1、陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋,李万军 1第四讲 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性（3 学时）教学目的：讨论解对初值的连续依赖性与可微性定理，了解对参数的连续性定理教学要求：理解解对初值的连续依赖性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条件。教学重点：解对初值的连续依赖性与可微性定理.教学难点：解对参数的连续依赖性定理的证明思想教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。教学过程：直到现在,我们都是把初值 看成固定的值,然后再研究初值问题 )(0yx(4.1)20()dyx的解.当 满足解的存在唯一定理
2、和延拓定理时, (4.1)存在唯一解 ,这个解()fxy )(xy是自变量 x 的函数，从几何上说，通过点( )的微分曲线有且一条，当初值 和 变0,yx 0y更时，对应解一般来说也要跟着变,所以(4.1)的解也应是 , 的函数，方程0xy0()dyx的解为 ，它虽然是所有变量 的函数，也即(4.1)的解不仅依赖于自变0xey0,yx量 ，而且也依赖于初值( )，因此，考虑初值变化，解可以看作三个变量x0,y的函数.记为0,y ),(0yxy它满足 . ),(00yxy现在提出一个应用上很重要问题。当初值发生变化时，对应解是怎样变化的？应用上陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相
3、锋,李万军 2需要，当初值 变化不大时，相应解也变化不大，这就是解对初值的连续性，其确定0,yx义为定义 2.5 设初值问题 0(,)dyfx的解 在区间 上存在，如果对 ， ,使得对于0(,)yx,ab0(,)xy满足 的一切 ,初值问题00y0()xy（2.2）0,()dfyx的解 都在 上存在,并且0(,)yxab00|(,)(,)|,xyxyxab则称初值问题（2.2）的解 在点 连续依赖于初值 .00(,)xy定理 2.8 (解对初值的连续依赖定理) 设 于在区域 内连续，且关于变量(,)fxyD满足局部 Lipchitz 条件. 如果 ，初值问题（2.2）有解 ，y0(,)xyD0
4、(,)yx且当 时， ，则对 ，存在 ，使对于满足axb0(,00,xy的任意 ，初值问题（2.2）有解 也在区间 上有定义，且有0(,)xy 0()x,ab0|(,),|.yy证明 （略）对给定 ，选取 ，使得闭区域1U： , axb01(,)yx整个含在区域 D 内，这是能够做到的，因为区域 D 是开的，且当 时，axb，所以，只要 选取足够小，以曲线 为中线，宽为0(,)xy10(,)y的带开域 U 就整个包含在区域 D 内，如图 2-17 所示.12陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋,李万军 3图 2-17选取 满足 ()10NbaeM其中 N 为李普希兹常数， ，
5、另外，还要保证闭正方形(,)max,)yUf00:,Ry含于带形区域 U 的内部。由存在唯一性定理可知，对于任一 ，在 的某领域上存在唯一解0(,)xR0x，且在 尚有定义的区间上，有0(,)yx0(,)xy(2.20）00 0,(,)xfyd另外，还有 00 0(,)(,)xxyf 对上述两式作差并估值： 00(,)(,)xy0 00 0(,)x xyfdfyd000 0(,)(,)(,)x xfyfyf 0001,(,)xMNd 由贝尔曼不等式，则有 000(,)(,)(1)NxxyxyMe()1ba陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋,李万军 4(2.21)因此，只要在
6、 尚有定义的区间上，就有(2.21)式成立.下面我们要证明：0(,)xy在区间 上有定义，只证 在区间 上有定义，对区间0(,)xyab0(,)xy0,xb可类似证明.a因为解 不能越过曲线 及 ，但0(,)yx0(,)yx0(,)yx是，由解的延展定理，解 可以延展到无限接近区域 D 的边界，于是，0(,)yx它在向右延展时必须由 穿出区域 U，从而 必须在 上有定义，b0(,)yx0,xb定理证毕.例 1 考虑与 2.2 节例 1 类似的方程易知 为解， 为解，上半平面通解为 ,下半平面通解为 . 0yyxceyxcey积分曲线大致如图 2-18。图 2-18可以看到，对于 轴上的初值，在
7、任意有限的闭区间上解对初值连续依赖，但是，Ox在 上，无论 ，如何接近 ，当 充分大时，过 的积0,)0(,)y0,x0(,)xy分曲线就不能与过 的积分曲线任意接近了。这个例子说明，解在有限闭区间上对初值的连续依赖性不能推出解在无限区间上对初值的连续依赖性，讨论后一问题属于稳定性理论，我们将在第五章作简略的介绍.定理 2.9 (解对初值的可微性定理) 若函数 以及 在区域 内连续,(,)fxy(,)fxyD则初值问题（2.2）的解 作为 ,在它有定义的范围内有连0(,)yx0,的 函 数陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋,李万军 5续偏导数 .并且有0,xy 00(,)0(,)xyfsxydsxe及 00(,)0(,)(,)xyfsxydsxyfe证明 （略）
