1、数学分析上册教案 第五章 导数与微分 1 4 高阶导数 教学章节： 第五章 导数与微分 4 高阶导数 教学目标： 了解高阶导数的定义 ,熟悉高阶导数的计算 . 教学要求： 掌握高阶导数与高阶微分的定义 ,会求高阶导数与高阶微分 .能正确理解和运用一阶微分的形式不变性 ,并与高阶微分清楚地加以区分 . 教学重点： 高阶导数（微分）的计算 . 教学难点： 高阶导数（微分）的计算 . 教学方法： 以问题教学为主 ,结合练习 . 教学过程 : 引言 前面已经看到 ,当 x 变动时 , ()fx的导数 )( xf 仍是 x 的函数 ,因而可将 )( xf 再对 x 求导数 ,所得出的结果 )( xf （
2、如果存在）就称为 )(xf 的二阶导数 . 例如 ,已知运动规律 )(tss ,则它的一阶导数为速度 ,即 )( tsv ,对于变速运动 ,速度也是t 的函数： )(tvv .如果在一段时间 t 内 ,速度 )(tv 的变化为 )()( tvttvv .那么在这段时间内 ,速度的平均变化率为t tvttvtv )()(,这就是在 t 这段时间内的平均加速度 ,当0t 时 ,极限 tvt 0lim就是速度在 t 时刻的变化率 ,也就是加速度 ,即 )(lim)( 0 tvtvta t . 综上知： )()()( tstvta . 加速度是路程 )(ts 对时间的导数 的导数 .说加速度是路程对时
3、间的二阶导数 .记为 )()()( tstvta 或22dtsd . 这就是二阶导数的物理意义 . 例如自由落体运动规律为： gagtvgts 221 . 一般地 ,有如下定义： 一、高阶导数定义 数学分析上册教案 第五章 导数与微分 2 定义（ 二阶导数 ） 若函数 f 的导函数 f 在点 0x 可导 ,则称 f 在点 0x 的导数为 f 在点 0x 的二阶导数 ,记作 )( 0xf ,即 )()()(l i m 00 00 xfxx xfxfxx , 此时称 f 在点 0x 二阶可导 . 如果 f 在区间 I 上每一点都二阶可导 ,则得到一个定义在 I 上的二阶可导函数 ,记作)( xf
4、, Ix ,或记作 f , y , 22dxyd . 函数 )(xfy 的二阶导数 )( xf 一般仍旧是 x 的函数 .如果对它再求导数 ,如果导数存在的话 ,称之为函数 )(xfy 的三阶导数 ,记为 y , )( xf ,或33dxyd . 函数 )(xfy 的 1n 阶导数的导数称为函数 )(xfy 的 n 阶导数 ,记为 )(ny , )(nf ,或nndxyd . 相应地 , )(xfy 在 0x 的 n 阶导数记为： 0)( xxny , )( 0)( xf n ,0xxnndxyd. 二阶及二阶以上的导数都称为 高阶导数 . 二、高阶导数的计算的例子 从高阶导数的定义可知 ,求
5、高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法 .在概念上高阶导数没有什么新东西 ,但在具体求高阶导数时还是需要一些新技巧 . 例 1 axey ,求 )(ny . 解 axeay , axeay 2 , axnn eay )(， . 例 2 xy ,求 )(ny . 解 1 xy , axeay 2 , nn xny )1()1()( ， )1( n 当 为正整数时 , n , !)( nyn , n , 0)( ny .若 )(xPm 是 m 次多项式 , mn ,则 0)()( xPn . 例 3 )1ln( xy ,求 )(ny . 解 xy 11 , 2)1( 1xy , nnn xny )
6、1( !)1()1( 1)( ， )1( n , 其中规定 1!0 . 数学分析上册教案 第五章 导数与微分 3 例 4 xy sin ,求 )(ny . 解 )2s in (c o s xxy , )s in (s in xxy )2sin()( nxy n 同理可得 )2c o s ()(c o s )( nxx n . 用 Euler 公式 , sincos iei , 形式地 )()()2(2)()(s i n)(c o s)2s i n ()2c o s ()(nnniiniinniinineeeeie 所以 )2c o s ()(c o s )( nxx n , )2s in ()
7、(s in )( nxx n . 例 5 xarctgy ,求 )(ny . 解 yytgxy 222 c o s1 11 1 )2(2s i nc o ss i nc o s2 2 yyyyyy )2(3s i nc o s2)2(2(c o sc o s2)2(2c o sc o s2)2(2s i n)s i n(c o s23343yyyyyyyyyyy )2(s i nc o s!)1()( ynyny nn . 特别地 !)22()1()0( 1)12( ny nn , 0)0()2( ny . 数学分析上册教案 第五章 导数与微分 4 三、高阶导数 的计算法则 Leibniz 公
8、式 )()()()( nnn vuvu )()()( nn ucuc )1()0()0()1()( vuvuvu )2()0()1()1()0()2( 2)( vuvuvuvu )3()0()2()1()1()2()0()3()3( 33)( vuvuvuvuvu . 定理 若 vu， 有任意阶导数 ,则 nkkknknn vuCvu1)()()()( , !)(! ! knk nC kn . 证明 用归纳法 , 1n 已经成立 . 设 n 时成立 ,我们来证 1n 时也成立 . nkkknknn vuCvu0)()()1( )( 。 10)()1(1)1()0(1)()1(1)0()1(00
9、11)()1(1)()1(0)1()()()1( nkkknknnnnnkkknknknnnnknkkknknkknknnkkknkknknvuCvuCvuCCvuCvuCvuCvuvuC这个证明与牛顿二项式展开公式证明的格式是一致的 ,这里的更标准 .最后一步用到了恒等式knknkn CCC 11 . 注 将 Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： nokknknnnnn vuvuCvuCvuvu 1110)( .（这里 100 vu ） ,在形式上二者有相似之处 . 四、复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数 复合函数 ,反函数 ,参数式 ,隐函数归纳不出求高阶导数的公式 ,但至少
10、我们可归纳出二阶 ,三阶导数的公式 ,那也是非常有用的 . 例如 )( xgfy 数学分析上册教案 第五章 导数与微分 5 )()( xgxgfy )()()()( 2 xgxgfxgxgfy )()()()()(3)()( 3)3()3( xgxgfxgxgxgfxgxgfy 设 )(xyy , )(yxx 互为反函数 ,则 )(1)( xyyx 。32)()()()( 1)(xyyyxxyxyyx又设 )()(tyy txx 为参数式 ,则 )( )()( tx tyxy 。32)()()()()()()( )()()()()(txtxtytytxxttx txtytytxxy 再设 0)
11、,( yxF 定义隐函数 )(xyy ,则对 0),( yxF 两边求一次导 ,得出含 )(xy 的方程 ,解出)(xy 来；求二次导 ,得出含 )(xy 的方程 ,可解出 )(xy 来 . 例 6 xy arcsin ,求 )0()(ny . 解 这个函数求 )()( xyn 的公式是困难的 ,但求 )0()(ny 相对容易 ,这在今后研究它的 Taylor 展开式时是有用的 . 21 1 xy , 1)1( 22 yx ， 两边再对 x 求一次导数 ,得 022)1( 22 yxyyx .当 1x 时 , 0y ,可除去 y 项 ,得0)1( 2 yxyx .求 )2( n 次导数 ,用
12、Leibniz 公式 ,得 0)2()2(2 )3)(2()2)(2()1( )2()1()2()1()(2 nnnnn ynxyynnyxnyx . 把 0x 代入 ,得 0)0()2()0()3)(2()0( )2()2()( nnn ynynny ， 数学分析上册教案 第五章 导数与微分 6 )0()2()0( )2(2)( nn yny 0)0()0( y , 1)0()1( y , 0)0()2( ny , 。2)1(222)12(2)12(!)12()0(1)32()12()0()12()0( nynnyny nn例 7 设 )(xfy 在 0x 点有一 ,二阶 导数 ,满足 )(
13、 00 xfy , 0)( 00 xfy . 求过点 )(,( 000 xfyxM 的圆 222 )()( Rbyax ,使得它在M 点与给定函数有相同的一二阶导数 ,该圆称为曲率圆 ,R 称为曲率半径 , Rk 1 称为曲率 ,点 ),( ba 称为曲率中心 ,它在工程中 ,比如铁路转弯的 设计中非常有用 . 解 需要求的参数有三个 Rba ， .它们满足 （ 1） 过 M 点： ）（ 1)()( 22020 Rbyax （ 2） 在 M 点一阶导数相同 ）（ 20)()( 000 ybyax （ 3） 在 M 点二阶导数相同 ）（ 30)(1 0020 ybyy 由（ 3）解出 0200
14、1 yyyb 由（ 2）解出 02000 1 yyyxa 由（ 1）解出 |)1(02320yyR . 例 8 试求由摆线参量方程 )cos1( )sin( tay ttax所确定的函数 )(xyy 的二阶导数 . 练习 1函数 )(xyy 由方程 ty tx44sincos确定 ,试求 dxdy 及其在 2,0t 处的值 . 2函数 )(xyy 由方程 )co s(s in )sin(c o s tttay tttax确定 ,试求 tgtdxdy . y =f (x ) 数学分析上册教案 第五章 导数与微分 7 3设函数 )(xyy 由 )cos1( ar 确定 ,试求ddr,dxdy. 4设 xey x cos ,求 )5(y . 5设 xxy sin2 ,求 )80(y . 6研究函数 0, 0,)(22xx xxxf的高阶导数 .
