1、1不定积分与定积分的计算1.不定积分1.1 不定积分的概念原函数：若在区间 上 ，则称 是 的一个原函数. )(xfF )(xF原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是 在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 .可见，若 ，则 的全体原函数所成集合为 .原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分： 的带有任意常数项的原函数称为 的不定积分。记作dxf)(一个重要的原函数：若 在区间 上连续， ，则 是的一个)(xf Iaxadtf)(原函数。1.2 不定积分的计算(1)裂项积分法例1： 。Cxxdxdxdx arctn23)12(122424例
2、2： dxxx )sec(sincosinco 22222例 3：222(1)()dxxd221arctndxxC(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分 cos2xd，如果凑上一个常数因子 2，使成为11cos22xdx Csin1例 4：232arct1dxxxx例 5： 222111ddxxx221dx 122dxx12211CCxx例 6： dtddxt 21arcn1arctn2)1(arctn. xtgtgtt 2)()()rr2(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下：被积
3、函数包含 ,处理方法是令 ;nbax )(1,btaxtbann被积函数包含 ,处理方法是令 ;)0(2 ttcossi或3被积函数包含 ,处理方法是令 ;)0(2axtxan被积函数包含 ,处理方法是令 ;)(2tsec例 7：计算 20axda解：令 sin,rcsin,xxttta则 ，且2cos,o,aadt从而2xd=22.ccs1costtatdtd=21sininattCttC由图 2.1 知2sincosxaxtta所以 2xd=222rinC=22arcsinaC例 8: tdttdxdxt 16)(16232.cx636ln(4)分部积分法当积分 不好计算,但 容易计算时,
4、使用分部积分公式: )(xdgf )(xdfg.常见能使用分部积分法的类型 :)()(xfxf4(1) , , 等,方法是把 移到 d 后面,分dxendxnsidxncos xexcos,in部积分的目的是降低 x 的次数(2) , , 等,方法是把 移到 d 后xmnlxmnarcsixmnarct nx面,分部几分的目的是化去 . ,l例 9: 222xxxedeed()2()xC例 10: 2ln11llnlxddx 2l(l1)dxCx例 11: 2 3(16)arctnarctn(2)322t1xxd3 2arctnx32212rtlxxC例 12: =dxdx 22 sinico
5、sincoscs，x2ino解得 .csi41cs例 13: xtgdtxgdtxxd secsecece23= dtgs)1(sc 3= ,xtgxx3ec|se|lne5解得 .xd3sec ctgxxtg|se|ln21sec以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧例 14 设函数 的一个原函数是 求 。)(xf ,sinxdxf)(解： 2sicosin)(xf cxxdxfffdxf sincos)()()( 2csin2co评:本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.例 15 计算 dxe23)1(arctn说明涉及到 的积分一般有两种处理方法.ar
6、ctn,si(1)用分部积分法; (2)作变量替换令 txtxarcnarcsin或解法一: 2arctn22arctn2arctn 11)()1()1(33 dedxedxe xxexexx2arctn2arctn2dxexx23)1(1arctnarctn2评:分部积分后,后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法.解法二:令 yxtan,arctn6Cyedydyeydxe )cos(in21sinsctan)1(322arctn3 Cxex 22arctn12评:变量替换后几分的难度大大降低, 是每种教材上都有的积分.dyesin2.定积分定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定
7、积分计算.(1)基本积分法例 16 计算 30221)5(xd解： 令 ，则txan 60226023022 sin5cose)tan51(c)51( ttdtdd8)sirct()sin2( 6060 tt(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数例 17 计算 dx302解： 38)2()(3030 dxx例 17 计算 dx301,ma解： =x10, 54)(12210dx7(3)利用函数的奇偶性化简定积分 aa xfdxfdxf0)()()( 是 偶 函 数当 是 奇 函 数当例 18 计算 12)(解： = =2+0=2dxx12)( dx121例 19 计
8、算 ex1)(解： =dx1)(x1dxe111042eex例 20 计算 dxex421sin分析：被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。解： dxedxedxexxx 04240242 1sin1sin1sin令 ，yx dxedyedyeydede yyx 402402402042042 1sin1sin1sin)(1sin1sin 所以 18sin1sin1sin1sin 40204240242 xddexdxedxexx(4)一类定积分问题8例 21 已知 是连续函数， ，求)(xf 102)(3)(dxfxf )(f分析：本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数。解：令 ，10,)(则Adxf Axf23)(10102 311)3()(dfA所 以)(2xf
