1、毕业设计文献综述 信息与计算科学 Hlder不等式的几种推广及其应用 众所周知 , 不等式理论是数学理论中一个重要的组成部分 , 它蕴涵于数学的各个领域 . 柯西在 1931 年研究 “ 留数 ” 问题时得到了以其名字命名的不等式 ni iini ini i baba 121212 )(. 即我们平常所说的柯西不等式 . 这是一个完美的不等式 , 它结构对称 , 能简单快速 地解题 , 自被提出以来便 深受人们的喜爱 . 它还与矢量、内积空间、赋范空间等密切联系 . 它的几何意义为两线段夹角的余弦的平方取值范围 : 20 cos 1. Cauchy 不等式的变形从直观上来说就是向量和的三角不等
2、式 . Cauchy 不等式保证在 n 中可以定义角的概念 , 并且保证在n 中 , 关于距离的 “ 三角不等式 ” 是正确的 . 那么我们就具备了在 n 中建立 n维解析几何的基础 . 柯西不等式着有深刻的背景和广泛的应用 , 其一般形式 ni iini ini i baba 121212 )(的一个推广形式为 : 111 2 1 2 1 1 2 2 11( ) ( ) ( 1 ) .p p p q q qpqn n n na a a b b b a b a b a b pq 该不等式即为本文所要研究的 Hlder 不等式 . Hlder 不等式最初是以数列形式给出的 , 后来由 F. Ri
3、esz 将其推广到积分形式 , 成为建立 pL 空间 1,2 理论的基本工具 . 它在许多领域都是应用广泛的基本不等式 . 1888 年 Roger 给出了不等式 111 1 1,n n npqpqk k k kk k ka b a b 上式中 , 0 , 1, 2 , ,kka b k n , 111pq且 1p . 1889年 德国数学家 Hlder 3 给出了其证明 . 若 01p则不等号反向 , 当且仅当 ka 或 kb 为零数列 , 或存在两个不不同时为零的非负常数 12,cc使得 12 , 1, 2 , ,pqkkc a c a k n时等号成立 . Hlder 不等式是基础数学理
4、论中的重要不等式 , 即使在数学分析、实变函数论、泛函分析 , 乃至中学数学中都有它的证明和应用 . Hlder 不等式通常以两种形式出现 . 一种是上述的离散形式 , 而另一种是连续形式 . 其连续形式 4,5 为 : ( ) ( ) ( ) pqf x g x d x f g , 其中 1()np ppf f x dx , 1()nq qqg g x dx , 1 p , 111pq. Hlder 不等式是数学分析中最有用的不等式之一 , 是数学理论中的一根重要支柱和实际应用的重要工具 . 自 Hlder 不等式被提出以来 , 众多学者对它进行了证明 , 并 不断地对它进行推广和改进 ,
5、同时也有的学者考虑从其它不同的角度来研究 Hlder不等式 : 寻找 Hlder不等式的构成函数 , 使得此构成函数具有单调性 . Hardy 等在名著不等式 6 中再三强调 Hlder 不等式和 Minkowski不等式 “ 极为重要 ”和 “ 到处都要用到 ” , 这两个不等式和 AG 不等式就构成了 6中前面 6 章的主题 , 占了全书一半以上的篇幅 . 一个世纪以来 , 这两个不等式的改进和推广工作从未没有中断 . 1981 年胡克教授发表在中国科学上的论文“论一个不等式及其若干应用” 6 针对 Hlder不等式的缺陷提出了一个全新的不等式 , 被美国数学评论称之为“一个杰出的非凡的新
6、的不等式” , 现称为胡克 (HK)不等式 . 胡克教 授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究 . 胡克不等式 : 设 0pq , 111pq, 10nmee , ,0nnab , 则 1( 1 / 1 / ) 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .q q p q p q p q p pn n n n n n n n n n nn n n n n n n na b b b a b e a b a e 1986年邱福成将 Hlder不等式推广到正线性算子上去 , 称为线性算子的广义 Hlder不等式 : 设 : , , T a b L a b 为正线性算子 , ab
7、 , , pf L a b , , qg L a b , 1 p , 111pq, 则对 , ab 中几乎所有的 x , 有下面的不等式成立 : 1 / 1 /( | |, ) ( | | , ) ( | | , ) , 1 ;p p q qT f g x T f x T g x p ( | | , ) ( | | , ) s u p | ( ) | , 1 .T fg x T f x e s s g x p 1993 年 J. E. Pecaric 证明了 Hlder 不等式的单调性质 . 近些年来 , 我国的许多学者也在 Hlder 不等式这个领域有诸多建树 , 如刘证、高明哲等人提出了
8、Hlder 不等式各种新的推广形式 , 并给出了详尽的证明 . 他们的这些研究对于Hlder 不等式的发展 , 对于数学的发展都有重要意义 . Hlder 不等式存在各种各样的推广形式 8 . 在弱 pL 空间 9,10 上 Hlder 不等式的推广形式 9 如下 : 设 jf 是 测度空间 X 上的弱 pL 空间上的可测函数 , 这里 0 jp 且 1 jk .令11 1 1kp p p . 则 , ,111 11jp p jkkppk j jL Ljjf f p p f . 在一般度量空间 X 上 Hlder 不等式的推广形式 11 如下 : 设 ()ifx是任意测度空间 1 ( , ,
9、)X 上的非负可测函数 , ipR , 1, 2, ,in , nN 且满足 11 1nj jp , 则 111( ) ( )i jnn p piiXXiif x d f x d . Hlder 不等式的其它推广形式 , 如 : 设 010 p p p , 0111p p p, 其中 0,1 . 则有以下 Hlder不等式 的推广形式 : 0 11 p ppL L Lf f f, , 0, 11 p ppL L Lf f f . Hlder 不等式在数学应用上有着重要的意义 , 可以做各种各样的估计 , 例如偏微分方程中的先验估计等 . 参考文献 1 程其襄 , 张奠宙 , 魏国强 等 . 实
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