1、中考数学金牌名师 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 练 存 华 模型思维解题法课程讲义 自信激发潜能，勤奋铸就成功 ！ 1 第九讲： 二次函数十大基本问题 知识模块与方法 知识模块一： 二次函数的定义问题 1二次函数的概念 ： 一般地，形如 2y ax bx c （ abc， ， 是常数， 0a ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 0a ，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二 次函数 2y ax bx c 的结构特征： （ 1） 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2 （ 2） abc， ， 是
2、常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是 常数项 知识、题型、方法 例 1： 若 x mmmy 232)3( 是二次函数，则 m 。 变式练习： 已知 xm mmmy 1992 2)972( ，试讨论 m 分别为何值时为正比例函数、反比例函数、 二次函数？ 课堂演练一 ： 1. 二次函数 62 )3( 2 xy 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 2. 若 y (m 1)x mm2 3x 1 是二次函数，则 m 的值为 _ 3. 已知 函数43 12 xxy x，则 自变量 x 的取值范围 是 。 4. 某广告公司欲设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每
3、平方米 1000 米，设 矩形的一边长为 x 米，所花费用为 y 元。则 y 与 x 之间的函数关系式为 。 5. 已知函数 x mmy 23 2)12( ，当 m 为何值时： （ 1） y 是 x 的正比例函数，且 y 随着 x 增大而增大。 （ 2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。 （ 3）函数图象是开口向上的抛物 线。 中考数学金牌名师 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 练 存 华 模型思维解题法课程讲义 自信激发潜能，勤奋铸就成功 ！ 2 知识模块二：二次函数的图象及其性质 1. 二次函数基本形式： 2y ax 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 。 2. 2
4、y ax c的性质： 上加下减。 3. 2y a x h的性质： 左加右减。 4. 2y a x h k 的性质 ： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00， y 轴 0x时， y 随 x 的增大而增大； 0x 时， y 随x 的增大而 减小； 0x 时， y 有最小值 0 0a 向下 00， y 轴 0x时， y 随 x 的增大而减小； 0x 时， y 随x 的增大而增大； 0x 时， y 有最大值 0 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0 c， y 轴 0x时， y 随 x 的增大而增大； 0x 时， y 随x 的增大而减小； 0x 时， y
5、 有最小值 c 0a 向下 0 c， y 轴 0x时， y 随 x 的增大而减小； 0x 时， y 随x 的增大而增大； 0x 时， y 有最大值 c a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h， X=h xh时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随x 的增大而减小； xh 时， y 有最小值 0 0a 向下 0h， X=h xh时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随x 的增大而增大； xh 时， y 有最大值 0 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk， X=h xh时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随x
6、的增大而减小； xh 时， y 有最小值 k 0a 向下 hk， X=h xh时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随x 的增大而增大； xh 时， y 有最大值 k 中考数学金牌名师 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 练 存 华 模型思维解题法课程讲义 自信激发潜能，勤奋铸就成功 ！ 3 二次函数图象的过点问题与交点问题 中考方法点拨 ：二次函数 图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题 的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足 函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。 知识、题型、方法 例 2：已知抛物线 xy 2
7、 和直线 mxy 3 都经过点（ 2 ， n ）。 （ 1）求 m ， n 的值。 （ 2）是否存在另一个交点？若存在，请求出。 变式练习： 1（ 2008，长春）已知，如图，直线 l 经过 )0,4(A 和 )4,0(B 两点，它与抛物线 2axy 在第一象限内相交于点 P，又知 AOP 的面积为 4，求 a 的值。 第 1 题图 第 2 题图 2（ 2008，辽宁大连）如图 10，直线 mxy 和抛物线 cbxxy 2 都经过点 A(1，0)， B(3， 2) （ 1）求 m 的值和抛物线的解析式； （ 2）求不等式 mxcbxx 2 的解集 (直接写出答案 )。 课堂 演练二 ： 1二次
8、函数 22 xay 的图象经过两点 A（ 4 ， 2 ）， B（ m ， 2 ），则 m 。 2若抛物线 cxay x 2 与 x 轴的交点坐标是（ 1 ， 0）则 ca 。 3. 已知函数 )0(2 aay x 的图象与直线 32 xy 交于点（ 1， b ） ， 则 求 a 。 4. 如图，是二次函数 y ax2 x a2 1 的图象，则 a _ 第 4 题图 AOBPyxOyxBA中考数学金牌名师 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 练 存 华 模型思维解题法课程讲义 自信激发潜能，勤奋铸就成功 ！ 4 二次函数 图象 的单调性问题： 中考方法点拨 ： 判断二次函数的单调性要紧
9、紧抓住抛物线的开口 方向和对称轴2bx a， 对称轴2bx a是二次函数单调性的分界点，即： 1. 当 0a 时，抛物线开口向上 ： 在2bx a范围内 ， y 随 x 的增大而减小； 在2bx a范围内 ， y 随 x 的增大而增大；当2bx a时， y 有最小值 244ac ba。 2. 当 0a 时，抛物线开口向下 ： 在2bx a范围内 ， y 随 x 的增大而增大； 在2bx a范围内 ， y 随 x 的增大而减小； 当2bx a时， y 有最大值 244ac ba。 知识、题型、方法 例 3： （ 2011， 浙江 舟山 ）如图，已知二次函数 cbxxy 2 的图象经过点 （ 1，
10、 0）， （ 1， 2），当 y 随 x 的增大而增大时， x 的取值范围是 。 变式练习第 2 题图 例 4：（ 2008，山东东营） 若 A（1,413y） ， B（2,45y）， C（3,41y） 为二 次函数 2 45y x x 的图象上的三点，则 1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ） A 1 2 3y y y B 213y y y C 3 1 2y y y D 1 3 2y y y 变式练习： 1（ 2011，广安）若二次函数 2( ) 1y x m 当 x l 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ） A m =l B m l C m l D m l 2 （
11、 2011， 浙江温州）已知二次函数的图象 (0x3)如 第 9 题图 所示 。 关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是 ( ) A有最小值 0，有最大值 3 B有最小值 1，有最大值 0 C有最小值 1，有最大值 3 D有最小值 1，无最大值 xy例 3 图 O11（ 1,-2） cbxxy 2-1 中考数学金牌名师 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 练 存 华 模型思维解题法课程讲义 自信激发潜能，勤奋铸就成功 ！ 5 课堂 演练三 ： 1当 22 x 时，二次函数 xy 2 的最小值是 ，最大值是 。 2（ 2011，广东广州） 下列函数中 ,当 x0 时 y 值
12、随 x 值增大而减小的是（ ） A y = x2 B y = x C y = 34 x D y = 1x 3 （ 2011， 山东聊城）下列四个函数图象中，当 x0 B b 0 C c 0 D a b c0 y x O 3 x=1 图 9 1 1 1 O x y 中考数学金牌名师 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 练 存 华 模型思维解题法课程讲义 自信激发潜能，勤奋铸就成功 ！ 8 2。（ 2010，湖北孝感） 如图，二次函数 2y ax bx c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为 1,12，下列结论： ac 0； a+b=0； 4ac b2=4a； a+b+c 0。其中
13、正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3。（ 2011，甘肃兰州）如图所示的二次函数 2y ax bx c 的图象中，刘星同学 观察得出了下面四条信息： （ 1） 2 40b ac；（ 2） c1；（ 3） 2a b0；（ 4） a+b+c0。 你认为其中 错误 的有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 1 个 4。（ 2011，山东日照） 如图，是 二次函数 y ax2 bx c（ a 0） 的图 象的一部分 ， 给出 下列命题 ： a+b+c=0； b 2a； ax2+bx+c=0 的两根分别为 3 和 1； a-2
14、b+c0。 其中正确的命题是 。（只要求填写正确命题的序号） 5。 （ 2009，广西南宁 ） 已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象如图 4 所示，有下列四个结论： 20 0 4 0b c b a c 0a c ，其中正确的个数有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6。 （ 2008 甘肃兰州）已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象如图 5 所示，有下列 四 个结论： 0abc ； b a c； 4 2 0a b c ； 2 40b ac。 其中正确的结论有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 -1 O x=1 y x 图
15、 5 x y -1 1 O 1 1 图 4 O x y 3 中考数学金牌名师 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 练 存 华 模型思维解题法课程讲义 自信激发潜能，勤奋铸就成功 ！ 9 7。 （ 2007，天津）已知二次函数 )0(2 acbxaxy 的 图象如右图所示， 有下列 5 个结论： 0abc ； cab ； 024 cba ； bc 32 ； )( bammba ，（ 1m 的实数）其中正确的 结论有（ ） A。 2 个 B。 3 个 C。 4 个 D。 5 个 8。（ 2007，南充） 如 右 图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分， 图象过点 A（ 3， 0
16、），对称轴为 x 1给出 四 个结论： b2 4ac； 2a b=0； a b c=0； 5a b。 其中正确结论是（ ）。 （ A） （ B） （ C） （ D） 二次函数的平移问题 中考方法 点拨： 抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即 a 的值不变。 解决这类问题的关键是利用好平移特征，在图形的平移中，一个点的位置 变化和一个 图形的位置变化是一致的，只须抓住抛物线的顶点需要进行怎 样的平移即可。 解答思路 ：先求出抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标进行平移改变，再利用顶点式求出 平移后的抛物线解析式。（平移前先把二次函数的解析式化成顶点式） 知识、题型、方法 例 8：（
17、 1） （ 2011，山东滨州）抛物线 223yx 可以由抛物线 2yx 平移得到 ， 则下列平移过程正确的是 ( ) A。先向左 平移 2 个单位 ,再向上平移 3 个单位 B。先向左平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位 C。先向右平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位 D。先向右平移 2 个单位 ,再向上平移 3 个单位 （ 2）（ 2010，毕节）把抛物线 cbxy x 2 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式为 532 xy x ，则（ ） A。 3b ， 7c B。 6b ， 3c C。 9b ， 5c D。 9b ， 21c 中考数学金牌名师
18、 九年级第一学期 知识改变命运，学习成就未来！ 练 存 华 模型思维解题法课程讲义 自信激发潜能，勤奋铸就成功 ！ 10 课堂 演练六 ： 1。 （ 2011，重庆江津）将抛物线 xy x 22 向上平移 3 个单位 ,再向右平移 4 个单位等到的抛物线 是 。 2。（ 2009，泸州） 在平面直角坐标系中，将二次函数 22xy 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为（ ） A 22 2 xy B 22 2 xy C 2)2(2 xy D 2)2(2 xy 3。 （ 2009，兰州） 把抛物线 2yx 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A
19、2( 1) 3yx B 2( 1) 3yx C 2( 1) 3yx D 2( 1) 3yx 4.（ 2008，资阳市） 在平面直角坐标系中 ， 如果 抛物线 y 2x2不动， 而 把 x 轴、 y 轴分别向上、向右平移 2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A y 2(x 2)2 + 2 B y 2(x + 2)2 2 C y 2(x 2)2 2 D y 2(x + 2)2 + 2 5。要得到二次函数 2 22y x x 的图象，需将 2yx 的图象（ ）。 A向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位 C向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 6。 （ 2008，山西省）抛物线 542 2 xxy 经过平移得到 22xy ，平移方法是（ ） A向左平移 1个单位，再向下平移 3个单位 B向左平移 1个单位，再向上平移 3个单位 C向右平移 1个单位，再向下平移 3个单位 D向右平移 1个单位，再向上平移 3个单位 7。如果将抛物线 cbxy x 2 沿直角坐标平面向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到抛物线 122 xy x 。你能确定 b 、 c 的值吗？试试看。
