1、第 6 单元 变量分离 的 方程 一 . 教学目标 1. 进一步掌握理解变量分离法，并且能够熟练的运用分离变量法解常微分方程。 2 对某些本身不可分离变量的方程能够通过适当变换后，将原方程转换为可分离变量的方程。 二 . 知识点 1. 分离变量法 三 . 教学重点 、 难点 对分离变量法的学习是本单元的重点 ,也是难点 考虑微分方程 0),(),( dyyxQdxyxP （ 2.2.1） 若函数 ),(),( yxQyxP 和 均可分别表示为 x 的函数与 y 的函数的乘积，则称（ 2.2.1）为变量分离的方程 .因此，变量分离的方程可以写成如下形式： 0)()()()( 11 dyyYxXd
2、xyYxX （ 2.2.2） 变量分离的方程的特点是： ),(),( yxQyxP 和 可以分别表示为 x 的函数与 y 的函数的乘积 . 问题是：对 （ 2.2.2） 如何求解？ 一般来说， （ 2.2.2） 不一定是恰当方程 .为此先考虑一个特殊情形： 0)()( dyyYdxxX （ 2.2.3） （ 2.2.3） 显然是一个恰当方程，它的通积分为 CdyyYdxxX )()( （ 2.2.4） 由对方程 （ 2.2.3） 的求解过程，不难想到，当 0)()( 11 yYxX 时，若用因子 )()( 11 yYxX 去除 （ 2.2.2） 式的两侧，得到 0)( )()( )( 11 d
3、yyY yYdxxX xX （ 2.2.5） 这种变形过程叫做分离变量。分离变量后的方程 （ 2.2.5） 已具有 （ 2.2.3） 的形式，故通积分为 CdyyY yYdxxX xX )( )()( )( 11 （ 2.2.6） 附注 1：当 0)()( 11 yYxX 时，用求解方程 （ 2.2.5） 来代替求解方程 （ 2.2.2） 是合 理的，因为此时方程 （ 2.2.2） 与方程 （ 2.2.5） 是同解的 . 附注 2：若 ax （或 by ）是方程 0)(1 xX （或 0)(1 yY ）的一个根，把它代入 （ 2.2.2） 式验证，可知 ax （或 by ）是方程 （ 2.2.
4、2） 的解 .这个解一般会在由 （ 2.2.2） 化为 （ 2.2.5） 时丢失 ,故有时不包含 在通积分 （ 2.2.6） 中，必须补上 . 例 1 求解微分方程 0)1)(1( 22 x yd ydxyx （ 2.2.7） 解 当 0)1( 2 yx 时，方程 （ 2.2.7） 可改写为等价的方程 011 22 dyy ydxxx ， 积分得 Cyxx ln1ln)ln( 222 ， 即 Cyex x 122 2 ， 亦即 2221xeCy x（ 2.2.8） 其中 0C .显然 1,0 yx 都是方程的解 .若允许 （ 2.2.8） 中的 C 可取零值，则特解 1y 可含于（ 2.2.8
5、） 中 .因此方程 （ 2.2.7） 的通积分为 2221xeCy x， 其中 C 为任意常数； 外加特解 0x . 例 2 求微分方程 )1(dd 2yxxyy 的通解 . 解 当 1y 时，分离变量得 xxyyy dd1 2 ，等式两端积分得 12 dd1 Cxxyyy ， 122 211ln21 Cxy ， 12 22 e,e1 Cx CCy 方程的通解为 2e12 xCy 。 显然 01 2 y 即 1y 是原方程的解，而此解可在通解中令 0c 得到 . 例 3 求下列微分方程的所有常数解： （ 1） 0d)1(1 )d( 22 yxyxyx ； （ 2） yxxy sindd 2 ：
6、 （ 3） yxxy tandd 2。 解 （ 1）由 012 y ，得 1y ；由 012 x ，得 1x 。所以方程的所有常数解为1,1 xy 。 （ 2）由 0siny ，得 ky ， ,2,1,0 k ，所以方程的所有常数解为 ky ，,2,1,0 k 。 （ 3）由 0tany ，得 ky ， ,2,1,0 k ，所以方程的所有常数解为 ky ，,2,1,0 k 。 例 4 求解微分方程 31 23yy （ 2.2.9） 并作出积分曲线族的图形 . 解 当 0y 时，将 （ 2.2.9） 改写为 dxydy 2331 ，两边积分，得 Cxy 32 ， （ 0Cx ）， 或 32 )(
7、 Cxy ， （ Cx ） （ 2.2.10） 最后，还有特解 0y ，它不包含在 （ 2.2.10） 之中 . 利用方 程 （ 2.2.9） 并参照通积分 （ 2.2.10） ，可以作出积分曲线族的图形 。 由 图形 不难看出，过 x 轴上的每一点 )0,(xP ，都有无穷多条积分曲线通过 .很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与 x 轴重合的直线段，右半部分可以是 x 轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线 .左右两部分在接合点相切 . 总之，微分方程 （ 2.2.9） 满足初值条件 00)( yxy 的解，当 00y 时是局部唯一的；而当 00y 时是局部不唯一的
8、. 我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法 .变量分离法是解一阶方程的基础方法 ,对于一个微分方程能否用分离变量法求解 ,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径 . 1求解下列微分方程： （ 1） 221 xyyxdxdy ； 解 分离变量，得 dxxydy )1(1 2 ， 积分后得 通积分 Cxxy 221ar c tan ， 故通解为 )21ta n ( 2 Cxxy . （ 2） 2)2c o s(c o s yxdxdy ； 解 分离变量，得 xdxydy 22 cos2cos ， 积分后得通积分 Cxxy 2s in212ta n . 此外由 02cos y 可求得特解4
9、2 ny. （ 3） 21 ydxdyx ； 解 分离变量，得 xdxydy 21， 积分后得通积分 Cxy lnarc sin . 此外还有特解 1y . （ 4） yxey exdxdy . 解 分离变量，得 dxexdyey xy )()( ， 积分后得通积分 Ceexy xy )(222 . 2求解下列微分方程的初值问题： （ 1） 0 dyyexdx x ， 1)0( y ； 解 将方程改写为 0ydydxxe x ，积分后得通积分 Cyexe xx 221 . 由初值条件 1)0( y ，得 21C . 所以初值问题的解为 01)1(2 2 yex x . （ 2） 21lnyxdxdy ， 0)1( y ； 解 分离变量，得 dxxdyy ln)1( 2 ， 积分后得通积分 Cxxxyy ln31 3. 由初值条件 0)1( y ，得 1C . 所以初值问题的解为 01ln31 3 xxxyy. （ 3） 321 xydxdyx ， 1)0( y ； 解 将方程改写为 23 1 xxdxdyy ， 积分后得通积分 Cxy 22 121. 由初值条件 1)0( y ，得 3C . 所以初值问题的解为 3121 22 xy.
