1、初二 数学讲义 1 全等三角形复习 一知识点： 1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 含义：形状相同，大小相等 . 2符号：“ ” 3对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点 4全等三角形的性质： 全等三角形的对应角 ，对应边 . 5全等三角形的判定： 1.判定两个三角形全等的方法有： _的两个三角形全等 (SSS ) _的两个三角形全等 (SAS ) _的两个三角形全等 (ASA ) _的两个三角形全等 (AAS AAS) 2，判定两个直角三角形全等的方法还有： _的两个直角三角形全等 (HL ) 例题： 1.如图已知 ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和 AB
2、C 全等的图形是( ) A.甲和乙 B乙 和丙 C.只有乙 D.只有丙 2.如图，在 ABC 和 DEF 中， B 、 E 、 C 、 F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个 正确 的命题，并加以证明 DEAB ， DFAC ， DEFABC ， CFBE 3.如图， OBOA ， ODOC ， 90C ODA OB . 猜想线段 AC 、 BD 的关系，并说明理由 . 6角平分线的性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 . （证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法） 几何符号语言： 21 OAPD OBPE PEPD 例题： 如图，
3、 OP 平分 AOB ， OAPD 于 D ， OBPE 于 E ， F 为 OP 上一点，连接 DF 、 EF . 求证： EPODPO DF =EF 7.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法） 几何符号语言： OAPD OBPE PEPD 点 P 在 POB 的平分线上 . 注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等 . 例题： 如图，在四边形 ABCD 中， 90BA ， EC 平分 BCD 交 AB 于 E ，且BEAE ，求证： DE 平分 CDA 8.全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几
4、种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与 原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 初二 数学讲义 2 D CBAEDFCBAEDCBAPQCBA4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线
5、段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC 中， AB=5， AC=3，则中线AD 的取值范围是 _. 例 2、如图， ABC中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE DF， D 是中点， 试比较 BE+CF 与 EF的大小 . 例 3、如图， ABC 中， BD=DC=AC， E是 DC的中点，求证： AD 平分
6、BAE.应用： 1、（ 09崇文二模）以 ABC 的两边 AB、 AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE ，9 0 ,B A D C A E 连接 DE， M、 N分别是 BC、 DE的中点探究： AM与 DE的位置关系及数量关系 （ 1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是 ， 线段 AM与 DE的数量关系是 ； （ 2）将图 中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向 旋转 (0AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在 ABC 中， B=60， ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证： OE=OD ED CBA初二 数
7、学讲义 4 NMEFACBAFEDCBA2、如图， ABC 中， AD 平分 BAC， DG BC 且平分 BC， DE AB 于 E， DF AC于 F. （ 1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE的长 . 应用 ： 1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （ 1）如图，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、 CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线，AD、 CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关
8、系； （ 2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中 ， E为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求 EAF 的度数 . 例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。 （ 1） 当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。 （ 2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 例 3 如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形， BDC 是等
9、腰三角形，且 0120BDC，以 D 为顶点做一个 060 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 AMN 的周长为 ； 作业： 1. 如图 , ABC ADE ， BC 的延长线交 DA 于 F，交 DE 于 G, 1 0 5 A E DA C B , 25,10 DBC A D ,求 DFB 、 GB 的度数 . EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 B CDNMA初二 数学讲义 5 2 如图， AB=AC,BE 和 CD 相交于 P， PB=PC,求证： PD=PE. 3如图，在 A
10、BC 中 ,M 在 BC 上， D 在 AM 上， AB=AC , DB=DC 。 求证： MB=MC 4.如图 ,AD与 BC 相交于 O,OC=OD,OA=OB,求证： DBACAB 5.如图，梯形 ABCD 中， AB/CD， E是 BC的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于 F 求证： ABE FCE 6.如图，在 ABC 中， AB=AC， D、 E 分别在 BC、 AC 边上。且 BADE ,AD=DE 求证： ADB DEC . 7如图，在 ABC 中， 90C ， AD 平分 CAB ， 8cm 5cmB C B D， ，那么 D 点到直线 AB 的距离 是 cm 8如图，已
11、知 AOB 和射线 OB，用尺规作图法作 A O B AOB （要求保留作图痕迹） 9已知，如图，点 B、 F、 C、 E 在同一直线上， AC、 DF 相交于点 G，AB BE，垂足为 B， DE BE，垂足为 E，且 AB DE， BF CE。 求证：（ 1） ABC DEF；（ 2） GF GC。 10、已知四边形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ，120ABC ， 60MBN ， MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD DC， （或它们的延长线）于 EF， 当 MBN 绕 B 点旋转A B D C A O B BO 初二 数学讲义 6 到 AE CF
12、时（如图 1），易证 AE CF EF 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE CF， ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 11、（西城 09 年一模） 已知 :PA= 2 ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、 D 两点落在直线 AB 的两侧 . (1)如图 ,当 APB=45时 ,求 AB 及 PD 的长 ; (2)当 APB 变化 ,且其它条件不变时 ,求 PD 的最大值 ,及相应 APB 的大小 . 12、在等边 ABC 的两边 AB、 AC 所在直
13、线上分别有 两点 M、 N， D 为 ABC外一点，且 60MDN , 120BDC ,BD=DC. 探究：当 M、 N 分别在直线 AB、 AC 上移动时， BM、 NC、 MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q与等边 ABC 的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （ I） 如图 1，当点 M、 N 边 AB、 AC 上，且 DM=DN 时， BM、 NC、 MN 之间的数量关系是 ； 此时 LQ ； （ II） 如图 2，点 M、 N 边 AB、 AC 上，且当 DM DN 时，猜想 （ I） 问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （ III） 如图 3，当 M、 N 分别在边 AB、 CA的延长线上时， 若 AN= x ，则 Q= （用 x 、 L 表示） （图 1） A B C D E F M N （图 2） A B C D E F M N （图 3） A B C D E F M N
