回归分析在变形设计中的应用模型.doc

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资源描述

1、 回归分析 在 变形设计中 的应用模型 摘要 本文通过建立线性回归模型,在分析变型设计的基本特点与存在问题之后,用回归分析的方法解决变型设计中设计变量之间的隐含不确定的关系 .应用实例表明,回归分析是一种能够缩短变型设计周期、提高产品质量的有效分析方法 . 关键词 : 回归分析 模型 ;变型设计;相关 ; spss 一、 问题的提出 随着市场竞争的日益激烈,用户对产品的选择不再是传统的、单一的大众化商品,而是追求更加个性化、多样化的产品 .由于品种增加、批量减少,对制造商而言,无疑将导致成本增加,制造周期、产品质量等均难以控 制 .如何在这种形势下赢得竞争优势、在同行业中处于竞争的有利地位,是

2、企业生存、发展的关键 .变型设计是企业在实际设计中最为重要且最为广泛的产品设计方法之一,同时也是扩充企业产品型谱,形成产品族的主要方法之一 .变型设计的目的是在充分利用企业现有资源的同时,快速地响应市场,为市场提供高质量、低成本的产品 . 回归分析的方法可以定量地分析出变型设计过程中设计变量与性能指标之间相互依赖的不确定关系,以此揭示出产品性能指标与影响其值变化的设计变量之间的内在关系;设计人员可以通过最后得到的回归方程,定量、直观地分析出 各个设计变量对性能指标的影响情况 .因此,回归分析是一种能使设计人员理解设计本质、缩短设计周期、降低成本、快速进行变型设计的有效方法 . 在内圆磨床的整体

3、布局设计中,为磨削锥孔的需要,床头箱应能围绕桥板的回转中心旋转一定的角度 .如果回转中心的位置设计不当,在旋转的时候可能会与桥板发生干涉,由此会造成很大的经济损失 .此时,设计人员往往只能凭借经验对某些可能引起干涉的设计参数反复调整,以达到磨削锥孔的需要 .随着 CAD技术的发展,可以在产品的设计阶段,借助三维 CAD软件进行床头箱旋转的干涉检查实验,以减少不必要的样机 损失 .但这样并不能帮助设计人员理解回转中心的不同位置对干涉的影响情况以及所产生影响的大小,而且,反复地随机调整各设计变量也会影响设计周期 .为此,可以通过回归分析的方法,找出各因素对干涉的影响程度,以便为设计人员提供科学的设

4、计依据 . 在回归分析中,我们通常所关心的问题有: ( 1) 拟合:建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系,从而为进一步的深入研究提供线索; ( 2) 变量选择:在一批自变量中确定哪些变量确实对因变量有影响,而哪些变量对因变量没有实质性的影响; ( 3) 估计:研究自变量对因变量的影响的大小和正负效应; ( 4) 预测:根据已经 观测的数据来预测因变量在未经观测中的自变量值上的值 . 1 二、理论模型的建立 回归分析是一种研究变量之间非确定性关系的统计方法 ,面对一组变量,我们要研究其中的一个变量对于其他变量的函数关系 .主要有线性回归和多项式回归 , 在线性回归分析中,因变量和自变量之间的

5、关系被假定为线性的 .这是因为在现实世界中,许多变量之间存在大量的线性或近似线性关系,即便它们之间的关系是非线性的,经过适当的变换后,仍可以将变量之间的非线性关系转换为线性关系处理 . 在多重线性回归模型中,因变量的观测值与理论值(回归函数)之间存在着随机误差 .这种随机误差可以解释为由许多不可控制或无法预料的因素的微小影响的迭加所造成的 .在这种情况下,我们通常假定随机误差是独立正态分布 2N ( 0, ) .这样,在 n次观测后,记第 i次观测的 因变量值为 iy ,自变量值为 12( , , , )i i i ipx x x x ,我们可以根据以上的假定给出下面的模型: 0 1 12(

6、1 ) , 1 , ,( 2 ) , 1 , , , , ( 0 , )i i p ip iiy x x e i ne i n i i d N ( ) 图 1所示为内圆磨床的床头箱与桥板的 装配示意图 .根据设计需求,其中一项性能指标要求该磨床能磨削 30 锥孔 .为此,在设计过程中要求床头箱能围绕回转中心旋转的最大角度为 30 ,而不能与桥板发生干涉 .设影响床头箱与桥板发生干涉的设计参数为1 2 3 4 1 2 3, , , , , , ,X X X X R R R其中 12,XX表示桥板回转中心的位置; 34,XX表示床头箱回转中心的位置; 1R 表示床头箱罩壳半径; 23,RR表示桥板

7、和罩壳的倒角半径 . 在建立的回归模型中,因变量取床头箱旋转 30 时与桥板的干涉体积 V,通过计算机模拟得到实验数据如表 1所示 . 图 1 床头箱旋转实验 2 表 1 各变量实验数据 三、 模型的有效性检验 建立模型后,要对该模型进行 回归方程的显著性检验 . 要检验因变量 y与全体自变量 12,px x x 之间是否存在线性相关关系,可提出原假设 3 01: 0 .pH ( 1) 如果假设 ( 1) 成立,则表示所有自变量都与 因变量无关,所得到的回归方程完全无用;反之,则说明至少有若干个因素与因变量有关,所得到的回归方程是有用的 . 记修正的总平方和为 221niiSS T y ny(

8、 2) 回归平方和为 T xxSSR S ( 3) 则我们可以得到平方和分解公式 SST SSR SSE ( 4) 其中, SST 刻画因变量观测数据围绕其样本均值的变化总量, SSR 刻画由于自变量的变化所 引起的因变量变化的总量, SSE 刻画由随机误差所引起的因变量变化的总量 .由此,我们定义两个相互等价的统计量,来度量模型的拟合优度 . 首先,定义 2 SSRR SST ( 5) 2R 称为决定系数, R 称为复相关系数 . 定义统计量 / ( 1)SSR pF SSE n p ( 6) F 与 2R 的关系为 2 22*( 1 ) / ( 1 ) ,( 1 ) 1 / ( 1 ) n

9、 p R p n p FFRp R p n p F ( 7) 因此, F 与 2R 相互唯一确定,且互为单调增函数 .所以 F 的值越大说明模型越有效;反之,F 的值越小说明模型越无效 . 对于上述原假设 ( 1) ,若成立,则 F 服从 F(p, n-p-1)分布,对指定的水平 和给定的 F 值,当 F F(p, n-p-1)或 p=P( F(p, n-p-1)F) 时就拒绝原假设,否则就接受 . 4 四、 LS估计与假设检验 1. 最小二乘估计 ( LS) 利用最小二乘法以及 n组观测数据,可以求出经验回归方程 0 1 1 ,ppY X X ( 8) 其中, 为 的最小二乘估计 . 记 2

10、0 1 11( ) ( )ni i p ipiQ y x x ( 9)对 ()Q ,我们求它的最小点 ,就是 的 LS 估计 . 这样可得方程组: 0 1 1100 1 11() 2 ( ) 0() 2 ( ) 0 , 1 , ,ni i p i pini i p i p i jijQ y x xQ y x x x j p ( 10) 方程( 2)是关于参数 的线性方程组,称为正规方程组 . 记 * * * *111, , 1 , , ., 1 , , ,( ) , ( ) .( , , ) .i j ijiiiiij ij jij iTpy y x x j pnny y y i nx x x

11、X x y y 则可解得 0 * * 1 * * 1,( ) ( ) .jjiTTx x x yyxX X X y S S ( 11) 我们在讨论误差方差 2 的估计 .定义 5 0 1 1 , 1 , ,i i i p ipe y x x i n ( 12) 可以看成 ie 的估计,称为残差 .定义残差平方和 21niiSSE e( 13) 则 2 的无偏估计为 21SSEs np ( 14) 且有 212 .npSSE ( 15) 对模型( ),我们有如下定理: ( 1) 线性系数 的 LS 估计 与方差 2 的估计 21SSEs np 相互独立; ( 2) 21 ( , )p xxNS

12、; ( 3) 212 .npSSE 2.对参数的区间估计 当回归方程的显著性检验是拒绝原假设时,说明回归系数 1 p不都为 0,但这并不排除某些系数可能为 0.对回归系数的显著性检验就是要检验回归系数 j 是否为 0,即检验假设 : 0.jjH 若被接受,说明自变量 jx 对因变量 y的影响相对于整个模型来说是比较小的,则可以将自变量 jx 从模型中剔除;否则,表明 jx 对 y确实有一定的影响 . 首先讨论检验一个系数的线性函数 6 1 1 2 2 Tppc c c c 考虑下面假设 0: TH c b ( 16) 构造检验统计量 01 1/2()TT xxcbT s c S c ( 17)

13、 当假设 H 成立时, T 服从 t(n-p-1)分布,因此可以用 t 检验方法来检验假设 H. 在来讨论同时检验多个线性函数的问题,假设 0: , 1, ,TllH c b l r ( 18) 在该假设下 ( ) / ( , 1 )./ ( 1 )HS S R S S R rF F r n pS S E n p ( 19) 可以用 F 检验方法来对假设 H 作检验 . 五、结果分析 用 SPSS软件(社会统计软件包)计算的输出结果如表 2所示 . 表 2 回归模型统计量表 7 回归结果分 析如下: ( 1)从表 2可以看出,随着自变量个数的增加,复相关系数及其平方增加,表明回归效果越来越好;

14、同时其估计的标准误差越来越小,表明回归方程越来越符合观测情况 . ( 2)从表 3的最后一列可以看出,当 12,XX, 4,X 23,RR都进入方程后,自变量与因变量之间完全无线性关系的概率为 0.00,表明拒绝原假设,即所有回归因子的系数不全为 0,以上设计变量对发生干涉均有影响 . ( 3)从表 4可以看出,回归模型 5中的回归方程为 4 2 1323 3 1 3 9 .6 2 2 4 0 8 .3 7 2 2 7 6 .8 5 6 1 0 9 1 .7 6 1 6 6 7 .0 0 3 2 8 6 .2 6 9 ,V X X XRR ( 20)表示发生干涉时,干涉体积与 4 3 2,X

15、R R 是负相关性的,而与 12,XX是正相关性的,各自变量对因变量的影响程度如各变量的回归系数 . ( 4)根据得到的回归方程,设计人员可以定量、直观地了解各设计变量对干涉的影响程度 . 如本例中,根据各变量对干涉体积 V的贡献、是正相关还是负相关,分别取表 1中的边界值,即将 4 2 1 3 21 9 5 , 1 4 0 , 1 8 0 , 2 0 , 3 0X X X R R 代入回归方程中,可以得到 V=-9423.0820.说明各变量取上述值时,不会发生干涉;同时,将上述值代入 CAD模型中进行验证,验证结果与回归结果相同,即床头箱与桥板没有发生干涉,说明回归方程对设计的指导作用真实

16、、可靠 . ( 5) 31,XR是被剔除的自变量,说明它们对因变量贡献较小,即当 31,XR变化时,对床头箱与桥板发生干涉的影响较小,故可以将这两个变量视为平台参数,以保相对稳定 .如用户需要提 供的是磨削不同锥孔的产品时,设计人员可通过调整其它个性参数完成变型设计 . 8 表 3 方差分析表 9 表 4 回归系数分析表 实例证明,回归分析是一种进行产品变型设计的有效工具,它为设计人员更好地理解产品的内在联系提供了理论依据 . 参考文献 1 周润兰,喻胜华 .应用概率统计 M .北京:科学出版社 ,1999 2何晓群,刘文卿 .应用回归分析 F.北京:中国人民大学出版社, 2001 3赵继云,高剑峰,钟廷修 .支持变型设计的 CAD理论和方 法的分析与研究 J .机械设计,1999,16(2):2831 4 江力,孙守迁,何志均 .智能化产品变型设计支持系统模型及其应用 J . 工程设计 ,1997,(3):1419 5余建英,何旭宏 .数据统计分析与 spss应用 M.北京:人民邮电出版社, 2003

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