1、毕业设计文献综述 信息与计算科学 插值法及其应用 插值问题是数值计算中基础而又核心的问题 . 在许多实际问题及科学研究中 , 因素之间往往存在着函数关系 , 然而 , 这种关系经常很难有明显的解析表达 , 通常只是有观察与测试得到一些离散数值 .有时即使给出了解析表达式 , 却由于表达过于复杂 , 不仅使用不便 , 而且不易与进行计算与理论分析 . 例如在工程实际问题中 , 我们也经常会碰到诸如此类的函数计算问题 , 被计算的函数有时不容易直接计算 , 如表达式过于复杂或者只希望能用一个 “ 简单函数 ” 逼近被计算函数 , 然后用该简单函数 的函数值近似代替被计算函数的函数值 . 这种方法就
2、叫插值逼近或者插值法 . 插值法要求给出函数 )(xf 的一个函数表 , 然后选定一种简单的函数形式 , 比如多项式、分段线性函数及三角多项式等 , 通过已知的函数表来确定一个简单的函数 )(x 作为 )(xf 的近似 , 概括地说 , 就是用简单函数为离散数组建立连续模型 . 插值方法是一类古老的数学方法 , 它来自生产实践 . 早在数千多年前 , 由于经典的牛顿力学尚未诞生 , 因而人们无法用解析式描述日月五星的运行规律 . 我们的祖先凭借插值方法 , 利用对日月五星运行规律的有限个观测值获得了比较完整的日月五星的运行规律 . 在一千多年前的隋唐时期 , 中华先贤在制定历法的过程中就已经广
3、泛地运用了插值技术 . 公元 6 世纪 , 隋朝刘焊已将等距结点的二次插值应用于天文计算 . 但插值的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的 , 随后其应用也日益增多 , 特别是在电子计算机广泛使用以后 , 由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要 , 使插值法在实践上或理论上显得更为重要 , 并得到进一步发展 . 经典的插值方法以 Taylor插值和 Lagrange插值为代表 . Taylor插值利用函数在定义域内某点处的 0 阶至 n 阶导数信息给出复杂函数或未知函数的近似多项式表达式 , Lagrange 插值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式 , 进一步根
4、据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论 .因此 Taylor插值和 Lagrange插值有着紧密的联系 , Taylor 插值可以看作 Lagrange 插值的极限形式； Lagrange 插值则是 Taylor 插值的离散化形式 .Lagrange 插值的优点是插值多项式特别容易建立 , 缺点是增加节点时原有多项式1 2 不能利用 , 必须重新建立 , 即所有基函数都要重新计算 , 这就造成计算量的浪费； Newton 插值多项式是代数插值的另一种表现形式 , 当增加节点时它具有所谓的 “ 承袭性 ” . . 在很多实际应用问题中 , 为了保证插值函数能更好的密合原来的函
5、数 , 不但要求插值函数 “ 过点 ” , 即插值函数和被插值函数在节点上具有相同的函数值 , 而且要求 “ 相切 ” , 即两者在节点处还具有相同的导数值 , 这类插值称作切触插值 , 即 Hermite插 值 .由于 Taylor插值利用的是 “ 一点 ” 的各阶导数信息 , Lagrange 插值利用的 “ 多点 ” 函数信息 , 而 Hermite插值即利用函数值信息又利用导数信息 , 所以 Hermite插值是 Taylor插值和 Lagrange插值的综合和推广 . 现在 , 插值技术应用越来越广泛了 . 当我们尚未认识到某一事物的本质时 , 常从其观测点出发 , 利用插值技术以加
6、深或拓展对该事物的认识或解决某些特定的问题 . 密钥共享即是插值法的应用之一 . 在现代密码体制中 , 数据的加密算法是公开的 , 数据的安全性主要取决于对密钥的保护 . 现在 基于 Lagrange插值多项式也研究出了一种密钥共享方法 , 解决了密钥保护问题 . 目前实际中使用的也不仅仅局限与上述的插值方法 , 很多都是对经典方法的改进 , 例如空间插值法在地阶梯度场中的分析一文中介绍了 4 种空间插值法在房产估值中的应用 , 4种空间插值方法都各有优缺点 , 作者通过对各种方法研究比较 , 最后选择克里金插值法作为住宅用地地价梯度场研究的主要方法 .根据其研究成果房地产决策者和规划者可以对
7、城市居住用地的土地利用向最有效使用方向调整 , 最大限度的实现土地的最高使用价值 . 随着计算机的发展以及图像 处理的重要性 , 插值法在计算机图像处理中也有着重要的作用 .图像放大是一种常用的数字图像处理技术 , 在航天航天、医学、通讯、多媒体等领域有着广泛的应用 , 常用的图像插值算法中 , 最临近插值算法的实现最为简单、方便 , 但它只是原始像素简单复制到其邻域内 , 放大图像会出现明显的方块或锯齿 , 即我们平时所说的失真 .目前较为好的方法之一即双线性插值算法 , 双线性插值算法利用映射点在输入图形的 4个邻点的灰度值对映射点进行插值 , 即插值点处的数值用待插点最近的 4 个点的值
8、加权求得 . 双线性插值能够较好的消除锯齿 , 放大后图 像平滑性好 .但是其缺点是图像高频信息丢失严重 , 即图像细节与轮廓的模糊 , 影响了放大图像的清晰度 .因此在双线性插值放大技术的基础之上 , 加入边缘锐化处理 , 增强平滑图像的轮廓 , 使放大后的图像有较好的清晰度 . 插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的 , 其应用也日益增多 , 特别是在电子计算机广泛使用以后 , 由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要 , 使插值法在实践上或理论上显得更为重要 , 并得到进一步发展 . 2 2 3 2 参考文献 1李庆扬 , 王能超 , 易大义 .数值分析 .第 4 版
9、M.北京 :清华大学 出版社 , 2001. 2黄铎 , 陈兰平 , 王凤 .数值分析 M.北京 :科学出版社 , 2000. 3沈燮昌 .多项式最佳逼近实现 M.上海 :上海科学技术出版社 , 1984. 4Stoer J, Bulirsh R. Introduction to Numerical AnalysisM.New York:Springer-Verlag, 1980 . 5吴才斌插值法及其应用 J.湖北大学成人教育学院学报 , 1999, 17(5):77-80. 6杨士俊 , 王兴华 .Hermite 插 值多项式的差商表示及其应用 J.高校应用数学学报 , 2006, 21(
10、1):70-78. 7姜琴 , 周天宏 .常见的插值法及其应用 J.郧阳师范高等专科学校学报 , 2006, 26(3):6-8. 8陈文略 , 王子羊 .三次样条插值在工程拟合中的应用 J.华中师范大学学报 , 2004, 38(4):418-422. 9朱春钢 .二元线性样条插值 J.应用数学 , 2006, 19(3):575-579. 10李洪杰 .关于三次样条插值方法在应用中的一点改进 J.计算机与应用化学 , 1991, 8(3):187-190. 11王芳 .牛顿插值法在数学中的应用 J.浙江师范大学学报 , 1994, 17(4):67-73. 12张元巨 .Hermite 插值的一种新形式 J.苏州科技学院学报 , 2004, 24(3):27-29. 13文畅平 .埃米尔特插值函数的工程应用 J.人民黄河 , 2006, 28(4):69-70. 14C.R.Selvaraj. Lacunary interpolation by consine polynomials J.Hungar, 1994, 64(4):361-372. 15R.D.Riess. Error estimates of hermite interpolation J.BIT, 1973, 13:338-343.
