1、分式方程教案 教学目标 (一 )教学知识点 1.解分式方程的一般步骤 . 2.了解解分式方程验根的必要性 . (二 )能力训练要求 1.通过具体例子 ,让学生独立探索方程的解法 ,经历和体会解分式方程的必要步骤 . 2.使学生进一步了解数学思想中的 “转化 “思想 ,认识到能将分式方程转化为整式方程 ,从而找到解分式方程的途径 . (三 )情感与价值观要求 1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯 ,培养严谨的治学态度 . 2.运用 “转化 “的思想 ,将 分式方程转化为整式方程 ,从而获得一种成就感和学习数学的自信 . 教学重点 1.解分式方程的一般步骤 ,熟练掌握分式方程的解决 .
2、 2.明确解分式方程验根的必要性 . 教学难点 明确分式方程验根的必要性 . 教学方法 探索发现法 学生在教师的引导下 ,探索分式方程是如何转化为整式方程 ,并发现解分式方程验根的必要性 . 教学过程 .提出问题 ,引入新课 师 在上节课的几个问题 ,我们根据题意将具体实际的情境 ,转化成了数学模型 -分式方程 .但要使问题得到真正的解决 ,则必须设法解出所列的分式方程 . 这节课 ,我们就来学习分式方程的解法 .我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法 ,也许你会从中得到启示 ,寻找到解分式方程的方法 . 解方程 + =2- 师生共解 (1)去分母 ,方程两边同乘以分母的最小公倍数
3、 6,得 3(3x-1)+2(5x+2)=62-(4x-2). (2)去括号 ,得 9x-3+10x+4=12-4x+2, (3)移项 ,得 9x+10x+4x=12+2+3-4, (4)合 并同类项 ,得 23x=13, 本文来自教育资源库 http:/，转载请保留此标记。 (5)使 x 的系数化为 1,两边同除以 23,x= . .讲解新课 ,探索分式方程的解法 师 刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤 .下面我们来看一个分式方程 .(出示投影片 3.4.2 A) 例 1解方程 : = . (1) 生 解这个方程 ,能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢 ? 师 同学们说他的想
4、法可取吗 ? 生 可取 . 师 同学们可以接着讨论 ,方程两边同乘以什么样的整式 (或数 ),可以去掉分母呢 ? 生 乘以分式方程中所有分母的公分母 . 生 解一元一次方程 ,去分母时 ,方程两边同乘以分母的最小公倍数 ,比较简单 .解分式方程时 ,我认为方程两边同乘以分母的最简公分母 ,去分母也比较简单 . 师 我觉得这两位同学的想法都非常好 .那么这个分式方程的最简公分母是什么呢 ? 生 x(x-2). 师生共析 方程两边同乘以 x(x-2),得 x(x-2) =x(x-2) , 化简 ,得 x=3(x-2). (2) 我们可以发现 ,采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程 ,而且是我们
5、曾学过的一元一次方程 . 生 再往下解 ,我们就可以像解一元一次方程一样 ,解出 x.即 x=3x-6(去括号 ) 2x=6(移项 ,合并同类项 ). x=3(x的系数化为 1). 师 x=3是方程 (2)的解吗 ?是方程 (1)的解吗 ?为什么 ?同学们可以在小组内讨论 . (教师可参与到学生的讨论中 ,倾听学生的说法 ) 生 x=3 是由一元一次方程 x=3(x-2) (2)解出来的 ,x=3 一定是方程 (2)的解 .但是不是原分式方程 (1)的解 ,需要检验 .把 x=3代入方程 (1)的左边 = =1,右边 = =1,左边 =右边 ,所以 x=3是方程(1)的解 . 师 同学们表现得
6、都很棒 !相信同学们也能用同样的方法解出例 2. 例 2解方程 : - =4 (由学生在练习本上试着完成 ,然后再共同解答 ) 解 :方程两边同乘以 2x,得 600-480=8x 解这个方程 ,得 x=15 检验 :将 x=15代入原方程 ,得 左边 =4,右边 =4,左边 =右边 ,所以 x=15是原方程的根 . 师 很好 !同学们现在不仅解出了分式方程的解 ,还有了检验结果的好习惯 . 我这里还有一个题 ,我们再来一起解决一下 (出示投影片 3.4.2 B)(先隐藏小亮的解法 ) 议一议 解方程 = -2. (可让学生在练习本上完成 ,发现有和小亮同样解法的同学 ,可用实物投影仪显示他的
7、解法 ,并一块分析 ) 师 我们来看小亮同学的解法 : = -2 解 :方程两边同乘以 x-3,得 2-x=-1-2(x-3) 解这个方程 ,得 x=3. 生 小亮解完没检验 x=3是不是原方程的解 . 师 检验的结果如何呢 ? 生 把 x=3 代入原方程中 ,使方程的分母 x-3 和 3-x 都为零 ,即 x=3 时 ,方程中的分式无意义 ,因此 x=3不是原方程的根 . 师 它是去分母后得到的整式方程的根吗 ? 生 x=3是去分母后的整式方程的根 . 师 为什么 x=3是整式方程的根 ,它使得最简公分母为零 ,而不是原分式方程的根呢 ?同学们可在小组内讨论 . (教师可参与到学生的讨论中
8、,倾听同学们的想法 ) 生 在解分式方程时 ,我 们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程 .如果整式方程的根使得最简公分母的值为零 ,那么它就相当于分式方程两边都乘以零 ,不符合等式变形时的两个基本性质 ,得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零 ,也就不适合原方程了 . 师 很好 !分析得很透彻 ,我们把这样的不适合原方程的整式方程的根 ,叫原方程的增根 . 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根 .那么 ,是不是就不要这样解 ?或采用什么方法补救 ? 生 还是要把分式方程转化成整式方程来解 .解出整式方程的解后可用检验的方法看是不 是原方程的解 . 师 怎样检验较简
9、单呢 ?还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗 ? 生 不用 ,产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的 .因此最简单的检验方法是 :把整式方程的根代入最简公分母 .若使最简公分母为零 ,则是原方程的增根 ;若使最简公分母不为零 ,则是原方程的根 .是增根 ,必舍去 . 师 在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质 ,解出的根都应是原方程的根 .但在解分式方程时 ,解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验 .小亮就犯了没有检验的错误 . .应用 ,升华 1.解方程 : (1) = ;(2) + =2. 分析 先总结解分式方程的几个步骤 ,然后解题 . 解 :(1
10、) = 去分母 ,方程两边同乘以 x(x-1),得 3x=4(x-1) 解这个方程 ,得 x=4 检验 :把 x=4代入 x(x-1)=4 3=12 0, 所以原方程的根为 x=4. (2) + =2 去分母 ,方程两边同乘以 (2x-1),得 10-5=2(2x-1) 解这个方程 ,得 x= 检验 :把 x= 代入原方程分母 2x-1=2 -1= 0. 所以原方程的根为 x= . 2.回顾 ,总结 想一想： 解分式方程一般需要经过哪几个步骤 ? 师 同学们可根据例题和练习题的步骤 ,讨论总结 . 生 解分式方程分三大步骤 :(1)方程两边都乘以最简公分母 ,约去分母 ,化分式方程为整式方程
11、; (2)解这个整式方程 ; (3)把整式方程的根代入最简公分母 ,看结果是否为零 ,使最简公分母为零的根是原方程的增根 ,应舍去 .使最简公分母不为零的根才是原方程的根 . 解整式方程 ,得 x= (2a+h 0) 检验 :把 x= 代入原方程中 ,最简公分母 2x(a-x) 0,所以原方程的根为 x= . .课时小结 师 同学们这节课的表现很活跃 ,一定收获不小 . 生 我们学会了解分式方程 ,明白了解分式方程的三个步骤缺一不可 . 生 我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根 . 生 我又一次体验到了 “转化 “在学习数学中的重要作用 ,但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么 “完美 “,必须经过检验 ,反思 “转化 “过程
