1、 高三数学一轮复习： 基础知识归纳 第一部分 集合 1.理解集合中 元素的意义 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ 2.数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 3.(1) 元素与集合的关系： Ux A x C A , Ux C A x A . （ 2）德摩根公式： ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B. （ 3）A B A A B B UUA B C B C A UA
2、C B UC A B R 注意：讨论的时候不要遗忘了 A 的情况 . （ 4）集合 12 , , , na a a 的子集个数共有 2n 个；真 子集有 2n 1 个；非空子集有 2n 1个； 非空真子集有 2n 2 个 . 4 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 . 第二部分 函数与导数 1映射： 注意 : 第一个集合中的元素必须有象； 一对一或多对一 . 2函数值域的求法： 分析法 ； 配方法 ； 判别式法 ； 利用函数单调性 ； 换元法 ； 利用均值不等式 2222 babaab ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）； 利用函数有界性（ xa 、 xsin 、
3、 xcos 等）； 平方法 ； 导数法 3复合函数的有关问题 : （ 1）复合函数 定义域求法： 若 f(x)的定义域为 a， b ,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 a g(x) b解出 若 fg(x)的定义域为 a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b 时，求 g(x)的值域 . （ 2）复合函数单调性的判定： 首先将原函数 )( xgfy 分解为基本函数：内函数 )(xgu 与外函数 )(ufy 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 根据 “ 同性则增，异性则减 ” 来判断原函数在其定义域内的单调性 . 4分段函数： 值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论
4、。 5函数的奇偶性 : 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 必要条件 )(xf 是奇函数 )()( xfxf ； (xf 是 偶 函数 )()( xfxf . 奇函数 )(xf 在 0处 有定义，则 0)0( f 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6函数的单调性 : 单调性的定义： )(xf 在区间 M 上是增函数 , 21 Mxx 当 21 xx 时有 12( ) ( )f x f x ； )(xf 在区间 M 上是 减 函数 , 21 Mxx 当 21 xx 时有 12( ) ( )f
5、x f x ； 单调性的判定 ： 定义法：一般要将式子 )()( 21 xfxf 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； 导数法（见导数部分）； 复合函数法； 图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7函数的周期性 ： (1)周期性的定义：对定义域内的任意 x ，若有 )()( xfTxf （其中 T 为非零常数），则称函数 )(xf 为周期函数， T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （ 2）三角函数的周期 ： 2:sin Txy ； 2:cos Txy ； Txy :tan ； |2:)c o s (),s i
6、n ( TxAyxAy；|:tan Txy(3)与周期有关的结论 ： )()( axfaxf 或 )0)()2( axfaxf )(xf 的周期为 a2 8基本初等函数的图像与性质 ： . 指数函数： )1,0( aaay x ； 对数函数 : )1,0(lo g aaxy a ； 幂函数： xy （ )R ； 正弦函数 : xy sin ； 余弦函数： xy cos ； (6)正切函数： xy tan ； 一元二次函数： 02 cbxax （ a 0）； 其它常用函数： 正比例函数： )0( kkxy ； 反比例函数： )0( kxky ； 函数 )0( axaxy .分数指数幂： m n
7、mnaa ； 1mnmna a （以上 0, ,a m n N，且 1n ） . . bNNa ab lo g ； NMMN aaa lo glo glo g ； NMNMaaa lo glo glo g ； log logm n aa nbbm. .对数的换底公式 : logloglogma m NN a.对数恒等式 : logaNaN . 9二次函数： 解析式： 一般式： cbxaxxf 2)( ； 顶点式： khxaxf 2)()( ， ),( kh 为顶点； 零点式： )()( 21 xxxxaxf （ a 0） . 二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向； 对称轴； 端点值； 与坐
8、标轴交点； 判别式； 两根符号。 二次函数 cbxaxy 2 的图象的对称轴方程是 abx 2 ，顶点坐标是 a bacab 4422， 。 10函数图象： 图象作法 ： 描点法 （特别注意三角函数的五点作图） 图象变换法 导数法 图象变换： 平移变换： ) )()( axfyxfy ， )0( a 左 “+” 右 “ ” ； ) )0(,)()( kkxfyxfy 上 “+” 下 “ ” ； 对称变换： ) )(xfy )0,0( )( xfy ； ) )(xfy 0y )(xfy ； ) )(xfy 0x )( xfy ； ) )(xfy xy ()x f y ； 翻 折 变换： ) |)
9、(|)( xfyxfy （去左翻右） y轴 右不动，右向左翻（ )(xf 在 y 左侧图象去掉）； ) |)(|)( xfyxfy （留上翻下） x轴 上不动，下向上翻（ | )(xf |在 x 下面无图象）； 11函数图象（曲线）对称性的证明 ： (1)证明函数 )(xfy 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （ 2）证明函数 )(xfy 与 )(xgy 图象的对称性，即证明 )(xfy 图 象上任意点关于对称中心 （ 对称轴）的对称点在 )(xgy 的图象上，反之亦然 。 注： 曲线 C1:f(x,y)=0 关于 原 点（ 0,0）的对称曲线 C2方
10、程为： f( x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0的对称曲线 C2方程为： f( x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0的对称曲线 C2方程为： f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x的对称曲线 C2方程为： f(y, x)=0 f(a+x)=f(b x) （ xR ） y=f(x)图像关于直线 x= 2ba 对称； 特别地： f(a+x)=f(a x) （ xR ） y=f(x)图像关于直线 x=a 对称 . ()y f x 的图象关于点 (, )ab 对称 bxafxaf 2 . 特别地： ()y f x
11、的图象关于点 (,0)a 对称 xafxaf . 函数 ()y f x a与函数 ()y f a x的图象关于直线 xa 对称 ; 函数 )( xafy 与函数 ()y f a x的图象关于直线 0x 对称。 12函数零点的求法： 直接法（求 0)( xf 的根）； 图象法； 二分法 . (4)零点定理：若 y=f(x)在 a,b上满足 f(a) f(b)0 7圆的方程的求法： 待定系数法； 几何法 。 8点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） 点与圆的位置关系：（ d 表示点到圆心的距离） Rd 点在圆上； Rd 点在圆内； Rd 点在圆外。 直线与圆的位置关系：（ d 表示圆心到直线的
12、距离） Rd 相切； Rd 相交； Rd 相离。 圆与圆的位置关系：（ d 表示圆心距， rR, 表示两圆半径，且 rR ） rRd 相离； rRd 外切； rRdrR 相交； rRd 内切； rRd0 内含。 9 直线与圆相交所得弦长 22| | 2AB r d 第六部分 圆锥曲线 1定义： 椭圆： |)|2(,2| 2121 FFaaMFMF ； 双曲线： |)|2(,2| 2121 FFaaMFMF ； 抛物线： |MF|=d 2结论 ： 直线与圆锥曲线 相交的弦长公式 :若弦端点为 A ),(),( 2211 yxByx , 则 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y
13、,或 21 1 kxxAB , 或221 11 kyyAB . 注： 抛物线： AB x1+x2+p； 通径（最短弦）： ） 椭圆、双曲线： ab22 ； ） 抛物线： 2p. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： 122 nymx （ nm, 同时大于 0 时表示椭圆 ； 0mn 时表示双曲线）； 当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 21PFF 最大； 双曲线中的结论： 双曲线 12222 byax （ a0,b0）的渐近线： 02222 byax ； 共渐进线 xaby 的双曲线标准方程 可设 为 (2222 byax 为参数， 0）； 双曲线为等轴双曲线 2e 渐近线互相垂直； 焦点三角形问
14、题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3直线与圆锥曲线问题解法： 直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题： 联立的关于 “ x ” 还是关于 “ y ” 的一元二次方程？ 直线斜率不 存在时考虑了吗？ 判别式验证了吗？ 设而不求（ 点差法 -代点 作差 法）： -处理弦中点问题 步骤如下： 设点 A(x1， y1)、 B(x2,y2)； 作差得 21 21 xx yyk AB； 解决问题。 4求轨迹的常用方法： （ 1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （ 2）直接法（列等式）； （ 3）代入法（ 又称 相关点法或 坐标 转移法）； （ 4） 待定系数
15、法； （ 5） 消 参法；（ 6）交轨法 ；（ 7）几何法。 第七部分 平面向量 1.平面上两点间的距离公式 : ,ABd 222 1 2 1( ) ( )x x y y ，其中 A 11( , )xy ， B 22( , )xy . 2.向量的平行与垂直： 设 a = 11( , )xy ,b = 22( , )xy ，且 b 0 ，则 ： a b b = a 1 2 2 1 0x y x y ； a b (a 0 ) a b =0 1 2 1 2 0x x y y . 3.ab =|a|b|cos= x1 x2+y1y2； 注： | a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影； |b|cos
16、叫做 b 在 a 方向上的投影； ab 的几何意义： ab 等于 |a|与 |b|在 a 方向上的投影 |b|cos的乘积。 4.cos=| baba； 5.三点共线的充要条件 ： P， A， B 三点共线 x y 1O P xO A y O B 且。 第八部分 数列 1定义： BnAnSbknaNnnaaa ndaaNnddaaa nnnnn nnn 211 1n1n *),2(2)2(,()1( ）为常数等差数列 等比数列 )Nn2,(n)0(1n1-n2n1nn aaaqqaaa n2等差、等比数列性质 ： 等差数列 等比数列 通项公式 dnaan )1(1 11 nn qaa 前 n项和 dnnnaaanS nn 2 )1(2 )( 11 qqaaqqaSqnaSqnnnn11)1(1.2;1.1111时，时，性质 a n=am+ (n m)d, a n=amqn-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+ q时 aman=apaq , 232 kkkkk SSSSS 成 AP , 232 kkkkk SSSSS 成 GP , 2mkmkk aaa 成 AP, mdd , 2mkmkk aaa 成 GP, mqq
