1、2011精品 ksdowe 求不定积分的方法及技巧小汇总 1.利用基本公式。（这就不多说了 ） 2.第一类换元法。（凑微分） 设 f( )具有原函数 F( )。则 CxFxdxfdxxxf )()()()()( 其中 )(x 可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2： 例 1： dxxx xx )1( ln)1ln(【解】)1( 1111)ln)1( ln ( xxxxxxCxxxxdxxdxxx xx 2)ln)1( l n
2、 (21)ln)1( l n ()ln)1( l n ()1( ln)1l n (例 2： dxxx x2)ln( ln1【解】 xxx ln1)ln( Cxxxx xdxdxxx x ln1)ln( ln)1( ln1 22 3.第二类换元法： 设 )(tx 是单调、可导的函数，并且 )()(.0)( ttft 又设 具有原函数，则有换元公式 dtttfdxf )()(x)( 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： a c h txtaxtaxaxa s h txtaxtaxaxtaxtaxxa；：；：；：cscs e c)3(c o tt a
3、 n)2(c o ss in)1(2222222011精品 ksdowe 也奏效。，有时倒代换当被积函数含有：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2 4.分部积分法 . 公式： dd 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取 、 时，通常基于以下两点考虑： （ 1） 降低多项式部分的系数 （ 2） 简化被积函数的类型 举两个例子吧 ！ 例 3： dxx xx 231arccos【解】观察被积函数，选取变换 xt arccos ,则 td ttdtttttdxx xx 3323 c o s)s i n(
4、s i nc o s1a r c c o s CxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdtta r c c o s1)2(313291c o s91c o s32s ins in31c o s)1s in31(s ins in31)s ins in31(s ins in31)s ins in31(s in)1( s in22333233332例 4： xdx2arcsin 【解】 dxxxxxxx d x 222 1 1a r c s in2s ina r c s inCxxxxxdxxxxxxxxxdxx2a r c s i n12a r c s i n121a r c
5、s i n12a r c s i n1a r c s i n2a r c s i n222222011精品 ksdowe 上面的例 3，降低了多项式系数；例 4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在 dd 中， 、 的选取有下面简单的规律： 选取的函数不能改变。，会出现循环，注意，)3(s i n,c o s)3()(a r c s i n,a r c t a n,ln)2(c o s,s i n,)()1(xxexPxxxaxaxexPaxmaxm将以上规律化成一个图就是： 但是，当 xx arc s inln ， 时，是无法求解的。 对于（ 3）情况
6、，有两个通用公式： Cbxbbxaba edxbxeICbxbbxaba edxbxeIaxaxaxax)s i nc o s(c o s)c o ss i n(s i n222221（分部积分法用处多多 在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中，常可以看到分部积分） 5.几种特殊类型函数的积分。 （ 1） 有理函数的积分 有理函数)()(xQxP先化为多项式和真分式)( )(*xQxP之和，再把)( )(*xQxP分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现 nn xa dxI )( 22时，记得用递推公式：121222 )1(2 32)(1(2 nnn Ina naxn
7、a xI） 例 5： dxxx xxx 223246)1( 24【解】 223222346223246)1( 24)1()1( 24 xx xxx xxxx xxx 22322 )1( 241 xx xx x （ lnx arcsinx） Pm(x) （ ax sinx) 2011精品 ksdowe 2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1l n (211xdxxx xx d xxx xdxxx xCxdxx xCxxCddd)1(1111)1(11()1()1()1(122222222222 故不定积分求得。 （ 2）三角函数有理式的积分 万能公式：2tan12ta
8、n1c o s2tan12tan2sin222xxxxxx化为有理函数可用变换 2t a n)c o s,( s i n )c o s,( s i n xtdxxxQ xxP 的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。 对于只含有 tanx（或 cotx）的分式，必化成 xxxx sincoscossin 或 。再用待定系数 xbxa xbxaBxbxaA s inc o s )s in c o s ()s inc o s( 来做。（注：没举例题并不代表不重要 ） （ 3） 简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。 像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现 xx 1和 时，可令 tx 2tan ；同时出现 xx 1和 时，可令 tx 2sin ；同时出现 xx arcsin1 2和 时，可令x=sint；同时出现 xx arcco s1 2和 时，可令 x=cost等等。
