八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球.DOC

1、 1 八个有趣模型 搞定 空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直 ，不找球心的位置即可求出球半径 ） cab图 1CPABabc图 2PCBAabc图 3CBPAabc图 4PCO 2BA方法：找三条两两垂直的线段， 直接 用公式 2222)2( cbaR ，即 2222 cbaR ，求出 R 例 1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ， 体积为 16 ，则这个球的表面积是（ C ） A 16 B 20 C 24 D 32 （ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 9 解： （ 1） 162 haV ， 2a ， 24

2、16444 2222 haaR ， 24S ，选 C； （ 2） 93334 2 R ， 94 2 RS （ 3） 在正三棱锥 S ABC 中， MN、 分别是棱 SC BC、 的中点，且 MNAM ,若侧棱 23SA ,则正三棱锥 ABCS 外接球的表面积是 。 36 解： 引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。 证明如下： 如图（ 3） -1， 取 BCAB, 的中点 ED, ，连接 CDAE, ， CDAE, 交于 H ，连接 SH ， 则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， ABSH ， BCAC ， BDAD ， ABCD ， AB 平面 SCD ， SCAB ，

3、同理： SABC ， SBAC ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（ 3） -2， MNAM ， MNSB/ ， SBAM ， SBAC ， SB 平面 SAC ， SASB ， SCSB ， SASB ， SABC ， SA 平面 SBC ， SCSA ， 故三棱锥 ABCS 的三棱条侧棱两两互相垂直， 36)32()32()32()2( 2222 R ，即 364 2R ， 正三棱锥 ABCS 外接球的表面积是 36 (3) 题 -1HEDBA CS(3) 题 -2MNABCS2 （ 4） 在四面体 S ABC 中， ABCSA 平面 ， ,1,2,1 2 0 ABACSAB A C

4、则该四面体的外接球的表面积为（ D ） 11.A 7.B 310.C 340.D （ 5） 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、 3 ，那么它的外接球的表面积是 （ 6） 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析： （ 4）在 ABC 中， 71 2 0c o s2222 BCABABACBC ， 7BC ， ABC 的外接球直径为372237s in2 B A CBCr ， 3404)372()2()2( 2222 SArR ， 340S ，选 D （ 5） 三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分

5、别为 cba, （ Rcba , ） ，则 6812acbcab ， 24abc ， 3a ， 4b ， 2c ， 29)2( 2222 cbaR ， 294 2 RS ， （ 6） 3)2( 2222 cbaR ， 432R ， 23R 238 333434 3 RV ， 类型二、 垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1题设 ： 如图 5， PA 平面 ABC 解题步骤： 第一步： 将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O ； 第二步： 1O 为 ABC 的外心，所以 1OO 平面 ABC ，算出小圆 1O 的半 径

6、rDO 1 （三角形的外接圆直径算法： 利用正弦定理，得 rCcBbAa 2s ins ins in ）， PAOO 211 ； 第三步： 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： 222 )2()2( rPAR 22 )2(2 rPAR ； 2122 OOrR 212 OOrR 图 5A DPO 1OCBCAPB3 2 题设 ：如图 6， 7， 8， P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥 ABCP 的三条侧棱相等 三棱 锥 ABCP 的 底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点 也是圆锥的顶点 图 6PA DO 1OCB图 7-1PA O1OB图 7-2PA O 1OCB图 8PAO 1OCB图

7、8-1DPOO 2AB C图 8-2POO 2AB C图 8-3DPOO 2AB解题步骤： 第一步：确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心 1O ，则 1, OOP 三点共线； 第二步：先算出小圆 1O 的半径 rAO1 ，再算出棱锥的高 hPO1 （也是圆锥的高） ； 第三步： 勾股定理： 21212 OOAOOA 222 )( rRhR ，解出 R 方法二： 小圆直径参与构造大圆。 例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接 球的表面积为 ( )C A 3 B 2 C 316 D以上都不对 解：选 C， 22 1)3( RR , 22 1323 RRR , 0324 R , 3

8、2R, 3164 2 RS 4 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） 图 9-1A CBP图 9-2A O1OCBP图 9-3PA O1OCB图 9-4A O 1OCBP1题设 ：如图 9-1，平面 PAC 平面 ABC ，且 BCAB （即 AC 为小圆的直径） 第一步： 易知 球心 O 必是 PAC 的外心 ，即 PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 rAC 2 ； 第二步： 在 PAC 中，可根据正弦定理 RCcBbAa 2s ins ins in ，求出 R 2如图 9-2，平面 PAC 平面 ABC ，且 BCAB （即 AC 为小圆的直径） 21212 OOCOOC 212 O

9、OrR 2122 OORAC 3 如图 9-3，平面 PAC 平面 ABC ，且 BCAB （即 AC 为小圆的直径），且 P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥 ABCP 的三条侧棱相等 三棱 ABCP 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心 1O ，则 1, OOP 三点共线； 第二步：先算出小圆 1O 的半径 rAO1 ，再算出棱锥的高 hPO1 （也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理： 21212 OOAOOA 222 )( rRhR ，解出 R 4如图 9-3，平面 PAC 平面 ABC ，且 BCAB （即

10、 AC 为小圆的直径），且 ACPA ，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： 222 )2()2( rPAR 22 )2(2 rPAR ； 2122 OOrR 212 OOrR 例 3 （ 1） 正四棱锥的顶点都在 同一球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为 32 ，则该球的表面积为 。 （ 2） 正四 棱锥 ABCDS 的底面边长和各侧棱长都为 2 ， 各顶 点 都在同一个球面上，则此球的体积为 解： （ 1） 由正弦定理或找球心都可得 72 R ， 494 2 RS ， （ 2） 方法一：找球心的位 置， 易知 1r ， 1h ， rh ，故 球心在正方形的中心 ABCD 处， 1R ，

11、 34V 方法二：大圆 是轴截面所的外接圆，即大圆是 SAC 的外接圆，此处特殊， SACRt 的斜边是球半径，22 R ， 1R ， 34V 5 （ 3） 在三棱锥 ABCP 中， 3 PCPBPA ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60 ，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A B.3 C. 4 D.43 解：选 D， 圆锥 CBA , 在以23r的圆上， 1R （ 4） 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上 , ABC 是边长为 1的正三角形 ,SC 为球 O 的直径 ,且 2SC ， 则此棱锥的体积为（ ） A A 26B 36 C 23D 22 解： 36)33

12、(1 2221 rROO， 362h ， 623 62433131 ShV 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 图 10 -1C 1B 1AA 1O 1OO 2BC图 10 -2C 1B 1AA 1O 1OO 2BC图 10 -3C 1B 1AA 1O 1OO 2BC题设 ：如图 10-1， 图 10-2， 图 10-3,直 三 棱柱内接于球（ 同时直棱柱也内接于圆柱， 棱柱的上下底面可以是任 意三角形） 第一步：确定球心 O 的位置， 1O 是 ABC 的外心，则 1OO 平面 ABC ； 第二步： 算出小圆 1O 的半径 rAO1 ， hAAOO 212111 （ hAA1

13、也是圆 柱 的高）； 第三步：勾股定理： 21212 OOAOOA 222 )2( rhR 22 )2(hrR ，解出 R 例 4 （ 1） 一个正六棱柱 的底面上正六边形，其侧 棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都 在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 89 ，底面周长为 3 ，则这个球的体积为 解： 设正六边形边长为 a ， 正六棱柱 的高为 h ，底面外接圆的关径为 r ，则 21a ， 底面积为 8 33)21(436 2 S ， 898 33 hShV柱， 3h ， 1)21()23( 222 R ， 1R ，球的体积为 34V 6 （ 2） 直三棱柱 1 1 1ABC ABC 的各顶点

14、都在同一球面上，若 1 2AB AC AA , 120BAC ，则此球的表面积等于 。 解： 32BC ， 4120sin 322 r， 2r ， 5R ， 20S （ 3） 已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直， 60,2,3 A E BADEBEA ，则多面体 ABCDE 的外接球的表面积为 。 16 解析： 折叠型， 法一： EAB 的外接圆半径为 31r ， 11OO ， 231 R ；法二： 231 MO ， 21322 DOr ， 4413432 R ， 2R ， 16S （ 4） 在直三棱柱 111 CBAABC 中， 4,3,6,41 AAAACAB 则

15、直三棱柱 111 CBAABC 的外接球的表面积为 。 3160 解析： 282164236162 BC ， 72BC ，37423722 r ， 372r ， 3404328)2( 2122 AArR ， 3160S 类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 (如图 11) 第 一步：先画出如图所示的图形，将 BCD 画在小圆上，找出 BCD 和 BDA 的外心 1H 和 2H ； 第二步： 过 1H 和 2H 分别作平面 BCD 和平面 BDA 的垂线，两 垂线的交点即为球心 O ，连接 OCOE, ； 第三步： 解 1OEH ， 算出 1OH ，在 1OCH

16、Rt 中，勾股定理 ： 22121 OCCHOH 例 5 三棱锥 ABCP 中， 平 面 PAC 平 面 ABC ， PAC 和 ABC 均为边长为 2 的正三角形 ，则三棱锥 ABCP 外接球的半径为 . 图 11H 1EA COBDAH 2OO 2MDBACEO 17 解析：3460s in 222 21 rr，3221 rr，312 HO， 35343121222 rHOR ， 15R ； 法二：312 HO，311 HO， 1AH ， 352121222 OOHOAHAOR ， 315R 类型六、对棱相等模型 （补形为长方体） 题设： 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接

17、球半径（ CDAB ， BCAD ， BDAC ） 第一步： 画出一个长方体， 标出三组互为异面直线的对棱； 第二步： 设出长方体的长宽高分别为 cba, ， xBCAD ， yCDAB ， zBDAC ， 列方程组 ， 222222222zacycbxba 2)2( 2222222 zyxcbaR ， 补充： a b ca b ca b cVB C DA 31461 第三步： 根据墙角模型， 22 222222 zyxcbaR ， 8 2222 zyxR ， 8222 zyxR ，求出 R ， 例如，正四面体的外接球半径可用此法。 例 6（ 1） 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球

18、面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面 )的面积是 . （ 2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上，其中 底面的三个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A 433 B 33 C 43 D 123 解：（ 1） 截面 为 1PCO ， 面积是 2 ； （ 2） 高 1Rh ，底面外接圆的半径为 1R ，直径为 22 R ， 设底面边长为 a ，则 260sin2 aR， 3a ， 43343 2 aS ， 三棱锥的体积为 4331 ShV yxabczzyx图 12DCAB(1) 题OHBACPO 2O 1(1) 题解答图CPBPO 1O

19、O 2AB8 （ 3）在三棱锥 BCDA 中， ,4,3,2 BDACBCADCDAB 则三棱锥 BCDA 外接球的表面积为 。 229解析：如图 12，设补形 为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设 长宽高分别为 cba, ，则 922 ba ， 422 cb ， 1622 ac 291649)(2 222 cba ， 291649)(2 222 cba ， 229222 cba ， 2294 2R ， 229S （ 4） 如图所示三棱锥 A BCD ，其中 5 , 6 , 7 ,A B C D A C B D A D B C 则该三棱锥外接球的表面积为 . 解析：同上， 设补形为长方体，

20、三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 cba, ，110493625)(2 222 cba ， 55222 cba ， 554 2R ， 55S 【 55 ；对称几何体；放到长方体中】 （ 5）正四面体的各条棱长都为 2 ，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中， 32 R ， 23R ， 238 3334 V ， 类型七、 两直角三角 形拼接在一起 (斜边相同 ,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 )模型 图 13OACBP题设： 90 ACBAPB ，求三棱锥 ABCP 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 O ，连接 OCOP, ，则 AB

21、OPOCOBOA 21 ， O 为三棱锥 ABCP 外接球球心， 然后在 OCP 中求出半径） ，当 看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。 例 7（ 1） 在矩形 ABCD 中， 4AB ， 3BC ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 DACB ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为（ ） A 12125 B 9125 C 6125 D 3125 解： （ 1） 52 ACR ， 25R ， 61 2 581 2 53434 3 RV ， 选 C （ 2） 在矩形 ABCD 中， 2AB ， 3BC ， 沿 BD 将矩形 ABCD

22、 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 BCDA的外接球的表面积为 解析：（ 2） BD 的中点是球心 O ， 132 BDR ， 134 2 RS ； 9 类型八、锥体的内切球问题 1 题设： 如图 14， 三棱锥 ABCP 上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现出内切球的截面图， HE, 分别是两个三角形的外心； 第二步： 求 BDDH 31 ， rPHPO ， PD 是侧面 ABP 的高； 第三步： 由 POE 相似于 PDH ，建立等式： PDPODHOE ，解出 r 2 题设：如图 15，四棱锥 ABCP 上正四棱锥，求其外接球的半径 第一步：先现出内切球的截面图， HOP , 三点

23、共线； 第二步：求 BCFH 21 ， rPHPO ， PF 是侧面 PCD 的高； 第三步：由 POG 相似于 PFH ，建立等式： PFPOHFOG ，解出 3题设：三棱锥 ABCP 是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和 相等 第一步： 先画 出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步： 设内切球的半径为 r ，建立等式： PBCOPACOPABOABCOABCP VVVVV rSSSSrSrSrSrSV P BCP ACP ABA BCP BCP ACP ABA BCA BCP )(3131313131 第三步： 解出P B COP

24、 A COP A BOA B COA B CP SSSS Vr 3 习题： 1若 三棱锥 ABCS 的三条侧棱两两垂直，且 2SA ， 4SCSB ，则该三棱锥 的外接球 半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 解： 【 A】 616164)2( 2 R ， 3R 【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】 2 三棱锥 ABCS 中，侧棱 SA 平面 ABC ，底面 ABC 是边长为 3 的正三角形， 32SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 . 332 解析： 260sin 32 r， 16124)2( 2 R ， 42R ， 2R ， 外接球体积 332834 【外心

25、法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】 3 正 三棱锥 ABCS 中，底面 ABC 是边长为 3 的正三角形， 侧棱长为 2 ，则该三棱锥的外接球体积等于 . 解析： ABC 外接圆的半径为 ， 三棱锥 ABCS 的 直径为3460sin22 R， 外接球半径32R， 图 14HDABCPOE图 15FEHDBACPOG10 或 1)3( 22 RR ，32R， 外接球体积27 33233 83434 3 RV， 4 三棱锥 ABCP 中， 平 面 PAC 平面 ABC ， PAC 边长为 2 的正三角形， BCAB ，则三棱锥ABCP 外接球的半径为 . 解析： PAC 的外接圆是大圆，3460sin22 R，32R， 5 三棱锥 ABCP 中， 平 面 PAC 平面 ABC ， 2AC ， 3PCPA ， BCAB ，则三棱锥ABCP 外接球的半径为 . 解析： 97332 4992c o s 222 PCPA ACPCPAP ， 81 216)97(1s in 22 P ， 924sin P ， 42922992422 R ， 829R 6 三棱锥 ABCP 中， 平 面 PAC 平面 ABC ， 2AC ， PCPA ， BCAB ，则三棱锥 ABCP外接球的半径为 . 解： AC 是公共的斜边， AC 的中点是球心 O ，球半径为 1R