1、轴对称 【知识要点】 1、 轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。 2、 轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，说这两个图形为轴对称。这条直线叫做这个图形的对称轴。 3、 对称点：翻折后（图形重合时）能够互相重合的点。 4、 垂直平分线（中垂线）：垂直并且平分一条线段的直线。 结论 1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 结论 2：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。 【典型例题】 例 1. 在下列十个汉字中，哪几个是轴对称图
2、形？他们各有几条对称轴？ 上下目天田土吕林显王 例 2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例 3. 下列图形中是轴对称图形的有（） 矩形；菱形；平行四边形；四边形；等腰梯形；直角梯形；三角形；等边三角形；等腰三角形； 正六边形 A. 5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 例 3. 判断题 两个关于某直线对称的图形是一模一样的。 （ ） A Q P l2 l1 两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。 （ ） 两个对称图形对应点连线的垂直平分线，就是他们的对称轴 （ ） 平面上两个完全相同的图形一定关于某直线
3、对称 （ ） 例 4. 如图， l1、 l2 交于 A 点， P、 Q 的位置如图所示，试确定 M 点，使它到 l1、 l2 的距离相等，且到 P、 Q 两点的距离也相等。 例 5. 已知如图 1， MN 垂直平分线段 AB， CD 垂足分别为 E、 F， 求证： AC=BD， ACD= BDC 例 6. 已知：在 ABC 中， AB=AC,D 是 AB 的中点，且 DE AB, BCE 周长为 8，且 AC BC=2,求 AB,BC 的长。 例 7. 如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后， D E 与 BC 的交点为 G，点 D、 C 分别落在点 D、 C的位置上，若 EFG=
4、55，求 1， 2 的度数 画图形 的 对称轴 【知识要点】 1. 任意两点总关于某一条直线对称，故画这两点的对称轴的方法是 _ 2. 对于复杂图形的对称轴的画法：可先找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一组对称点；再连结对称点；然后画出 _则这条 _ 画轴对称图形 【知识要点】 1、对于某些图形，先画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形； 2、平面直角坐标系中关于 X 轴和 Y 轴对称的图形的做法：先找出一些特殊点的对称点坐标，连接对称点，即可得到； 3、角平分线和垂直平分线的做法。 【典型例题】 例 1. 找出下列轴对称图形的所有对称
5、轴，并把它画出来 例 2. 下图中的各个图形是不是轴对称图形？如果是，画出它的一条对称轴 例 3. 看以下两个图形是否是轴对称图形？你能否画出它的对称轴？ 例 4如图，连结 B、 B的线段的垂直平分线是否还是你在上图中画的对称轴？ 例 5. 印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为 4 页，再对折一次为 8 页，连续对折三次为 16 页，；然后再排页码如果想设计一本 16 页码的毕业纪念册，请你按图 1，图 2，图 3（图中的 1， 16表示页码）的方法折叠，在图中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码 例 6. 如图， A
6、OB 内一点 P，试分别 画出点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1 和 P2 例 7. 画出下列图形关于直线 L 的对称图形 例 8. 下图中，直线 L 是一个轴对称图形的对称轴，画出这个图形关于直线 L 对称的另一半 OPBA例 9. 如图是台球桌面矩形网格示意图，图中的四个角各有一个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（） A 1 号袋 B 2 号袋 C 3 号袋 D 4 号袋 等腰三角形 【知识要点】 1、等腰三角形的两个底角相等； 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”） ； 3、等腰三角
7、形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 4、等边三角形： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 5、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 【典型例题】 例 1. 若等腰三角形的底边长为 10cm，则腰长 x 的取值范围是 . 例 2. 若等腰三角形的一个角为 40，则另两个角为 _。 例 3. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45，则这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形
8、D.等腰直角三角形 例 4. 设是等腰三角形的一个底角 ,则 的取值范围是 （ ） A. 0 90 B. 90 C. 0 90 D. 090 例 5. 若等腰三角形的一个外角为 120，一边长为 2cm，则另外两边长为 例 6. ABC 中， ACB=90， B=60， AB+BC=6cm，则 BC= 例 7. 如图所示， ABC 中， AB=AC， BAC=120， AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AB 上，DE AB， AD=8cm，则 AE= cm， AC= cm 例 8. 如图， ABC 中， ABC 、 ACB 的平分线交于点 D， EF 过点 D，分别交 AB、 AC 于点
9、 E、点 F，且 EF/BC. （ 1）求证： ED=EB; （ 2）若 ABC 是边长为 3 的正三角形，求 EF。 例 9. 如图，在 ABC 中， AB=AC， BC=BD=ED=EA，求 A 的度数 例 10. 已知 ABC 是等腰直角三角形， AB=AC，若 AD=AB， CAD=36，求 DBC 的度数。 例 11. 如图所示，在四边形 ABCD 中， AB=AD， CD=23， A=60， D=150。已知四边形的周长为 32，求四边形 ABCD 的面积 . BEDCAAB CDE F例 12. 如图所示， P 是等边三角形 ABC 内一点，连结 PA、 PB、 PC， 以 BP
10、 为边作 PBQ=60，且 BQ=BP，连结 CQ （ 1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系？并证明； （ 2）若 PA： PB： PC=3： 4： 5，连 PQ试判断 PQC 的形状并说明理由 课题学习 最短路径问题 【典型例题】 例 1. 如图，草原上两个居民点 A,B 在河流 L 的同旁，一汽车从 A 出发到 B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在途中画出该点。 例 2. 图中 A， B 为公路 L 同旁的两个村庄，在 L 上找一点 P （ 1）当 P 到 A， B 等距离时， P 在何处？ （ 2）当 P 到两村距离之和最小时， P 在何处？ IBA
11、ABI河BA例 3. 如图所示，一牧人带马群从 A 点出发，先到草地边缘 MN 放牧，再带马群到河边缘 PQ去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使总路程最短？ 例 4. 草原上有两个居民点 A， B 在河流的同旁，如图所示， 暑假里小颖和父母去旅游恰好路过此地，他们的汽车从居民点 A 到 B，途中需要到河边加水， 为了使行驶的路程最短，小颖设计出了汽车应在河边的某一特定位置加水，你能找出这个特定位置在河边的什么地方吗？说明理由 例 5. 如图所示， E、 F 分别是 ABC 的边 AB、 AC 的两定点，在 BC 上求一点 M，使 MEF的周长最短。 BAQPNMA B C E F 【思考题】 例 6. 如图，已知： A、 B 两点在直线 MN 的同侧，且 AB/MN，在 MN 上求一点 P，使 ： （ 1） |PA-PB|最小 （ 2） |PA-PB|最 大 （ 3） PA+PB 最小 例 7. 当 A、 B 两点在直线 MN 的两则，点 A、点 B 到 MN 的距离不相等，在 MN 上求一点 P，使 ： （ 1） |PA-PB|最小 （ 2） |PB-PA|最大 （ 3） PA-PB 最小
