1、 1 / 4 轴对称 知识要点 一、 轴对称 和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线 折叠 ，如果它能够与另一个图形 重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线 对称 ， 这条直线叫做对称轴 ，折叠后重合的点是 对应点 ，叫做 对称点 两个图形关于直线对称也叫做轴对称 。 2、 轴对称图形：如果 一个图 形沿 一条直线折叠 ，直线 两旁的部分 能够互相 重合 ，这个图形就叫做 轴对称图形 。这条 直线 就是它的 对称轴 。 （ 对称轴必须是直线 ） 3、 对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、 轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么 对称轴 是任何 一对对应 点 所连
2、线段 的垂直平分线 。类似的，轴对称图形的对称轴，是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线 。 连接任意 一对对应点的线段 被 对称轴垂直平分 。 轴对称图形上 对应线段相等 、 对应角相等 。 5画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 二 、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别： 轴对称 是指 两个图形 之间的 形状 与 位置 关系，成 轴对称 的两个图形是 全等形 ； 轴对称图形 是 指 一个图形 ，把 一个轴对称图形 沿 对称轴 分成 两个图形 ，这 两个图形是全等形 ，并且 成轴对称 。 联系： 1、 都是折叠重合 2、 如果把
3、成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 三、 线段的垂直平分线 1、 经过 线段的中点 并且 垂直 于这条 线段 的直线，叫做这条 线段的垂直平分线 （或 线段的中垂线 ） 。 2、 性质： 线段的垂直平分线上 的 点 与这条 线段两个端点 的 距离相等 ； 判定： 与一条线段 两个端点距离相等 的 点 在这条 线段的垂直平分线上 。 （ 证明 时 必须有两个点） 因此 线段的垂直平分线 可以看成 与线段两个端点距离相等的所有点的集合 。 四、 用坐标表示轴对称 1、 点（ x， y）关于 x 轴对称的点的坐标为（ -x， y）； 2、 点（ x， y）关于 y 轴对称
4、的 点的坐标为（ x， -y）； 关于谁对称谁不变，关于原点都相反 3、 点（ x， y）关于原点对称的点的坐标为（ -x， -y）。 五、 关于 坐标轴夹角平分线 对称 点 P（ x， y）关于 第一、三象限坐标轴夹角平分线 y x 对称 的点的坐标是（ y， x） 点 P（ x， y）关于 第二、四象限坐标轴夹角平分线 y x 对称 的点的坐标是（ y， x） 六、 关于 平行于坐标轴的直线 对称 点 P（ x， y）关于直线 x m 对称的点的坐标是（ 2m x， y）； 点 P（ x， y）关于直线 y n 对称的点的坐标是（ x， 2n y）； 七、 等腰三角形 等腰三角形 的 性质
5、 ： 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “ 等边对等角 ” ） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 （三线合一） 等腰三角形的 判定 ： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “ 等角对等边 ” ） 八、 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形， 叫 等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形 的 性质 ： 性质 1： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60。 性质 2：等边三角形 的三条边都相等。 等腰三角形的 判定 ： 判定 1： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定 2： 有一个角是 60 的等腰
6、三角形是等边三角形。 在 直角三角形 中， 30 角 所 对的直角边 等于 斜边的一半 。 九、 其他结论 （ 1）三角形三个内 角的平分线 交于一 点 ，这一点到 三边的距离相等 。 （交点称为三角形的 内心 ） （ 2）三角形三边的 垂直平分 线 交于一 点 ，这一点到 三个顶点的距离相等 。 （交点称为三角形的 外心 ） 2 / 4 作图 题 1、 如图：已知 AOB 和 C、 D两点，求作一点 P，使 PC=PD，且 P 到 AOB 两边的距离相等。 2、已知： A、 B两点在直线 l 的同侧，试分别画出符合条件的点 M。 （ 1）如图，在 l 上求作一点 M，使得 AM BM最小；
7、作法： （ 2）如图，在 l 上求作一点 M，使得 AM BM最 大 ； 作法： （ 3）如图，在 l 上求作一点 M，使得 AM BM 最小。 作法： 练习题 1、已知 M（ a,3）和 N（ 4， b）关于 y 轴对称，则 2008)( ba = 。 2、 已知两条互不平行的线段 AB 和 A B关于直线 L 对称， AB 和 A B所在的直线交于点 P，下面四个结论：AB=A B；点 P 在直线 1 上；若 A、 A是对应点， 则直线 1 垂直平分线段 AA；若 B、 B是对 应点，则PB=PB，其中正确的是 。 3、 将两块全等的直角三角形（有一锐角为 300）拼成一个四边形，其中轴对
8、称图形的四边形有 个 4、 下列说法中错误的是（ ） A、 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B、 关于某条直线对称的两个图形全等 C、 全等的三角形一定关于某条直线对称 D、 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5、 等腰三角形有两条边长为 4cm 和 9cm，则该三角形的周长是 。 6、 等腰三角形的顶角是 80，则一腰上的高与底边的夹角是 。 7、 等腰三角形的一个外角是 80，则其底角是 。 8、 已知 A（ 1， 2）和 B（ 1， 3），将点 A向 _平移 _个单位长度后得到的点与点 B 关于 y 轴对称 。 9、 如图 3， B
9、C=5， BP、 CP 分别是 ABC 和 ACB 的角的平分线，且 PD AB， PE AC，则 PDE 的周长是 _。 10、 如图 4，在 ABC 中， ACB=90， BAC=30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得 PAB 为等腰三角形，则符合条件的点 P共有 _个 11、 如图，在 ABC 中， AB=AC， M， N 分别是 AB， AC的中点， D， E 为 BC 上的点，连结 DN， EM。 若 AB=13， BC=10，DE=5，则图中阴影部分的面积为 。 12、已知等腰三角形的一个角为 42 ，则它的底角度数 _。 A O B D C B A PA C D E 图
10、 3 A B C 图 4 3 / 4 13、 如图 5，设点 P 是 AOB 内一个定点，分别画点 P关于 OA、 OB 的对称点 P1、 P2，连结 P1P2交于点 M，交 OB 于点N，若 P1P2=5cm，则 PMN 的周长为多少？ 14、 如图 7，已知： ABC 的 B、 C 的外角平分线交于点 D。求证： AD 是 BAC 的平分线。 15、等边 ABC是边长为 1， BD=CD， BDC=120， E、 F分别在 AB、 AC 上，且 EDF=60，求 AEF 的周长 。 16、 如图， ABC 是等边三角形，延长 BC 至 E，延长 BA 至 F，使 AF=BE，连结 CF、
11、EF，过点 F 作直线 FD CE于 D，试发现 FCE 与 FEC 的数量关系，并说明理由 17、 已知：如图， ABC 中， C=90， CM AB 于 M， AT平分 BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE AB 交 BC于 E，求证 CT=BE。 B A C D E F A C T E B M D 4 / 4 18、 如图，已知 ABC 中， AD BC 于 D， C=35，且 AB+BD=DC，求 B 度数 。 19、 已知 ABC 中， A=90 ， B=67.5 ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法
12、都画出来 。 只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） 20、 如图 1，已知 ABC 中， AB=BC， ABC=90 ，把一块含 30 角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF），将直角三角板 DEF绕 D 点按逆时针方向旋转 。 （ 1）在图 1 中， DE 交 AB 于 M， DF 交 BC 于 N。 证明 DM=DN； 在这一旋转过程中，直角三角板 DEF 与 ABC 的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； （ 2）旋转 至如图 2 的位置，延长 AB交 DE 于 M，延长 BC交 DF 于 N， DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （ 3）旋转至如图 3 的位置，延长 FD交 BC 于 N，延长 ED 交 AB于 M， DM=DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明 。 A B C 备用图 A B C 备用图 A B C 备用图 C A B D A D C NF E B M 图 2 A D C N F E B M 图 3 A D C N F E B M 图 1
