例 1 如下图，已知， PB AB， PC AC，且 PB PC， D 是 AP 上一点 求证： BDP CDP 证明： PB AB， PC AC，且 PB PC， PAB PAC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上）， APB PAB 90， APC PAC 90， APB APC， 在 PDB 和 PDC 中， P D PDA P CA P BPCPB. ， PDB PDC（ SAS）， BDP CDP （图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等） 注 利用角平分 线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等
2、 例 2 已知如下图（ 1），在四边形 ABCD 中， BC BA， AD CD， BD 平分 ABC求证： A C 180 （ 1） 证法一：过 D 作 DE AB 交 BA 的延长线于 E， DF BC 于 F， BD 平分 ABC， DE DF， 在 Rt EAD 和 Rt FCD 中， .DFDE DCAD ， （角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明） Rt EAD Rt FCD（ HL）， 2 C EAD， EAD BAD 180， A C 180 证法二：如下图（ 2），在 BC 上截取 BE AB，连结 DE，证明 ABD EBD 可得 （ 2）
3、 证法三：如下图（ 3），延长 BA 到 E，使 BE BC，连结 ED，以下同证法二 （ 3） 注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法 例 3 已知，如下图， AD 为 ABC 的中线，且 DE 平分 BDA 交 AB 于 E， DF 平分 ADC交 AC 于 F 求证： BE CF EF 证法一：在 DA 截取 DN DB，连结 NE、 NF，则 DN DC，在 BDE 和 NDE 中， .DEDEN D EB D ENDBD，（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题） BDE ND
4、E（ SAS）， BE NE（全等三角形对应边相等）， 同理可证： CF NF， 在 EFN 中， EN FN EF（三角形两边之和大于第三边）， BE CFEF 3 证法二：延长 ED 至 M，使 DM ED，连结 CM、 MF， 在 BDE 和 CDM 中， .DMDEC D MB D ECDBD，（从另一个角度作辅助线） BDE NDE（ SAS）， CM BE（全等三角形对应边相等 ）， 又 BDE= ADE， ADF CDF， 而 BDE ADE ADF CDF 180， ADE+ ADF 90， 即 EDF 90， FDM EDF 90， 在 EDF 和 MDF 中， .DFDFM
5、 D FE D FMDED， EDF MDF（ SAS）， EF MF（全等三角形对应边相等）， 在 CMF 中， CF CM EF， BE CF EF 注 本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中 例 4 已知，如下图， P、 Q 是 ABC 边 BC 上的两点，且 BP PQ QC AP AQ求：BAC 的度数 解： AP PQ AQ（已知）， 4 APQ AQP PAQ 60（等边三角形三个角都是 60）， AP BP（已知），（注意观察图形和条件） PBA PAB（等边对等角）， APQ PBA PAB 60 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），
6、PBA PAB 30，同理 QAC 30， BAC BAP PAQ QAC 30 60 30 120 注 本题考察等腰三角形、等边三角形的性 质，关键是掌握求角的步骤：（ 1）利用等边对等角得到相等的角；（ 2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（ 3）利用三角形内角和定理列方程 例 5 已知，如下图，在 ABC 中， AB AC， E 是 AB 的中点，以点 E 为圆心， EB 为半径画弧，交 BC 于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DF DE，连结 FC 求证： F A 证明： AB AC， B ACB（等边对等角）， EB ED， B EDB
7、， ACB EDB（等量代换）， ED AC（同位角 相等，两直线平行）， 在 BDE 和 AED 中， BE AE=ED， 连结 AD 可得， EAD EDA， EBD EDB， EDA EDB 90，即 AD BC， EDA EDB 90，即 AD BC， （用什么定理判定三角形全等的？） D 为 BC 的中点， BDE CDF， BED F，而 BED A， F A 例 6 已知，如下图， ABC 中， AB AC， E 在 CA 的延长线上， AEF AFE 求证： EF BC 证法一：作 BC 边上的高 AD， D 为垂足， 5 AB AC， AD BC， BAD CAD （等腰三角
8、形三线合一）， 又 BAC E AFE， AEF AFE， CAD E， AD EF， AD BC， EF BC 证法二：过 A 作 AG EF 于 G， AEF AFE， AG AG， AGE AGF 90， AGE AGF （ ASA）， AB AC， B C， 又 EAF B C，（请对比多种证法的优劣） EAG GAF B C， EAG C， AG BC， AG EF， EF BC 证法三：过 E 作 EH BC 交 BA 的延长线于 H， AB AC， B C， H B C AEH， AEF AFE， H AFE FEH 180， H AEH AEF AFE 180， AEF AEH
9、 90，即 FEH 90， EF EH，又 EH BC， EF BC 证法四：延长 EF 交 BC 于 K， AB AC， B C， B 21 （ 180 BAC）， AEF AFE， AFE 21 （ 180 EAF）， 6 BFK AFE， BFK 21 （ 180 EAF）， B BFK 21 （ 180 BAC） 21 （ 180 EAF） 21 360（ EAF BAC） ， EAF BAC 180， B BFK 90，即 FKB 90， EF BC 注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立 EF 与 BC 的联系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法 例
10、 7 如下图， AB AC， DB DC， P 是 AD 上一点 求证： ABP ACP 证明：连结 BC， AB AC（已知）， ABC ACB（等边对等角）， 又 点 A、 D 在线段 BC 的垂直平分线上 （与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线， AD 就是线段 BC 的垂直平分线， PB PC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， PBC PCB（等边对等角），（线段垂直平分线的性质） ABC PBC ACB PCB（等式性质）， 即 ABP ACP 注 本题若用三角形全等，至少需要证两 次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简
11、洁 例 8 如下图， AB AC， DE 垂直平分 AB 交 AB 于 D，交 AC 于 E，若 ABC 的周长为 28，BC 8，求 BCE 的周长 7 解： 等腰 ABC 的周长 28， BC 8， 2AC BC 28， AC 10， （理由是什么？） DE 垂直平分 AB， AE BE， BCE 的周长 BE EC BC AE EC BC AC BC 10 8 18 注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系 例 9 已知，如下图， ABC 中， AB AC， BAC 120， EF 为 AB 的垂直平分线， EF交 BC 于 F，交 A
12、B 于 E，求证： FCBF 21 证法一：连结 AF，则 AF BF， B FAB（等边对等角）， AB AC， B C（等边对等角）， BAC 120， B C 302180 B AC （三角形内角和定理）， FAB 30， FAC BAC FAB 120 30 90， 又 C 30，（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一） FCAF 21 （直角三角形中 30角所对的直角边 等于斜边的一半）， FCBF 21 8 证法二：连结 AF，过 A 作 AG EF 交 FC 于 G， EF 为 AB 的垂直平分线， AF BF， 又 B 30， AFG 60， BAG 90， AGB 60， AF
13、G 为等边三角形， 又 C 30， GAC 30， AG GC，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法） BF FG GC FC21 例 10 已知，如下图， AB BC， CD BC， AMB 75， DMC 45， AM MD求证： AB BC 思路分析 从结 论分析，要证 AB BC，可连结 AC，使 BC 与 AB 能落在一个三角形内，再看 BAC 与 BCA 能否相等？ 证明：连结 AC，交 DM 于 H， AMB 75， DMC 45（已知）， AMD 60（平角定义） 又 AM MD， AMD 为等边三角形（有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形）， AM AD（等边三角形
14、三边相等）， CD BC， DCM 90， DMC 45， MDC 45（三角形内角和定理）， CD CM（等角对等边）， AC 是 DM 的垂直平分线 （和线段两端点等距离的点，在线段的垂直平分线上）， MHC 90， HCM 45， B 90， BAC 45， 9 AB BC（等角对等边） 【典型热点考题】 例 1 如图 715，等腰 ABC 的对称轴与底边 BC 相交于点 D，请回答下列问题： (1)AD 是哪个角的平分线； (2)AD 是哪条线段的垂直平分线； (3)有哪几条相等的边； (4)有哪几对相等的角 点悟：本题主要考查等腰三角形的所有特征所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性
15、质来解答问题 解：等腰三角形是轴对 称图形，直线 AD 是它的对称轴 (1)AD 是顶角 BAC 的平分线 (2)AD 是线段 BC 的垂直平分线 (3)AB AC， BD DC (4) BAD CAD， ABC ACB， ADB ADC 例 2 如图 716，已知 PB AB， PC AC，且 PB PC， D 是 AP 上一点求证： BDP CDP 点悟：利用三角形全等证明两个角相等最直观，但因为图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以， 证明： PB AB， PC AC，且 PB PC， PAB PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 ) APB
16、PAB 90， APC PAC 90， APB APC 在 PDB 和 PDC 中， 10 PDPDAPCAPBPCPB PDB PDC(SAS) BDP CDP 例 3 如图 717，先找出下列各图形中的轴对称图形，再画出它们的对称轴 (有几条，画几条 ) 点悟：先确定是否是轴对称图形，如果是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来 解： (1)是，它有 3 条对称轴 (2)是，它有 2 条对称轴 (3)是，它有 2 条对 称轴 (4)是，它只有一条对称轴 (5)它不是轴对称图形，故没有对称轴 (6)它是轴对称图形，有一条对称轴图均略 例 4 如图 718， ABC 中， AB AC， D 在 BC 上，且 BD AD， DC AC，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出 B 的度数 点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏在计算 B 的度数时，要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和 解：图中共有三个等腰三角形，它们分别是： ABC， ABD， CAD 设 B x，则 C x BAD， ADC DAC 2x B C BAC B C BAD DAC x x x 2x 5x 180 365180xB 例 5 如图 719，在金水河的同一侧居住两个村庄 A、 B要从河边同一点修两条水渠到 A、
