1、毕业设计文献综述 信息与计算科学 浅析调和方程的数值解法 摘要 : 调和方程 , 又称 Laplace 方程 , 是一类典型的椭圆型方程 , 也是最简单的椭圆型方程 .需要掌握 : 调和函数的基本性质 , 包括各类极值原理 , 以及这些性质是如何与定解问题解的适定性相联系的 . 在一些特殊区域中对某些定解问题的求解 , 包括解的显示表达式的导出 . 而且其相应定理的证明思路也与调和方程的情形相仿 . 在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观 , 更有价值 . 关键词 : 调和方程 ; 椭圆 ; 数值解 . 在一个物理问题中一个数值解往往比一 个式子更直观 , 更有价值 . 在实际求解方程
2、时 ,除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外 , 在一般情况下 , 当方程或定解条件具有比较复杂的形式 ,或求解区域具有比较复杂的形状时 , 往往求不到 , 或不易求到其精确解 . 这就需要我们去寻找方程的近似解 ,特别是数值近似解 , 简称数值解 .这里主要研究的是调和方程 . 调和方程 , 又称 Laplace 方程 , 是一类典型的椭圆型方程 , 也是最简单的椭圆型方程 . 在学习这一部分内容时 , 除了弄清楚该方程及相应定解问题的提法与其物理背景以外 , 还需要掌握的内容有 : (1) 调 和函数的基本性质 , 包括各类极值原理 , 以及这些性质是如何与定解问题解的适定性相联系的
3、 . (2) 在一些特殊区域中对某些定解问题的求解 , 包括解的显示表达式的导出 . 这里需要强调的是 ,调和方程的许多性质都能推广到一般的情形 . 也就是说 ,一般二阶线性椭圆型方程的解也常有类似的性质与极值原理 , 而且其相应定理的证明思路也与调和方程的情形相仿 . 从这个角度来说 ,我们对调和方程的研究蕴含着更丰富的内容 . 求偏微分方程数值解的方法是多种多样的 ,它本身已形成了一个独立的研究方向 , 其要点是对偏微分方程定解问题进行离散 化 . 这里将以二维调和方程的狄利克雷问题和一维热传导方程与一维波动方程的初边值问题为例 , 说明将这些连续型的问题转化为相应的离散型问题的主要处理方
4、法 . 下面我们讨论二维调和狄利克雷问题的数值解 : 1 22220uuxyuf (1.1) 其中方程 (1.1) 在 (, )xy 平面的一个有界区域 中满足 , 为 的边界 , 设其为分段光滑 , 而 f 为在 上给定的连续函数 . 有限差分法 要求得 狄利克雷问题 (1.1) 的数值近似解 , 首先要将相应的微分方程离散化 , 这就导致有限差分法 . 元体平衡法 由格林公式 , 若 2( , ) ( )u x y C, 对 内任一分段光滑的闭环路 L 成立L u ds udx dyn l(1.2) 其中 l 是 L所包围的区域 , n 是 L上的单位外法向量 . 于是 , 若0L uds
5、n (1.3) 而在 的边界 上 uf (1.4)以稳定温度场为例 , (1.3) 式表示在 L上总热流量为零的平衡条件 . 现在从 (1.3) (1.4) 出发求其相应的数值解 , 称为元体平衡法 . 有 限 元 素 法 ( 里 茨 法 ) 令 221( ) ( ) ( )2 vvJ v dx dyxy (1.5), 及 20 ( ) ( ) , , ( ) V v v C C v f J v I, 若 ( , )uxy 为调和方程 狄利克雷问题 (1.1) 的经典解 , 且使( ) min ( )vVJ u J v(1.6), 在 上述变分问题中 , 将求泛函数极值的函数集合 V适当扩大为
6、 : 01 ( ) , , ( ) V v v C v f J v 在 中 分 块 C ，. (1.7) 若函数 ( , )u u x y V, 且满足 ( ) min ( )vVJ u J v(1.8), 则称 ( , )u u x y 为 狄利克雷问题 (1.1) 的广义解 . 对变分问题 (1.8) 进行离散化 , 就导致另一种数值求解方法 , 称 为有限元素法 . 有限元素法 (伽辽金法 ) 与调和方程 狄利克雷问题 (1.1) 等介的变分问题还有另一种形式 . 先在 20( ) ( )u C C I 且 ()Ju 为有限的假设下考察解 . 由于 uf , 由 u 使()Ju 取 到
7、极 小 的 性 质 , 对 任 一 给 定 的 实 数 , 任一给定的 0wV , 成了( ) ( )J u J u w. 2 其中 20 ( ) ( ) , , ( ) V w w C C w f J w I. 注意到 : 221 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 u w u wJ u w d x d yxy 2( ) ( ) ( )u w u uJ u d x d y J wx x y y . (1.9) 且当 0 时它达到极小值 , 因此有0() 0dJ U Wd . 从而对任何给定的 0wV , 成立 ( ) 0u w u u dx dyx x y y (2.0). 反之 ,
8、若 0uV , 且对任何给定的 0wV 成立 (1.9), 则必有 (1.6) 式成立 . 事实上 , 对任何 0vV , 令 0w v u V , 由 (1.9), (2.0)式就有 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )J v J u w J u J w J u . 这就得到了 (1.6) 式 . 据此 , 我们可以定义广义解如下 : 若函数 ( , )u u x y V (由 (1.7)定义 ), 且对任何给定的 0wV 满足 : ( ) 0u w u u dx dyx x y y 其中 010 ( ) , 0 , ( ) V w w C w J w 在 中 分 块 C ，, 则称
9、( , )u u x y 狄利克雷问题 (1.1) 的广义解 . 考察将上述变分问题进行离散化的方法 . 这种数值求解方法乃称为有限元素法 . 为与上一段 所叙述的里茨有限元素法相区别 , 本段的方法称为伽辽金法 . 参考文献 1 谷超豪 , 李大潜 , 陈怒行等 . 数学物理方程 M. 北京 : 高等教育出版社 , 2002. 2 张天德 , 张希华 , 王玮 . 偏微分方程差分格式的构造 J. 山东工业大学学报 , 1997, 26(2): 245246. 3 戴嘉尊 , 邱建贤 . 微分方程数值解法 M. 南京 : 东南大学出版社 , 2002. 4 张锁春 . 抛物型方程定解问题的有限
10、差分数值计算 M. 北京 : 科学出版社 , 2010. 3 5 吴崇试 . 数学物理方法 M. 北京 : 北京大学出 版社 , 1999. 6 陆金甫 , 关治 . 偏微分方程数值解法 M. 北京 : 清华大学出版社 , 2003. 7 陈怒行 , 秦铁虎 . 数学物理方程 M. 上海 : 复旦大学出版社出版 , 1991. 8 徐琛梅 . 一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析 J. 江西科学 , 2008, 27(3): 227230. 9 刘盾 . 实用数学物理方程 M. 重庆 : 重庆大学出版社 , 1996. 10 J. F. B. M. Kraaijevanger, H. W.
11、 J. Lenferink and M. N. Spijker. Step Size restrictions for stability in the numerical solution of ordinary and partial differential equations J. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1987, 20(1): 67-81. 11 K. W. Morton, D. F. Mayers. Numerical Solution Partial Differential Equations M. London: Cambridge University Press, 2005.
