1、 第 1 页二次函数与特殊四边形综合问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式（1）抛物线上的点能否构成平行四边形（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形（3）抛物线上的点能否构成梯形。特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键二、例题精析【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，抛物线 与直线 交于 两点，其中点 在 轴2yxbc12yx,CDCy上，点 的坐标为 。点 是 轴右侧的抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ，D7(3,)PPEx交 于
2、点 .CF（1）求抛物线的解析式；（2）若点 的横坐标为 ，当 为何值时，以 为顶点的四边形是平行四边形？Pm,OCPF请说明理由。（3）若存在点 ，使 ，请直接写出相应的点 的坐标45CF【解答】（1）直线 经过点 ,12yxC(0,2)第 2 页抛物线 经过点 ，2yxbc(0,2)CD7(3,) 2732cbc抛物线的解析式为 27yx（2）点 的横坐标为 且在抛物线上Pm 271(,),(2)F ，当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形PFCOP,OCPF 当 时，03m2 271()32mm ，解得：212,即当 或 时，四边形 是平行四边形1OCPF 当 时，3m227()()32
3、PFmm，解得： （舍去）21231,即当 时，四边形 是平行四边形1372mOCFP（3）如图，当点 在 上方且 时，PD45作 ,则,MNPFPMFCNF， 21MCNm第 3 页 2PMCF 55522CNm又 23PFm3解得： ， （舍去） 。12017(,)2P同理可以求得：另外一点为 31(,)68P【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】例二 （2013 荆州）如图，已知：如图 ，直线 y= x+ 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点，两动点 D、E 分别从 A、B 两点同时出发向 O 点运动（运动到 O 点停止） ；对称轴过点 A 且顶点为 M 的抛物线 y=a（x k）
4、 2+h（a0）始终经过点 E，过 E 作 EGOA 交抛物线于点 G，交 AB 于点 F，连结 DE、DF、AG、BG设 D、E 的运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 个单位长度/秒，运动时间为 t 秒（1）用含 t 代数式分别表示 BF、EF、AF 的长；（2）当 t 为何值时，四边形 ADEF 是菱形？判断此时AFG 与AGB 是否相似，并说明理由；（3）当ADF 是直角三角形，且抛物线的顶点 M 恰好在 BG 上时，求抛物线的解析式考点： 二次函数综合题第 4 页分析： （1）首先求出一次函数 y= x+ 与坐标轴交点 A、B 的坐标，然后解直角三角形求出 BF、EF、AF 的长；（
5、2）由 EFAD，且 EF=AD=t，则四边形 ADEF 为平行四边形，若ADEF 是菱形，则DE=AD=t由 DE=2OE，列方程求出 t 的值；如答图 1 所示，推出BAG=GAF，ABG=AGF=30，证明 AFG 与AGB 相似（3）当ADF 是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：若 ADF=90，如答图 2 所示首先求出此时 t 的值；其次求出点 G 的坐标，利用待定系数法求出直线 BG 的解析式，得到点 M 的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；若 AFD=90，如答图 3 所示解题思路与 相同解答： 解：（1）在直线解析式 y= x+ 中，令 x=0，得 y=
6、 ；令 y=0，得 x=1A（ 1， 0） ，B（0， ） ，OA=1，OB= tanOAB= ，OAB=60，AB=2OA=2EGOA，EFB= OAB=60EF= = =t，BF=2EF=2t，AF=ABBF=22t（2）EF AD，且 EF=AD=t，四边形 ADEF 为平行四边形若ADEF 是菱形，则 DE=AD=t由 DE=2OD，即：t=2（1 t） ，解得 t= t= 时，四边形 ADEF 是菱形此时AFG 与 AGB 相似理由如下：如答图 1 所示，连接 AE，四边形 ADEF 是菱形，DEF=DAF=60，AEF=30由抛物线的对称性可知，AG=AE，第 6 页AGF=AEF
7、=30在 RtBEG 中，BE= ，EG=2，tanEBG= = ，EBG=60，ABG=EBGEBF=30在AFG 与AGB 中，BAG=GAF，ABG=AGF=30 ，AFGAGB（3）当ADF 是直角三角形时，若 ADF=90，如答图 2 所示：此时 AF=2DA，即 22t=2t，解得 t= BE= t= ，OE=OB BE= ，E（ 0， ） ，G（2， ） 设直线 BG 的解析式为 y=kx+b，将 B（0， ） ，G （2， ）代入得：，解得 k= ，b= ，y= x+ 令 x=1，得 y= ，M（1， ） 设抛物线解析式为 y=a（x1） 2+ ，点 E（0， ）在抛物线上，
8、=a+ ，解得 a= 第 7 页y= （x 1） 2+ = x2+ x+ 若 AFD=90，如答图 3 所示：此时 AD=2AF，即： t=2（22t） ，解得：t= BE= t= ，OE=OB BE= ，E（ 0， ） ，G（2， ） 设直线 BG 的解析式为 y=kx+b，将 B（0， ） ，G （2， ）代入得：，解得 k= ，b= ，y= x+ 令 x=1，得 y= ，M（1， ） 设抛物线解析式为 y=a（x1） 2+ ，点 E（0， ）在抛物线上， =a+ ，解得 a= y= （x1） 2+ = x2+ x+ 综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：y= x2+ x+ 或y= x2+
9、 x+ 点评： 本题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点第（3）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解【抛物线上的点能否构成梯形】第 8 页例三. (2008 年成都市)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 的顶点的坐标为（10，0），顶点 B 在第一象限内，且 =3 ，sinOAB= .AB55（1）若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点，求经过 O、C、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点 P，使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不
10、存在，请说明理由；（3）若将点 O、点 A 分别变换为点 Q（ -2k ,0）、点 R（5k，0）（k1 的常数），设过Q、R 两点，且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N，其顶点为 M，记QNM 的面积为 ，QNR 的面积 ，求 的值.QMNSNRSQMNS解：（1）如图，过点 作 于点 BDOA在 中，RtA， ，35B5sini3DAOB又由勾股定理，得 22(5)61064A点 在第一象限内，B点 的坐标为 (43)，点 关于 轴对称的点 的坐标为 xC(43)，设经过 三点的抛物线的函数表达式为(0)()10OA， ， ， ， ，2yaxb y xFP3BE
11、C D AP2 P1O第 9 页由116438054aab， 经过 三点的抛物线的函数表达式为 OCA， ， 21584yx（2）假设在（1）中的抛物线上存在点 ，使以 为顶点的四边形为梯形POCA， ， ， 点 不是抛物线 的顶点，(43)， 21584yx过点 作直线 的平行线与抛物线交于点 1则直线 的函数表达式为 1CP3y对于 ，令 或 2584yx4x613， ； 26， 而点 ， (4)C， 1(3)P，在四边形 中， ，显然 1AOA 1CPOA点 是符合要求的点(63)，若 设直线 的函数表达式为 2PC 1ykx将点 代入，得 (4)， 143k14k直线 的函数表达式为
12、Oyx于是可设直线 的函数表达式为 2AP1b将点 代入，得 (10)， 130452直线 的函数表达式为 2yx由 ，即 2235446018yx(10)6x10xy，； 2，；第 10 页而点 ， (10)A， 2(61)P，过点 作 轴于点 ，则 2Ex21E在 中，由勾股定理，得 Rt 22160APAE而 5COB在四边形 中， ，但 2PA2CO 2点 是符合要求的点(61)，若 设直线 的函数表达式为 3OC 2ykxb将点 代入，得(10)(43)A， ， ， 22110435k， 直线 的函数表达式为 C5yx直线 的函数表达式为 3OP12由 ，即 2214058yxx(4
13、)0x10xy，； 27，而点 ， ()O， 3(14)P，过点 作 轴于点 ，则 3Fx37F在 中，由勾股定理，得Rt2237145OP而 5CAB在四边形 中， ，但 33OPCA 3点 是符合要求的点(147)P，第 11 页综上可知，在（1）中的抛物线上存在点 ，123(63)(1)(47)PP， ， ， ， ，使以 为顶点的四边形为梯形POCA， ， ，（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下当抛物线开口向上时，则此抛物线与 轴的负半轴交于点 yN可设抛物线的函数表达式为 (2)5(0)axka即 22310yaxk2349如图，过点 作 轴于点 MGx，(2)(5)2QkRk， ， ， ， ，2349(01)Naa， ， ，|7|2OkROGk， ，249|10|2QGaMa， ，3105NRSkkAQMOQMGNS 梯 形11()222AA2 249317490kakakak33149253783321:(5):20QNMRSak 当抛物线开口向下时，则此抛物线与 轴的正半轴交于点 yN同理，可得 :QNRS 综上可知， 的值为M 320三、形成提升训练yxQ O G RMN
