1、圆学子梦想 铸金字品牌 - 1 - 温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。 课时 提升作业 (二十三 ) 模拟方法 概率的应用 一、选择题 (每小题 3 分 ,共 18 分 ) 1.(2014 辽宁高考 )将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD中 ,AB=2,BC=1,则质点落在以 AB为直径的半圆内的概率是 ( ) A. B. C. D. 【解 析】 选 B.阴影部分为半圆 ,其面积 S 阴 = 12= ,长方形面积 S=2 1=2. 所以由几何概型知质点落在以 AB为直径的半圆内的概率是
2、= = . 【变式训练】 有如下四个游戏盘 ,撒一粒黄豆 ,若落在阴影部分 ,就可以中奖 ,若希望中奖的机会最大 ,则应该选择的游戏是 ( ) 【解析】 选 A.四个选项中中奖的概率分别为 P(A)= ,P(B)= ,P(C)=1- ,P(D)= ,圆学子梦想 铸金字品牌 - 2 - 故 P(A)P(B)P(D)P(C),所以选 A. 2.(2014 枣庄高一检测 )已知函数 f(x)=log2x,x ,在区间 上任取一点 x0,则使 f(x0) 0 的概率为 ( ) A.1 B. C. D. 【解析】 选 C.欲使 f(x)=log2x 0,则 x 1,而 x ,所以 x0 1,2,从而由几
3、何概型概率公式知所求概率 P= = . 3.(2014 长沙高二检测 )在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1内任取一点 P,则点 P到点 A 的距离小于或等于 a 的概率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 D.事件“点 P 到点 A 的距离小于或等于 a”构成的区域是以 A 为球心 ,a为半径的球的 ,故 P= = . 4.如图 ,A是圆上固定的一点 ,在圆上其他位置任取一点 A ,连接 AA ,它是一条弦 ,它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 C.当 AA的长度等于半径长度时 , AOA = ,由圆的对称性及几何概型得
4、 P= = . 【误区警示】 本题易忽视点 A选择的对称性 ,考虑不周全 ,造成解题错误 . 圆学子梦想 铸金字品牌 - 3 - 5.一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5的三角形区域内随机爬行 ,则其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 ( ) A. B.1- C.1- D.1- 【解题指南】 求出三角形的面积 ;再求出距三角形的三顶点距离小于等于 1的区域为三个扇形 ,三个扇形的和是半圆 ,求出半圆的面积 ;利用对立事件的概率公式及几何概 型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于 1的地方的概率 . 【解析】 选 D.三角形 ABC的面积为 S1= 3 4=6. 离三个顶点距离都不大于 1
5、的地方的面积为 S2= , 所以其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 P=1- =1- . 6.(2013 湖南高考 )已知事件 “ 在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使 APB的最大边是 AB” 发生的概率为 ,则 = ( ) A. B. C. D. 【解题指南】 本题的关键是找出使 APB 的最大边是 AB的临界条件 ,首先是确定ADAB,然后作出矩形 ABCD,最后分别以 A,B 为圆心以 AB 为半径作圆弧交 CD 于F,E,当 EF= CD时满足题意 . 【解析】 选 D.如图 ,在矩形 ABCD 中 ,以 AB 为半径作圆交 CD分别于点 E,F,当点 P
6、在线段 EF 上运动时满足题设要求 ,所以E,F 为 CD的四等分点 ,设 AB=4,则 DF=3,AF=AB=4,在直角三角形 ADF中 ,AD= = ,所以 = . 二、填空题 (每小题 4 分 ,共 12 分 ) 7.(2013 湖北高考 )在区间 -2,4上随机地取一个数 x,若 x 满足 |x| m 的概率为 ,则 m=_. 圆学子梦想 铸金字品牌 - 4 - 【解题指南】 解绝对值不等式 ,根据几何概型利用区间长度之比求解 . 【解析】 由 |x| m,得 -m x m, 当 m 2时 ,由题意 = ,m=2.5矛盾 ,舍去 ; 当 2m4 时 ,由题意得 = ,解得 m=3. 答
7、案 :3 8.已知正方体 ABCD -A1B1C1D1内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD -A1B1C1D1内任取点 M,点 M 在球 O 内的概率是 _. 【解析】 设正方体的棱长为 2. 正方体 ABCD -A1B1C1D1 的内切球 O 的半径是其棱长的一半 ,其体积为 V1= 13= . 则点 M在球 O内的概率是 = . 答案 : 9.(2013 南昌高二检测 )如图 ,半径为 10cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1cm 的小圆 .现将半径为 1cm 的一枚硬币抛到此纸板上 ,使硬币整体随机落在纸板内 ,则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 _. 【解析】 由题意 ,硬
8、币的中心应落在距圆心 2 9cm 的圆环上 ,圆环的面积为92- 22=77 (cm2),故所求概率为 = . 答案 : 圆学子梦想 铸金字品牌 - 5 - 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 10.(2014 长春高二检测 )在街道旁边有一游戏 :在铺满边长为 9cm 的正方形塑料板的宽广地面上 ,掷一枚半径为 1cm 的小圆板 .规则如下 :每掷一次交 5 角钱 ,若小圆板压在边上 ,可重掷一次 ;若掷在正方形内 ,需再交 5 角钱才可玩 ;若压在正方形塑料板的顶点上 ,可获得一元钱 .试问 : (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少 ? (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是
9、多少 ? 【解析】 (1)如图 (1)所示 ,因为小圆板的中心 O 落在正方形 ABCD 内任何位置是等可能的 ,小圆板与正方形塑料板 ABCD 的边相交接是在圆板的中心 O 到与它靠近的边的距离不超过 1cm 时 ,所以小圆板的中心 O 落在图中阴影部分时 ,小圆板就能与塑料板 ABCD的边相交接 ,这个范围的面积等于 92-72=32(cm2),因此所求的概率是 = . (2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心 O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径 1cm时 ,如图 (2)阴影部分 ,四块合起来面积为 cm2,故所求概率是 . 11.在半径为 1的圆内一条直径上任取一点 ,过这个点作垂
10、直于直径的弦 ,求 弦长超过圆内接等边三角形边长的概率 . 【解析】 记事件 A=弦长超过圆内接等边三角形的边长 ,如图 ,不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE上任取一点 F 作垂圆学子梦想 铸金字品牌 - 6 - 直于直径的弦 ,当弦为 CD时 ,就是等边三角形的边长 ,弦长大于 CD的充要条件是圆心 O到弦的距离小于 OF,由几何概型公式得 P(A)= = . 【变式训练】 (2013 临沂高一检测 )已知平面区域 = ,直线 y=mx+2m 和曲线 y= 有两个不同的交点 ,它们围成的平面区域 为 M,向区域 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M),
11、若 0 m 1,则 P(M)的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 D.已知直线 y=mx+2m过半圆 y= 上一点 (-2,0),当 m=0 时 ,直线与 x 轴重合 ,这时 P(M)=1,故可排除 A,B,若 m=1,如图可求得 P(M)= ,故选 D. 一、选择题 (每小题 3 分 ,共 12 分 ) 1.(2014 湖南高考 )在区间 -2,3上随机选取一个数 X,则 X 1 的概率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 B.基本事件空间为区间 -2,3,它的度量是长度 5,X 1 的度量是 3,所以所求概率为 . 2.(2014 临沂高一检测 )如图 ,
12、在半径为 R 的圆内随机撒一粒黄豆 ,它落在圆内接正三角形内 (阴影部分 )的概率是 ( ) 圆学子梦想 铸金字品牌 - 7 - A. B. C. D. 【解析】 选 D.因为 S 圆 = R2,S 三角形 =3 2 R R= R2,所以落在圆内接正三角形内的概率是 = = . 3.(2013 淄博高一检测 )在面积为 S 的 ABC 的边 AB 上任取一点 P,则 PBC 的面 积不小于 的概率是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 A.记事件 A= PBC的面积大于等于 ,基本事件空间是线段 AB的长度 , 如图 ,因为 S PBC ,则有 BP CD AB CD. 化简即得 ,
13、 所以 ,事件 A 的几何度量为线段 AP的长度 , 因为 AP= AB, 圆学子梦想 铸金字品牌 - 8 - 所以 P(A)= = ,故选 A. 4.如图 ,在 AOB 中 ,已知 AOB=60 ,OA=2,OB=5,在线段 OB 上任取一点 C,则 AOC为钝角三角形的概率为 ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1 【解题指南】 试验发生包含的事件对应的是长度为 5的一条线段 ,满足条件的事件是组成钝角三角形 ,包括两种情况 ,第一种 ACO为钝 角 ,第二种 OAC为钝角 ,根据等可能事件的概率得到结果 . 【解析】 选 B.试验发生包含的事件对应的是长度为 5的一条线段
14、 ,满足条件的事件是组成钝角三角形 ,包括两种情况 : 第一种 ACO为钝角 ,这种情况的边界是 ACO=90的时候 ,此时 OC=1,所以这种情况下 ,满足要求的是 0OC1. 第二种 OAC为钝角 ,这种情况的边界是 OAC=90的时候 ,此时 OC=4,所以这种情况下 ,满足要求的是 4OC5. 综合两种情况 ,若 AOC为钝角三角形 ,则 0OC1 或 4OC5.所以概率 P= =0.4. 【误区警示】 本题易出现只考虑一种情况的错误 ,致使所得结果为 0.2. 二、填空题 (每小题 4 分 ,共 8 分 ) 5.(2014 重庆高考 )某校早上 8:00 开始上课 ,假设该校学生小张
15、与小王在早上7:30 7:50 到校 ,且每人在该时间段内的任何时刻到校是等可能的 ,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 _.(用数字作答 ) 【解题指南】 可设出两人到校的时刻 ,列出两人到校时刻满足的关系式 ,再根据圆学子梦想 铸金字品牌 - 9 - 几何概型的概率公式进行求解 . 【解析】 设小张与小王到校的时刻分别为 7:30 之后 x,y 分钟 ,则由题意知小张比 小王至少早 5 分钟到校需满足 y-x 5,其中 0 x 20,0 y 20.所有的基本事件构成的区域为一个边长为 20 的正方形 ,随机事件“小张比小王至少早 5 分钟到校”构成的区域为阴影部分 . 由几何概型的概
16、率公式可知 ,其概率为 P= = . 答案 : 6.在区间 -2,3上任取一个实数 a,则使直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长d 的概率是 _. 【解题指南】 由给出的弦长范围 ,求出圆心到直线 ax+y+1=0 的距离的范围 ,再由点到直线的距离公式写出圆心到直线的距离 ,列式求出 a 的范围 ,然后用长度比求概率 . 【解析】 如图 . 直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长 d=AB ,则半弦长 BC, 圆学子梦想 铸金字品牌 - 10 - 因为圆的半径等于 1,所以圆心到直线 ax+y+1=0的距离 OC ,即 ,得 -2 a -1或 1 a
17、 2. 又 a -2,3,所以在区间 -2,3上任取一个实数 a,则使直线 ax+y+1=0 截圆O:x2+y2=1所得弦长 d 的概率是 = . 答案 : 【误区警示】 解答本题时易出现利用直线和圆的方程求弦长的解法 ,这样会使解答过程烦琐、易错 ,甚至解不出答案 .通过本题的解答应该学会抓住问题的本质 ,适时将问题转化 ,养成转化与化归的意识 . 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 7.已知 -2 x 2,-2 y 2,点 P 的坐标为 (x,y). (1)求当 x,y R 时 ,P 满足 (x-2)2+(y-2)2 4 的概率 . (2)求当 x,y Z 时 ,P满足 (x-
18、2)2+(y-2)2 4 的概率 . 【解题指南】 (1)为几何概型 ,作出图形 ,利用几何概型的概率公式求解 . (2)是古典概型 ,需分别求出满足 -2 x 2,-2 y 2的点及 (x-2)2+(y-2)2 4的点的个数 ,利用古典概型的概率公式求解 . 【解析】 (1)如图 ,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部 (含边界 ),而满足 (x-2)2+(y-2)2 4 的点 P 的区域为以 (2,2)为圆心 ,2为半径的扇形区域 (含边界 ). 所以所求的概率 P1= = . (2)满足 x,y Z,且 -2 x 2,-2 y 2 的点 (x,y)有 25 个 ,满足 x,y Z,且(x-2)2+(y-2)2 4 的点 (x,y)有 6个 ,所以所求的概率 P2= .
