1、第 1 页（共 27 页） 2017 年广东省广州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数（ 1+i） 2+ 的共轭复数是（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 2若集合 M=x|x| 1， N=y|y=x2， |x| 1，则（ ） A M=N B M N C N M D M N= 3已知等比数列 an的各项都为正数，且 a3， 成等差数列，则的值是（ ） A B C D 4阅读如图的程序框图若输入 n=5，则输出 k 的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 5 已知双曲线 C
2、的一条渐近线方程为 2x+3y=0， F1， F2 分别是双曲线 C 的左，右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且 |PF1|=7，则 |PF2|等于（ ） A 1 B 13 C 4 或 10 D 1 或 13 第 2 页（共 27 页） 6如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是（ ） A B C D 7五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ） A B
3、C D 8已知 F1， F2 分别是椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点，椭圆 C 上存在点 P 使 F1PF2 为钝角，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1） C（ 0， ） D（ 0， ） 9已知 p： x 0， ex ax 1 成立， q：函数 f（ x） =（ a 1） x 是减函数，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三 棱锥 P ABC 为鳖臑，PA 平面 ABC，
4、 PA=AB=2， AC=4，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A 8 B 12 C 20 D 24 11若直线 y=1 与函数 f（ x） =2sin2x 的图象相交于点 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），且 |x1 x2|= ，则线段 PQ 与函数 f（ x）的图象所围成的图形面积是（ ） 第 3 页（共 27 页） A B C D 12已知函数 f（ x） =x3 ，则 的值为（ ） A 0 B 504 C 1008 D 2016 二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分 13已知 | |=1， | |= ，且 （ ），则向量
5、 与向量 的夹角是 14（ 3 x） n 的展开式中各项系数和为 64，则 x3 的系数为 （用数字填写答案） 15已知函数 f（ x） = ，若 |f（ a） | 2，则实数 a 的取值范围是 16设 Sn 为数列 an的前 n 项和，已知 a1=2，对任意 p、 q N*，都有 ap+q=ap+aq，则 f（ n） = （ n N*）的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17如图，在 ABC 中，点 P 在 BC 边上， PAC=60， PC=2， AP+AC=4 （ ） 求 ACP； （ ） 若 APB 的面积是 ，求 sin BAP 18近年来，我国电子商务蓬
6、勃发展 .2016 年 “618”期间，某网购平台的销售业绩高达 516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次 （ ） 根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为 “网购者对商品满意与对服务满意之间有关系 ”？ 第 4 页（共 27 页） 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 对商品不满意 合计 200 （ ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次
7、购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 EX 附： K2= （其中 n=a+b+c+d 为样本容量） P（ K2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， AB BC， BD DC，点 E 是 BC 边的中点，将 ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD，连接 AE， AC， DE，得到如图 2 所示的几何体 （ ） 求证： AB 平面 ADC； （ ） 若 AD=1，二面角 C AB D 的平面角的正切值
8、为 ，求二面角 B AD E 的余弦值 20过点 P（ a， 2）作抛物线 C： x2=4y 的两条切线，切点分别为 A（ x1， y1），B（ x2， y2） （ ） 证明： x1x2+y1y2 为定值； （ ） 记 PAB 的外接圆的圆心为点 M，点 F 是抛物线 C 的焦点，对任意实数a，试判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F？并说明理由 21已知函数 f（ x） =lnx+ 第 5 页（共 27 页） （ ） 若函数 f（ x）有零点，求实数 a 的取值范围； （ ） 证明：当 a ， b 1 时， f（ lnb） 选 修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线
9、 l 的参数方程为 （ t 为参数）在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： =2 cos（ ） （ ） 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ ） 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+a 1|+|x 2a| （ ） 若 f（ 1） 3，求实数 a 的取值范围； （ ） 若 a 1， x R，求证： f（ x） 2 第 6 页（共 27 页） 2017 年广东省广州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
10、只有一项是符合题目要求的 1复数（ 1+i） 2+ 的共轭复数是（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得 出 【解答】 解：（ 1+i） 2+ =2i+ =2i+1 i=1+i 的共轭复数是 1 i 故选： B 2若集合 M=x|x| 1， N=y|y=x2， |x| 1，则（ ） A M=N B M N C N M D M N= 【考点】 集合的表示法 【分析】 化简 N，即可得出结论 【解答】 解：由题意， N=y|y=x2， |x| 1=y|0 y 1， N M， 故选 C 3已知等 比数
11、列 an的各项都为正数，且 a3， 成等差数列，则的值是（ ） A B C D 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设等比数列 an的公比为 q，且 q 0，由题意 和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出 q，由等比数列的通项公式化简所求的式第 7 页（共 27 页） 子，化简后即可求值 【解答】 解：设等比数列 an的公比为 q，且 q 0， a3， 成等差数列， ，则 ， 化简得， q2 q 1=0，解得 q= ， 则 q= ， = = = = ， 故选 A 4阅读如图的程序框图若输入 n=5，则输出 k 的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 程序框
12、图 【分析】 根据已知 中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量 k， n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体， n=16，不满足退出循环的条件， k=1； 第二次执行循环体， n=49，不满足退出循环的条件， k=2； 第 8 页（共 27 页） 第三次执行循环体， n=148，不满足退出循环的条件， k=3； 第四次执行循环体， n=445，满足退出循环的条件， 故输出 k 值为 3， 故选： B 5已知双曲线 C 的一条渐近线方程为 2x+3y=0， F1， F2 分别是双曲线 C 的左，右 焦点，点 P 在双曲线 C 上，且 |PF1|=7，则 |
13、PF2|等于（ ） A 1 B 13 C 4 或 10 D 1 或 13 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线的方程、渐近线的方程求出 a，由双曲线的定义求出 |PF2| 【解答】 解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得 = ， a=3 由双曲线的定义可得 |PF2| 7|=6， |PF2|=1 或 13， 故选 C 6如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗 线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 该 几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 P ABCD，作出图形，
14、可得结论 【解答】 解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 P ABCD，如图所示， 该几何体的俯视图为 D 第 9 页（共 27 页） 故选： D 7五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率 【解答】 解：五个人的编号为 1， 2， 3， 4， 5 由题意，所有事件，共有 25=32 种，没有相邻的两个人站起来的基本
15、事件有（ 1），（ 2），（ 3），（ 4），（ 5），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 3， 5），再 加上没有人站起来的可能有 1 种，共 11 种情况， 没有相邻的两个人站起来的概率为 ， 故选： C 8已知 F1， F2 分别是椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点，椭圆 C 上存在点 P 使 F1PF2 为钝角，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1） C（ 0， ） D（ 0， ） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由 F1PF2 为钝角，得到 0 有解，转化为 c2 x02+y02 有解，求出 x02+y
16、02 的最小值后求得椭圆离心率的取值范围 【解答】 解：设 P（ x0， y0），则 |x0| a， 第 10 页（共 27 页） 又 F1（ c， 0）， F2（ c， 0）， 又 F1PF2 为钝角，当且仅当 0 有解， 即（ c x0， y0） （ c x0， y0） =（ c x0）（ c x0） +y02 0， 即有 c2 x02+y02 有解，即 c2 （ x02+y02） min 又 y02=b2 x02， x02+y02=b2+ x02 b2， a2）， 即（ x02+y02） min=b2 故 c2 b2， c2 a2 c2， ，即 e ， 又 0 e 1， e 1 故选：
17、A 9已知 p： x 0， ex ax 1 成立， q：函数 f（ x） =（ a 1） x 是减函数，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 利用导数研究 p 的单调性可得 a 0 q：函数 f（ x） =（ a 1） x 是减函数，则 a 1 1，解得 a 2即可判断出结论 【解答】 解： p： x 0， ex ax 1 成立，则 a ，令 f（ x） = ，则 f（ x） = 令 g（ x） =exx ex+1， 则 g（ 0） =0， g（ x） =xex 0， g（ x） 0， f（ x） 0， a 0
