1、 1 专训 1 二 次函数的图象与系数的六种关系 名师点金： 二次函数 y ax2 bx c(a0) 的系数 a， b， c 与图象有着密切的关系： a 的取值决定了开口方向和开口大小， a， b 的取值影响对称轴的位置， c 的取值决定了抛物线与 y 轴的交点位置，所以 a， b， c 这三个系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以根据二次 函数图象情况确定 a， b， c 的符号或大小 a与图象的关系 1如图所示，四个函数的图象分 别对应的是 y ax2； y bx2； y cx2； y dx2，则 a， b， c， d 的大小关系为 ( ) A a b c d B a b d c C
2、 b a c d D b a d c 第 1 题 第 3 题 第 6 题 2在抛物线 y mx2与抛物线 y nx2中，若 m n 0，则开口向上的抛物线是 _，开口较大的抛物线是 _ b 与图象的关系 3若二次函数 y 3x2 (b 3)x 4 的图 象如图所示，则 b 的值是 ( ) A 5 B 0 C 3 D 4 4当抛物线 y x2 nx 2 的对称轴是 y 轴时， n_0；当对称轴在 y 轴左侧时， n_0；当对称轴在 y轴右侧时， n_0.(填 “ ”“ ” 或 “ ” ) c与图象的关系 5下列抛物线可能是 y ax2 bx 的图象的是 ( ) 6若将抛物线 y ax2 bx c
3、 3 向上平移 4 个单位长度后得到的图象如图所示，则 c _ 2 a， b与图象的关系 7二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则下 列说法中不正确的是 ( ) A a 0 B b 0 C 3a b 0 D b 2a 第 7 题 第 11 题 8如果抛物线 y m2 x2 (n 2)x 5 的对称轴是直线 x 32，则 (3m 2n)2 2n 43m 的值为 _ a， c与图象的关系 9二次函数 y (3 m)x2 x n 5 的图象如图所示，试求 （ m 3） 2 n2 |m n|的值 (第 9 题 ) a， b， c与图象的关系 10在二次函数 y ax2 bx c 中， a
4、0， b 0， c 0，则符合条件的图象是 ( ) 11已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，对称轴为直线 x 12，下列结论中正确的是 ( ) A abc 0 B a c 0 C b 2a D 4a c 2b 3 专训 2 求二次函数解析式的常见类型 名师点金： 求二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的解析式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的解析式，往往可以使解题过 程简便 由函数的基本形式求解析式 方法 1 利用一般式求二次函数解析式 1【 2016黔南州】 已知二次函数 y x2 bx c 的图象与 y 轴交于点
5、C(0， 6)，与 x 轴的一个交点坐标是 A(2， 0) (1)求二次函数的解析式，并写出顶点 D 的坐标； (2)将二次函数的图象沿 x 轴向左平移 52个单位长度 ，当 y0 时，求 x 的取值范围 (第 1 题 ) 方法 2 利用顶点式求二次函数解析式 2已知二 次函数 y ax2 bx c，当 x 1 时，有最大值 8，其图象的形状、开口方向与抛物线 y 2x2相同，则这个二次函数的解析式是 ( ) A y 2x2 x 3 B y 2x2 4 C y 2x2 4x 8 D y 2x2 4x 6 3已知某个二次函数的最大值是 2，图象顶点在直线 y x 1 上，并且图象经过点 (3，
6、6)求这个二次 函数的解析式 方法 3 利用交点式求二次函数解析式 4已知抛物线与 x 轴交于 A(1， 0)， B( 4， 0)两点，与 y 轴交于点 C，且 AB BC，求此抛物线对应的函数解析式 方法 4 利用平移式求二次函数解析式 5 【 2015绥化】 把二次函数 y 2x2的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后抛物线的解析式 是 _ 4 6已知 y x2 bx c 的图象向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的图象的解析式为 yx2 2x 3. (1)b _， c _； (2)求原函数图象的顶点坐标； (3)求两个图象顶点之间的距离
7、方法 5 利用对称轴法求二次函数解析式 7如图，已知抛物线 y x2 bx c 的对称轴为直线 x 1，且与 x 轴的一个交点为 (3， 0)，那么它对应的函数解析式是 _ 8如图所示，抛物线与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 A的坐标为 (2， 0)，点 C 的坐标为 (0， 3)，抛物线的对称轴是直线 x 12. (1)求抛物线的解析式； (2)M 是线段 AB 上的任意一点，当 MBC 为等腰三角形时，求点 M 的坐标 方法 6 灵活运用方法求二次函数的解析式 9已知抛物线的顶点坐标为 ( 2， 4)，且与 x 轴的一个交点坐标为 (1， 0)，求抛物线对应的函数
8、解析式 由函数图象中的信息求解析式 10如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的解析式是 ( ) 5 A y x2 x 2 B y 12x2 12x 2 C y 12x2 12x 1 D y x2 x 2 11 【 2015南京】 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等下图中的折线 ABD、线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y1(单位：元 )、销售价 y2(单位：元 )与产量 x(单位： kg)之间的 函数关系 (1)请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数解析式； (3)当该产品产量为多少时，获得的利润最
9、大？最大利润是多少？ (第 11 题 ) 由表格信息求解析式 12若 y ax2 bx c，则由表格中信息可知 y 与 x 之间的函数关系式是 ( ) x 1 0 1 ax2 1 ax2 bx c 8 3 A.y x2 4x 3 B y x2 3x 4 C y x2 3x 3 D y x2 4x 8 13已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表： x 32 1 12 0 12 1 32 y 54 2 94 2 54 0 74 则该二次函数的解析式为 _ 几何应用中求二次函数的解析式 14 【 2016安顺】 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所
10、示，它由四个边长为 3 米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同其中的一个小正方形 ABCD 如图乙所示， DG 1 米， AE AF x 米，在五边 形 EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x 的函数图象大致是 ( ) (第 14 题 ) 6 实际问题中求二次函数解析式 15在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角 (两墙足够长 )，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB， BC 两边 )，设 AB x m，花园的面积为 S m2. (1)求 S 与 x 之间的函数解析式； (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD， AD
11、 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内 (含边界，不考虑树的粗细 )，求花园面积的最大值 专训 3 二次函数图象信息题的四种常见类型 名师点金： 利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键 根据抛物线的特征确定 a， b， c及与其有关的代数式的符号 1 【 2015孝感】 如图，二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA OC.则下列结论： abc 0； b2 4ac4a 0； ac b 1 0； OAOBca.其中正确结论的个
12、数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 (第 1 题 ) (第 2 题 ) 利用二次函数的图象比较大小 2二次函数 y x2 bx c 的图象如图，若点 A(x1， y1)， B(x2， y2)在此函数图象上，且 x1x21，则 y1与 y2的大小关系是 ( ) A y1 y2 B y1 y2 C y1 y2 D y1 y2 7 利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集 3 【中考 黄石】 二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，则当函数值 y 0 时， x 的取值范围是 ( ) A x 1 B x 3 C 1 x 3 D x 1 或 x 3 (第 3 题 ) (第 4
13、 题 ) 4 【中考 阜新】 如图，二次函数 y ax2 bx 3 的图象经过点 A( 1， 0)， B(3， 0)，那么一元二次方程 ax2bx 0 的根是 _ 根据抛物线的特征确定其他函数的图象 5 【中考 聊城】 二次函数 y ax2 bx 的图象如图所示，那么一次函数 y ax b 的图象大致是 ( ) (第 5 题 ) 6如图， A( 1， 0)， B(2， 3)两点在一次函数 y1 x m 与二次函数 y2 ax2 bx 3 的图象上 (1)求 m的值和二次函数的解析式 (2)设二次函数的图象交 y 轴于点 C，求 ABC 的面积 (第 6 题 ) 8 专训 4 用二次函数解决问题
14、的四种类型 名师点金： 利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的 建立平面直角坐标系解决实际问题 题型 1 拱桥 (隧道 )问题 1如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点 A 和 A1、点 B 和 B1分别关于 y 轴对称隧道拱部分 BCB1为一段抛物线，最高点 C 离路面 AA1的距离为 8 m，点 B 离路面 AA1的距离为 6 m，隧道宽AA1为 16 m. (1)求隧道拱部分 BCB1对应的函数解析式 (2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为 4 m，装载设备的顶部离路面均为
15、7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由 题型 2 建筑物问题 2某公园草坪的防护栏由 100 段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为 0.5 m(如图 )，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为 ( ) (第 2 题 ) A 50 m B 100 m C 160 m D 200 m 题型 3 物体运动类问题 3如图，在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为 B.有人在直线 AB 上点 C(靠点 B 一侧 )处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内已知 A
16、B 4 米，AC 3 米，网球飞行最大高度 OM 5 米，圆柱形 桶的直径为 0.5 米，高为 0.3 米 (网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计 ) (1)如果竖直摆放 5 个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？ (2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？ 9 (第 3 题 ) 建立二次函数模型解决几何最 值问题 题型 1 利用二次函数解决图形高度的最值问题 (第 4 题 ) 4如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子 ，给小明做了一个简易的秋千 拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则
17、绳子的最低点距地面的高度为 _米 题型 2 利用二次函数解决图形面积的最值问题 5如图所示，正方形 ABCD 的边长为 3a，两动点 E， F 分别从顶点 B， C 同时开始以相同速度沿边 BC， CD运动，与 BCF 相应的 EGH在运动过程中始终保持 EGH BCF， B， E， C， G在一条直线上 (1)若 BE a，求 DH的长 (2)当 E 点在 BC 边上的什么位置时， DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值 建立二次函数模型解决动点探究问题 6如图所示，直线 y 12x 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A， C，抛物线过点 A， C 和点 B(1， 0) (1)
18、求抛物线的解析式； (2)在 x 轴上方的抛物线上有一动点 D，当 D 与直线 AC 的距离 DE 最大时，求出点 D 的坐标，并求出最大距离 (第 6 题 ) 10 建立二次函数模型作决策问题 题型 1 几何问题中的 决策 7如图，有长为 24 m 的围栏，一面利用墙 (墙的最大可用长度为 10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍设鸡舍的一边 AB 为 x m，面积为 S m2. (1)求 S 与 x 的函数关系式 (不必写出 x 的取值范围 ) (2)如果围成面积为 45 m2的鸡舍， AB 的长是多少米？ (3)能围成面积比 45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，
19、请说明理由 (第 7 题 ) 题型 2 实际问题中的决策 8 【 2016武汉】 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件已知产销两种产品的有关信息如表： 产品 每件售价 (万元 ) 每件成本 (万元 ) 每年其他 费用 (万元 ) 每年最大产 销量 (件 ) 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40 0.05x2 80 其中 a 为常数，且 3 a 5. (1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为 y1万元、 y2万元，直接写出 y1， y2与 x 的函数关系式； (2)分别求出产销两种产品的最大年利润； (3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由 专训 5 探究二次函数中存在性问题 名师点金： 存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问 题，探索与面积有关的存在性问题 探索与特殊几何图形有关的存在性问题
