1、- 1 - 二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果 cbacbxaxy ,(2 是常数， )0a ，那么 y 叫做 x 的二次函数 . 2.二次函数 2axy 的性质 （ 1）抛物线 2axy 的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴 . （ 2）函数 2axy 的图像与 a 的符号关系 . 当 0a 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； 当 0a 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 . （ 3）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 2axy ）（ 0a . 3.二次函数 cbxaxy 2 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线 .
2、4.二次函数 cbxaxy 2 用配方法可化成： khxay 2 的形式，其中 a backabh 442 2 ， . 5.二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： 2axy ； kaxy 2 ； 2hxay ； khxay 2 ； cbxaxy 2 . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号决定抛物线的开口方向：当 0a 时，开口向上；当 0a 时， 开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 . 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 hx .特别地， y 轴记作直线 0x . 7.顶点决定抛物线的位置 .几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的
3、开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 . 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （ 1）公式法：a bacabxacbxaxy 442222 ， 顶点是 ），（ a bacab 442 2 ，对称轴是直线 abx 2 . （ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 khxay 2 的形式，得到顶点为 (h ,k )，对称轴是直线hx . （ 3）运用抛物线的 对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对- 2 - 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 . 9.抛物线 cb
4、xaxy 2 中， cba , 的作用 （ 1） a 决定开口方向及开口大小，这与 2axy 中的 a 完全一样 . （ 2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 cbxaxy 2 的对称轴是直线 abx 2 ，故： 0b 时，对称轴为 y 轴； 0ab （即 a 、 b 同号）时 ，对称轴在 y 轴左侧； 0ab （即 a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧 . （ 3） c 的大小决定抛物线 cbxaxy 2 与 y 轴交点的位置 . 当 0x 时， cy ， 抛物线 cbxaxy 2 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）： 0c ，抛物线经过原点 ; 0c ,与
5、 y 轴交于正半轴； 0c ,与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 0ab . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当 0a 时 开口向上 当 0a 时 开口向下 0x （ y 轴） （ 0,0） kaxy 2 0x （ y 轴） (0, k ) 2hxay hx (h ,0) khxay 2 hx (h ,k ) cbxaxy 2 abx 2 (a bacab 442 2 ， ) 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （ 1）一般式： cbxaxy 2 .已知图像上三点或
6、三对 x 、 y 的值，通常选 择一般式 . （ 2）顶点式： khxay 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 . （ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 1x 、 2x ，通常选用交点式： 21 xxxxay . 12.直线与抛物线的交点 （ 1） y 轴与抛物线 cbxaxy 2 得交点为 (0, c ). - 3 - （ 2）与 y 轴平行的直线 hx 与抛物线 cbxaxy 2 有且只有一个交点 (h , cbhah 2 ). （ 3）抛物线与 x 轴的交点 二次函数 cbxaxy 2 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 1x 、 2x ，是对应一元二次方程 02 cb
7、xax 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； 有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切； 没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . （ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 kcbxax 2 的两个实数根 . （ 5）一次函数 0 knkxy 的图像 l 与二次函数 02 acbxaxy 的图像 G 的交点，由方程组 cbxaxy nkxy 2的解的数目来确定
8、： 方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点； 方程组无解 时 l 与 G 没有交点 . （ 6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 cbxaxy 2 与 x 轴两交点为 00 21 ， xBxA ，由于 1x 、 2x 是方程 02 cbxax 的两个根，故 acxxabxx 2121 , aa acba cabxxxxxxxxAB 444 222122122121 第二部分 典型习题 .抛物线 y x2 2x 2 的顶点坐标是 （ D ） A.（ 2， 2） B.（ 1， 2） C.（ 1， 3） D.（ 1， 3） .已知二
9、次函数 cbxaxy 2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ） ab 0， c 0 ab 0， c 0 ab 0， c 0 ab 0， c 0 CAE FB D第 ,题图 第 4 题图 - 4 - .二次函数 cbxaxy 2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A a 0， b 0， c 0 B a 0， b 0， c 0 C a 0， b 0， c 0 D a 0， b 0， c 0 .如图，已知 ABC 中， BC=8， BC 上的高 h4 ， D 为 BC 上一点， EF BC/ / ，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F（ EF 不过 A、B），设 E 到 BC 的距
10、离为 x ，则 DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为（ ） DO42 4 O42 4 O42 4 O42 4AyxB C 24 8 2 , 484E F x E F x y x x .抛物线 322 xxy 与 x 轴分别交于 A、 B 两点，则 AB 的长为 4 6.已知二次函数 11)(2 k2 xkxy 与 x 轴交点的横坐标为 1x 、 2x （ 21 xx ），则对于下列结论：当 x 2 时， y 1；当 2xx 时， y 0；方程 011)(22 xkkx 有两个不相等的实数根 1x 、 2x ； 11 x ， 12x ；221 14kxx k ，其中所有正确的结论是
11、（只需填写序号） 7.已知直线 02 bbxy 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为 cxbxy 102 . （ 1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线 bxy 2 上，试确定这条抛物线的解析式； （ 2）过点 B 作直线 BC AB 交 x 轴交于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 bxy 2 的解析式 . 解：（ 1） 102 xy 或 642 xxy 将 0)b（ ， 代入，得 cb .顶点坐标为 21 0 1 6 1 0 0( , )24b b b ，由题意得 21 0 1 6 1 0 02 24b b bb ，解得 1210, 6bb
12、 . （ 2） 22 xy 8.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其 输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值 为 2 ,0,1时 , 相应的输出值分别为 5, 3 , 4 （ 1）求此二次函数的解析式； - 5 - 第 9 题 （ 2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象 ,并根据图象写出当输出值 y 为正数时输入值 x 的取值范围 . 解：（ 1）设所求二次函数的解析式为 cbxaxy 2 , 则43005)2()2(22cbacbacba,即1423babac ,解得321cba 故所求的解析式为 : 322 xxy . （ 2)函数图象如图所示 . 由图象可得，当输出
13、值 y 为正数时， 输入值 x 的取值范围是 1x 或 3x 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼 夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答： 第一天 中，在什么时间范围内这头骆驼 的体温是上升的 ?它的体温从最低上升到最高需要多少时间 ? 第三天 12 时这头骆驼的体温是多少 ? 兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到 22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式 解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的 体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12 小时 第三天 12 时这头
14、骆驼的体温是 39 2210242161 2 xxxy 10.已知抛物线 4)334(2 xaaxy 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴 交于点 C是否存在实数 a，使得 ABC 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不 存在，请说明理由 解：依题意，得点 C 的坐标为（ 0， 4） 设点 A、 B 的坐标分别为（ 1x ， 0），（ 2 x ， 0）， y O x - 6 - 由 04)334(2 xaax，解得 31 x ，ax 342 点 A、 B 的坐标分别为（ -3， 0），（ a34 ， 0） |334| aAB ， 522 OCAOAC ， 22 OCBOBC 22 4
15、|34| a 9891693432916|334|2222 aaaaaAB， 252 AC ， 1691622 aBC 当 222 BCACAB 时， ACB 90 由 222 BCACAB ， 得 )16916(259891622 aaa 解得 41a 当 41a 时，点 B 的坐标为（ 316 ， 0）， 96252 AB ， 252 AC ， 94002 BC 于是 222 BCACAB 当 41a 时， ABC 为直角三角形 当 222 BCABAC 时， ABC 90 由 222 BCABAC ，得 )16916()98916(2522 aaa 解得 94a 当 94a 时， 394
16、3434 a，点 B（ -3， 0）与点 A 重合，不合题意 当 222 ABACBC 时， BAC 90 由 222 ABACBC ，得 )98916(251691622 aaa 解得 94a 不合题意 综合、，当 41a 时， ABC 为直角三角形 11.已知抛物线 y x2 mx m 2. （ 1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、 B 分别在原点的两侧，并且 AB 5 ，试求 m 的值； - 7 - （ 2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、 N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值 . 解 : (1) （ x1， 0） ,B(x2， 0
17、) . 则 x1 ， x2 是方程 x2 mx m 2 0 的两根 . x1 x2 m , x1x2 =m 2 0 即 m 2 ; 又 AB x1 x2 1 2 1 245x x x x2（ + ） , m2 4m 3=0 . 解得： m=1 或 m=3(舍去 ) , m 的值为 1 . （ 2） M(a， b)，则 N( a， b) . M、 N 是抛物线上的两点 , 222,2.a m a m ba m a m b 得： 2a2 2m 4 0 . a2 m 2 . 当 m 2 时，才存在满足条件中的两点 M、 N. 2am . 这时 M、 N 到 y 轴的距离均为 2 m , 又点 C 坐
18、标为（ 0， 2 m） ,而 S M N C = 27 , 2 12 （ 2 m） 2 m =27 . 解得 m= 7 . 12.已知：抛物线 taxaxy 42 与 x 轴的一个交点为 A（ 1， 0） （ 1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （ 2） D 是抛物线与 y 轴的交点， C 是抛物线上的一点，且以 AB 为 一底的梯形 ABCD的面积为 9，求此抛物线的解析式； （ 3） E 是第二象限内到 x 轴、 y 轴的距离的比为 5 2 的点，如果 点 E 在（ 2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上 是否存在点 P，使 APE 的
19、周长最小 ?若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解法一： （ 1）依题意，抛物线的对称轴为 x 2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A（ 1， 0）， 由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（ 3， 0） （ 2） 抛物线 taxaxy 42 与 x 轴的一个交点为 A（ 1， 0）， N M C x y O - 8 - 0)1(4)1( 2 taa t 3a aaxaxy 342 D（ 0， 3a） 梯形 ABCD 中， AB CD，且点 C 在抛物线 aaxaxy 342 上， C（ 4， 3a） AB 2， CD 4 梯形 ABCD 的面积为 9，
20、 9)(21 ODCDAB 93)42(21 a a 1 所求抛物线的解析式为 342 xxy 或 342 axxy （ 3）设点 E 坐标为（ 0x ， 0y ） .依题意， 00x ， 00y ， 且2500xy 00 25xy 设点 E 在抛物线 342 xxy 上， 34 0200 xxy 解方程组34,25020000xxyxy 得 ； ， 15600yx，452100yx 点 E 与点 A 在对称轴 x 2 的同侧， 点 E 坐标为（ 21 ， 45 ） 设在抛物线的对称轴 x 2 上存在一点 P，使 APE 的周长最小 AE 长为定值， 要使 APE 的周长最小，只须 PA PE
21、 最小 点 A 关于对称轴 x 2 的对称点是 B（ 3， 0）， 由几何知识可知， P 是直线 BE 与对称轴 x 2 的交点 设过点 E、 B 的直线的解析式为 nmxy ， .03,4521nmnm 解得.23,21nm 直线 BE 的解析式为 2321 xy 把 x 2 代入上式，得 21y 点 P 坐标为（ 2， 21 ） 设点 E 在抛物线 342 xxy 上， 34 0200 xxy - 9 - 解方程组 .34,25020000xxyxy 消去 0y ，得 03x23x 020 0 . 此方程无实数根 综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（ 2， 21 ），使 APE 的周长最小
22、 解法二： （ 1） 抛物线 taxaxy 42 与 x 轴的一个交点为 A（ 1， 0）， 0)1(4)1( 2 taa t 3a aaxaxy 342 令 y 0，即 0342 aaxax 解得 11x ， 32x 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（ 3， 0） （ 2）由 aaxaxy 342 ，得 D（ 0， 3a） 梯形 ABCD 中， AB CD，且点 C 在抛物线 aaxaxy 342 上， C（ 4， 3a） AB 2， CD 4 梯形 ABCD 的面积为 9， 9)(21 ODCDAB 解得 OD 3 33a a 1 所求抛物线的解析式为 342 xxy 或 342
23、 xxy （ 3）同解法一得， P 是直线 BE 与对称轴 x 2 的交点 如图，过点 E 作 EQ x 轴于点 Q设对称轴与 x 轴的交 点为 F 由 PF EQ，可得EQPFBQBF 45251 PF 21PF 点 P 坐标为（ 2， 21 ） 以下同解法一 13.已知二次函数的图象如图所示 （ 1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标 （ 2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M- 10 - 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S与 t之 间的函数关系式及
24、自变量 t的取值范围； （ 3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使 PAC 为直角三角形 ?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （ 4）将 OAC 补成矩形，使 OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶 点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过 程） 解：（ 1）设抛物线的解析式 )2)(1( xxay ， )2(12 a 1a 22 xxy 其顶点 M 的坐标是 4921， （ 2）设线段 BM 所在的直线的解析式为 bkxy ，点 N 的坐标为 N（ t， h）， .214920bkbk ， 解得23k ， 3b
25、线段 BM 所在的直线的解析式为 323 xy 323 th ，其中 221 t tts )3322(212121 12143 2 tt s 与 t 间的函数关系式是 12143 2 ttS ，自变量 t 的取值范围是 221 t （ 3）存在符合条件的点 P，且坐标是 1P 4725， 45232 ，P 设点 P 的坐标为 P )( nm， ，则 22 mmn 222 )1( nmPA ， 5)2( 2222 ACnmPC ， 分以下几种情况讨论： i）若 PAC 90，则 222 ACPAPC .5)1()2(222222nmnmmmn ， 解得： 251m， 12 m （舍去） 点 47251 ，P ii）若 PCA 90，则 222 ACPCPA
