1、 1 专题：解圆锥曲线问题常用方法（一） 【 学习要点 】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （ 1）椭圆有两种定义。第一定义中， r1+r2=2a。第二定义中， r1=ed1 r2=ed2。 （ 2）双曲线有两种定义。第一定义中， arr 221 ，当 r1r2 时，注意 r2 的最小值为 c-a：第二定义中， r1=ed1， r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （ 3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线 更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲
2、线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即 设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、 B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （ 1） )0(122
3、22 babyax 与直线相交于 A、 B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有 02020 kbyax。 （ 2） )0,0(12222 babyax 与直线 l 相交于 A、 B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 02020 kbyax2 FAPH BQFFP Hy0 xA（ 3） y2=2px（ p0）与直线 l 相交于 A、 B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 【 典型例题 】 例 1、 (1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小 ,则点 P的坐标为 _ (2)抛物线 C: y2=4
4、x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为 。 分析： （ 1） A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PFPH ，因而易发现，当 A、 P、 F 三点共线时，距离和最小。 （ 2） B 在抛物线内，如图，作 QR l 交于 R，则当 B、 Q、 R 三点共线时，距离和最小。 解：（ 1）（ 2， 2 ） 连 PF，当 A、 P、 F 三点共线时， PFAPPHAP 最小，此时 AF 的方程为 )1(13 024 xy 即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另 一交点为 ( 2,21 )，它为直线 AF 与抛物线的另一
5、交点，舍去） （ 2）（ 1,41 ） 过 Q 作 QR l 交于 R，当 B、 Q、 R 三点共线时， QRBQQFBQ 最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代入 y2=4x 得 x= 41 ， Q( 1,41 ) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例 2、 F 是椭圆 134 22 yx 的右焦点， A(1,1)为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。 3 xy0A BCMD5（ 1） PFPA 的最小值为 （ 2） PFPA 2 的最小值为 分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 FP 或准线作出来考虑问题。 解：（ 1） 4-
6、5 设另一焦点为 F ，则 F (-1,0)连 AF ,PF 542)(22 FAaPAFPaFPaPAPFPA 当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PFPA 取得最小值为 4- 5 。 （ 2） 3 作出右准线 l，作 PH l 交于 H，因 a2=4， b2=3， c2=1， a=2， c=1， e=21 ， PHPFPHPF 2,21 即 PHPAPFPA 2 当 A、 P、 H 三点共线时，其和最小，最小值为 3142 Axca例 3、 动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。 分析： 作图
7、时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A、 M、 C 共线， B、 D、 M 共线）。列式的主要途径是动圆的 “半径等于半径”（如图中的 MDMC ）。 解：如图， MDMC ， 26 MBMADBMBMAAC 即 8 MBMA （ *） 点 M 的轨迹为椭圆， 2a=8， a=4， c=1， b2=15 轨迹方程为 11516 22 yx 4 点评：得到方程（ *）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出 4)1()1( 2222 yxyx ，再移项，平方 ，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！ 例 4、 ABC 中， B(-5,
8、0),C(5,0),且 sinC-sinB=53 sinA,求点 A 的轨迹方程。 分析： 由于 sinA、 sinB、 sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（ R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。 解： sinC-sinB=53 sinA 2RsinC-2RsinB=53 2RsinA BCACAB 53 即 6 ACAB （ *） 点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） 2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为 1169 22 yx （ x3） 点评： 要注意利用定义直接解题，这里由（ *）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例 5、 定长为 3
9、的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动， AB 中点为 M，求点 M 到x 轴的最短距离。 分析： （ 1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x12)， B(x2， X22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 （ 2） M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。 解法一： 设 A(x1， x12)， B(x2， x22)， AB 中点 M(x0， y0) 5 xy0MABA 1A 2M 1M 2B 1B 2则0222102122221221229)()(yxx
10、xxxxxxx 由得 (x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即 (x1+x2)2-4x1x2 1+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入得 (2x0)2-(8x02-4y0) 1+(2x0)2=9 20200 41 944 xxy ， 114 9)14(4 944 202020200 xxxxy ,5192 450y当 4x02+1=3 即 220 x时， 45)(min0 y此时 )45,22(M 法二： 如图， 32 222 ABBFAFBBAAMM 232 MM， 即 23411 MM， 451 MM， 当 AB 经过焦点 F 时取得最
11、小值。 M 到 x 轴的最短距离为 45 6 xyF 1 F 20ABCD点评： 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消 x1， x2，从而形成 y0 关于 x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为 A、 B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第 三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证 AB 是否能经过焦点 F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。 例 6、 已知椭圆 )52(1122 mmymx 过其左焦点且
12、斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、 B、 C、 D、设 f(m)= CDAB ,（ 1）求 f(m),（ 2）求f(m)的最值。 分析： 此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、 B 来源于“不同系统”， A 在准线上， B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防 )()(22)(2)()( CDABCDAB Xxxxxxxxmf )()(2 DACB xxxx )(2 CB Xx 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。 解： （ 1）椭圆 1122 mymx 中， a2=m， b2=m-1，
13、 c2=1，左焦点 F1(-1,0) 则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即 (m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得 (m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 7 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=- )52(12 2 mmm 12222)()(2)()(2)(2121 mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB （ 2） )12 11(212 1122)( mmmmf 当 m=5 时， 9 210)(m in mf当 m=2 时， 324)(max mf点评： 此题因最终需求 CB xx ，而 BC 斜率已知为 1
14、，故可也用“点差法”设BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、 C 坐标代入作差，得 0100 kmymx ，将 y0=x0+1，k=1 代入得 01100 mxmx ， 120 mmx，可见 12 2 mmxxCB当然，解本题的关键在于对 CDABmf )( 的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现 CB xxmf )( 是解此题的要点。 【 同步练习 】 1、已知： F1， F2 是双曲线 12222 byax 的左、右焦点，过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、 B，若 mAB ， ABF2 的周长为（ ） A、 4a B、 4a+m C、 4a+2m D、 4a-m 8 2、若点
15、P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是 （ ） A、 y2=-16x B、 y2=-32x C、 y2=16x D、 y2=32x 3、已知 ABC 的三边 AB、 BC、 AC 的长依次成等差数列，且 ACAB ，点B、 C 的坐标分别为 (-1， 0)， (1， 0)，则顶点 A 的轨迹方程是（ ） A、 134 22 yx B、 )0(134 22 xyx C、 )0(134 22 xyx D、 )00(134 22 yxyx 且 4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1， 0)，其长轴长为 4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ） A、 )1(4
16、9)21( 22 xyx B、 )1(49)21( 22 xyx C、 )1(49)21( 22 xyx D、 )1(49)21( 22 xyx 5、已知双曲线 1169 22 yx 上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是 6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2， 0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是 8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个，则 k= 10、设点 P 是椭圆 1925 22
17、yx 上的动点， F1， F2 是椭圆的两个焦点，求 sinF1PF2 的最大值。 9 11、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线 l 与此椭圆相交于 A、 B 两点，且 AB 中点 M 为 (-2，1)， 34AB ，求直线 l 的方程和椭圆方程。 12、已知直线 l 和双曲线 )0,0(12222 babyax 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、 B、 C、 D。求证： CDAB 。 【 参考答案 】 1、 C aBFBFaAFAF 2,2 1212 ， ,24,4 2222 maABBFAFaABBFAF 选 C 2、 C
18、 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离， P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右，则方程为 y2=16x，选 C 3、 D 22 ACAB ，且 ACAB 10 点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、 B、 C 三点不共线，即 y 0，故选 D。 4、 A 设中心为 (x， y)，则另 一焦点为 (2x-1， 2y)，则原点到两焦点距离和为 4 得4)2()12(1 22 yx ， 49)21( 22 yx 又 c21 ) 7、 y2=x+2(x2) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 中点 M(x， y)，则 2)(),(2,2,2 2121 21212221222121 yyxx yyxxyyxyxy 20 xykkMPAB， 222 yx y ，即 y2=x+2 又弦中点在已知抛物线内 P，即 y22 8、 4
