1、 使 命：给 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！ 逸、思、兴、维 1 授课教案 学员姓名： _ 学员年级： _ 授课教师： _ 所授科目： _ 上课时间： _年 _月 _日 （ ）； 共 _课时 （以上信息请老师用正楷字手写） 轴对称最值问题专项提升 【知识点】最短路径 两点之间，线段最短 例：四边形 ABCD 中， BAD= 0120 ， B= D= 090 ,在 BC， CD 上分别找一点 M， N，使 AMN周长最小，则 AMN+ ANM 的度数是（ ） A. 0130 B. 0120 C. 0110 D. 0100 例：如图， P， Q 分别为 ABC 的边 AB， AC 上的定点
2、 ,在 BC 上求作一点 M，使 PQM 周长最小。 一解答题（共 6 小题） 1已知：如图所示， M（ 3， 2）， N（ 1， 1）点 P 在 y 轴上使 PM+PN 最短，求 P 点坐标 2如图， ABC 的边 AB、 AC 上分别有定点 M、 N，请在 BC 边上找一点 P，使得 PMN 的周长最短 保留作图痕迹） 3如图 ABC 是边长为 2 的等边三角形， D 是 AB 边的中点， P 是 BC 边上的动点， Q 是 AC 边上的动点，当 P、Q 的位置在何处时，才能使 DPQ 的周长最小？并求出这个最值 使 命：给 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！ 逸、思、兴、维 2 4如
3、图， AOB=30， AOB 内有一定点 P，且 OP=10， OA 上有一点 Q， OB 上有一定点 R若 PQR 周长最小，求它的最小值 5如图，已知 A、 B 是锐角 的 OM 边上的 两个定点， P 在 ON 边上运动问 P 点在什么位置时， PA2+PB2 的值最小？ 6如图，两个生物制药厂 A 与 B 座落于运河河岸的同一侧工厂 A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米，两个工厂的距离为 6 千米现要在运河的工厂一侧造一点 C，在 C 处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小如图建立直角坐标系 （ 1）如果要求货物运动中转
4、站 C 距离河岸 l 为 a 千米（ a 为一个给定的数， 0a2），求 C 点设在何处时，直线输送带总长 S 最小，并给出 S 关于 a 的表达式 （ 2）在 0a2 范围内， a 取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值 使 命：给 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！ 逸、思、兴、维 3 2014 年 09 月 09 日 752444625 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共 6 小题） 1已知：如图所示， M（ 3， 2）， N（ 1， 1）点 P 在 y 轴上使 PM+PN 最短，求 P 点坐标 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质 菁优网版权所有 专题
5、： 数形结合 分析： 找出点 N 关于 y 轴的对称点，连接 M 与对称点，与 y 轴的交点为 P 点，根据两点之间，线段最短得到此时点 P 在 y 轴上，且能使 PM+PN 最短根据关于 y 轴对称点的特点，找出 N 对称点的坐标，设出直线MP 的方程，把 N 的对称点的坐标和 M 的坐标代入即可确定出直线 MP 的方程，然后令 x=0 求出直线与y 轴的交点，写出交点坐标即为点 P 的坐标 解答： 解：根据题意画出图形，找出点 N 关于 y 轴的对称点 N，连接 MN，与 y 轴交点为所求的点 P， N（ 1， 1）， N（ 1， 1）， 设直线 MN的解析式为 y=kx+b，把 M（ 3
6、， 2）， N（ 1， 1）代入得： ， 解得 ， 所以 y= x ， 令 x=0，求得 y= ， 则点 P 坐标为（ 0， ） 使 命：给 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！ 逸、思、兴、维 4 点评： 此题考查了对称的性质，以及利用待定系数法求一次函数的解析式 利用对称的方法找出线段之和的最小值的步骤为： 1、找出其中一个定点关于已知直线的对应点； 2、连接对应点与另一个定点，求出与已知直线交点的坐标； 3、根据两点之间，线段最短可知求出的交点坐标即为满足题意的点的坐标 2如图， ABC 的边 AB、 AC 上分别有定点 M、 N，请在 BC 边上找一点 P，使得 PMN 的周长最短
7、（写出作法，保留作图痕迹） 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 菁优网版权所有 专题 ： 作图题 分析： 作点 N 关 于 BC 的对称点 N，连接 MN交 BC 于点 P，由两点之间线段最短可知 P 点即为所求点 解答： 解： 作点 N 关于 BC 的对称点 N，连接 MN交 BC 于点 P， 由对称的性质可知 PN=PN，故 PN+PM=MN， 由两点之间线段最短可知， PMN 的最短周长即为 MN+MN 点评： 本题考查的是最短线路问题，根据两点之间线段最短的知识作出 N 的对称点是解答此题的关键 3如图 ABC 是边长为 2 的等边三角形， D 是 AB 边的中点， P 是 BC 边上的
8、动点， Q 是 AC 边上的动点，当 P、Q 的位置在何处时，才能使 DPQ 的周长最小？并求出这个最值 使 命：给 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！ 逸、思、兴、维 5 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；等边三角形的性质 菁优网版权所有 专题 ： 几何图形问题 分析： 作出 D 关于 BC、 AC 的对称点 D、 D，连接 DD， DQ， DP，根据轴对称的性质将三角形的周长最值问题转化为两点之间线段最短的问题，利用等边三角形的性质和三角函数即可解答 解答： 解：作 D 关于 BC、 AC 的对称点 D、 D，连接 DD， DQ， DP DQ=DQ， DP=DP， DPQ 的周长为 P
9、Q+DQ+DP=PQ+DQ+DP=DD， 根据两点之间线段最短， DD的长即为三角形周长的最小值 A= B=60， BED= AFD=90， = =90 60=30， DDD=180 30 30=120， D 为 AB 的中点， DF=ADcos30=1 = ， AF= ， 易得 ADF QDF， QF=AF= ， AQ=1， BP=1， Q、 P 为 AC、 BC 的中点 DD= 2= ， 同理， DD= 2= ， DDD为直角三角形， D= D= =30， DD=2DDcos30=2 =3 点评： 此题考查了轴对称最短路径问题，涉及正三角形的性质、三角函数、三角形的内角和定理、等腰三角形的
10、性质和判定等知识，有一定难度 4如图， AOB=30， AOB 内有一定点 P，且 OP=10， OA 上有一点 Q， OB 上有一定点 R若 PQR 周长最小，求它的最小值 使 命：给 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！ 逸、思、兴、维 6 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 菁优网版权所有 专题 ： 计算题 分析： 先画出图形，作 PM OA 与 OA相交于 M，并将 PM 延长一倍到 E，即 ME=PM作 PN OB 与 OB 相交于 N，并将 PN 延长一倍到 F，即 NF=PN连接 EF 与 OA 相交于 Q，与 OB 相交于 R，再连接 PQ，PR，则 PQR 即为周长最短的三角
11、形再根据线段垂直平分线的性质得出 PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出 EOF 的形状即可求解 解答： 解：设 POA=，则 POB=30 ，作 PM OA 与 OA相交于 M，并将 PM 延长一倍到 E，即 ME=PM 作 PN OB 与 OB 相交于 N，并将 PN 延长一倍到 F，即 NF=PN 连接 EF 与 OA 相交于 Q，与 OB 相交于 R，再连接 PQ， PR，则 PQR 即为周长最短的三角形 OA 是 PE 的垂直平分线， EQ=QP； 同理， OB 是 PF 的垂直平分线， FR=RP， PQR 的周长 =EF OE=OF=OP=10，且 EOF= EOP+ P
12、OF=2+2（ 30 ） =60， EOF 是正三角形， EF=10，即在保持 OP=10 的条件下 PQR 的最小周长为 10 故答案为： 10 点评： 本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答 5如图，已知 A、 B 是锐角 的 OM 边上的两个定点， P 在 ON 边上运动问 P 点在什么位置时， PA2+PB2 的值最小？ 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 菁优网版权所有 专题 ： 动点型；探究型；存在型 分析： 由余弦定理，可得二次函数，然后可求最值 解答： 解：设 OA=a， OB=b， OP=x， P
13、A2=a2+x2 2axcos， PB2=b2+x2 2bxcos， PA2+PB2=a2+x2 2axcos+b2+x2 2bxcos=2x2 2（ a+b） cosx+a2+b2， 当 x= cos 时， PA2+PB2 的值最小 使 命：给 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！ 逸、思、兴、维 7 点评： 本 题考查的是最短路线问题，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键 6如图，两个生物制药厂 A 与 B 座落于运河河岸的同一侧工厂 A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米，两个工厂的距离为 6 千米现要在运河的工厂一侧造一点 C，在 C 处拟设立一个货物运输中转站
14、，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小如图建立直角坐标系 （ 1）如果要求货物运动中转站 C 距离河岸 l 为 a 千米（ a 为一个给定的数， 0a2），求 C 点设在何处时，直线输送带总长 S 最小，并给出 S 关于 a 的表达式 （ 2）在 0a2 范 围内， a 取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；直角梯形 菁优网版权所有 专题 ： 探究型 分析： （ 1）过 B 作直线 BE y 轴于 E 点，再根据所建直角坐标系及 A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米求出 A、 B 两点的坐标，再用 a 表示出 B点的
15、坐标，再用两点间的距离公式即可求解； （ 2）根据（ 1）中 S 的表达式及 a 的取值范围进行解答即可 解答： 解：（ 1）如图所示： 过 B 作直线 BE y 轴于 E 点， A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米， AB=6 千米， AE=4 2=2 千米， BE= = = ， A（ 0， 4）、 B（ ， 2）， 过点 B 作关于直线 l1 的对称点 B，则 BF=BF=2 a， B点的坐标为（ ， 2+2a）， S=AB= =2 ； （ 2）由（ 1）可知， S=2 ， 0a2， 当 a=2 时 S 有最小值，则 S=2 =6（千米） 故答案为： ， 6 千米 使 命：给 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！ 逸、思、兴、维 8 点评： 本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，分别求出 A、 B、 B三点的坐标是解答此题的关键
