1、1圆提高测试（一）选择题：（每题 2 分，共 20 分）1有 4 个命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最大的弧是过圆心的弧；一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真命题是（ ）（A） （B） （ C） （D）【提示】长度相等的两弧不一定是等弧，故不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故不对【答案】A 【点评】本题考查等圆、等弧、直线与弦的概念注意：等弧是能互相重合的两条弧，直径是圆中最大的弦2如图，点 I 为ABC 的内心，点 O 为ABC 的外心，O140 ，则I 为（ ）（A）140 （B）125 （ C）130 （D）110【提示】因点 O
2、 为ABC 的外心，则BOC、A 分别是 所对的圆心角、圆周角，所以O2A，故A 14070又因为 I 为21ABC 的内心，所以I90 A90 701251【答案】B【点评】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式3如果正多边形的一个外角等于 60，那么它的边数为（ ）（A）4 （B）5 （C ）6 （D）7 【提示】正多边形的外角等于它的中心角，所以 60，故 n6n30【答案】C【点评】此题考查正多边形的外角与中心角的关系注意：正 n 边形的中心角为 ，且等于它的30一个外角4如图，AB 是 O 的弦，点 C 是弦 AB 上一点，且
3、BCCA2 1，连结 OC 并延长交O 于 D，又 DC2 厘米，OC3 厘米，则圆心 O 到 AB 的距离为（ ）（A） 厘米 （B） 厘米 （C ）2 厘米 （D） 3 厘米67【提示】延长 DO 交O 于 E，过点 O 作 OFAB 于 F，则 CE8 厘米由相交弦定理，得 DCCEACCB，所以 AC2 AC28，故 AC2 （厘米） ，从而 BC4 厘米由垂径定理，得AF FB （2 4 ） 3 （厘米）12 所以 CF3 2 （厘米） 在 RtCOF 中，OF （厘米） OFC22)(7【答案】C【点评】本题考查相交弦定理、垂径定理注意：在圆中求线段的长，往往利用相交弦定理、垂径定
4、理进行线段的转换，再结合勾股定理建立等式5等边三角形的周长为 18，则它的内切圆半径是（ ）（A）6 （B）3 （C ） （D）33【提示】等边三角形的边长为 6，则它的面积为2629 又因为三角形的面积等于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半，所以 9 43 3r18（r 为内切圆半径） 1解此方程，得 r 3【答案】C【点评】本题考查等边三角形的面积的求法、内切圆半径的求法注意：求三角形的内切圆的半径，通常用面积法6如图，O 的弦 AB、CD 相交于点 P，PA 4 厘米，PB3 厘米，PC6 厘米，EA 切O 于点A，AE 与 CD 的延长线交于点 E，AE 2 厘米，则 PE 的长为（
5、 ）5（A）4 厘米 （B）3 厘米 （C ） 厘米 （D） 厘米2【提示】由相交弦定理，得 PAPBPDPC 43PD6 PD2（厘米） 由切割线定理，得 AE2ED EC （2 ） 2ED （ED26） 解此方程得5ED2 或 ED10（舍去） PE 22 4（厘米） 【答案】A【点评】本题考查相交弦定理、切割线定理注意：应用相交弦定理、切割线定理往往建立方程，通过解方程求解7一个扇形的弧长为 20厘米，面积是 240厘米 2，则扇形的圆心角是（ ）（A）120 （B）150 （C ）210 （D）240【提示】设扇形的圆心角为 n 度，半径为 R，则 解方程组得2403618n15024
6、nR【答案】B【点评】本题考查扇形的弧长、面积公式注意：应熟记扇形的弧长公式、扇形的面积公式8两圆半径之比为 23，当两圆内切时，圆心距是 4 厘米，当两圆外切时，圆心距为（ ）（A）5 厘米 （B）11 厘米 （C ）14 厘米 （D）20 厘米【提示】设两圆半径分别为 2 x、3 x 厘米，则内切时有 3 x2 x4，所以 x4于是两圆半径分别为8 厘米、12 厘米故外切时圆心距为 20 厘米【答案】D【点评】本题考查两圆内切、外切时，圆心距与两圆半径的关系注意：要理解并记忆两圆的五种位置关系及圆心距与半径的关系9一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是（ ）（
7、A）60 （B）90 （ C）120 （D）180【提示】设圆锥的母线长为 a，圆心角度数为 n，底面圆的半径为 r，则ra180236解此方程组，得 n1803【答案】D【点评】此题考查圆锥的侧面展开图的概念注意理解圆柱、圆柱的侧面展开图的有关概念10如图，等腰直角三角形 AOB 的面积为 S1，以点 O 为圆心，OA 为半径的弧与以 AB为直径的半圆围成的图形的面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ）（A）S 1S 2 （B）S 1S 2 （C ）S 1S 2 （D）S 1S 2 【提示】设 OAa，则 S1 a2，弓形 ACB 的面积 a2 a241在 RtAOB 中，AB a，
8、则以 AB 为直径的半圆面积为（ ） 2 （ a） 2 a2则 S2 a2（ a2 a2） a221AB411【答案】C【点评】本题考查三角形、圆、弓形的面积计算注意：弓形的面积计算方法（二）填空题（每题 2 分，共 20 分）11已知O 1 和O 2 的半径分别为 2 和 3，两圆相交于点 A、B，且 AB2，则O1O2_【提示】当两圆在 AB 的两侧时，设 O1O2 交 AB 于 C，则 O1O2AB，且 ACBC， AC1在 RtAO 2C 中，O 2C 2 ；A3在 RtAO 1C 中，O 1C 2 O1O22 3当两圆在 AB 的同侧时，同理可求 O1O22 【答案】2 【点评】此题
9、考查“两圆相交时，连心线垂直于公共弦”的应用注意：在圆中不要漏解，因为圆是轴对称图形，符合本题条件的两圆有两种情形12已知四边形 ABCD 是O 的外切等腰梯形，其周长为 20，则梯形的中位线长为_【提示】圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为 10，故中位线长为 5【答案】5【点评】本题考查圆外切四边形的性质注意：本题还可求得圆外切等腰梯形的腰长也为 5，即等于中位线长13如图，在ABC 中，AB AC，C72，O 过 A、B 两点，且与 BC 切于点 B，与 AC 交于 D，连结 BD，若 BC 1，则 AC_5【提示】在ABC 中，AB AC，则 ABCACB72， BAC36
10、又 BC 切O 于 B， ADBC36 BDC724 ABD 72 3636 ADBD BC易证CBDCAB， BC 2CDCA ADBD BC， CDACADACBC BC2（ACBC）CA解关于 AC 的方程，得 AC BC152 AC （ 1）25【答案】2【点评】本题考查弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质注意底角为 72的等腰三角形的特殊性，底角的平分线把对边分成的两线段的比为 ，即成黄金比21514用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为 80 厘米，底面圆的直径为 50 厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝） 厘米 2（不取近似值） 【提示】铁皮的面积即圆柱的侧面
11、积与两底的面积的和底面圆面积为 502625（厘米 2） ，底面圆周长4为5050（厘米） ，则铁皮的面积为 262580505250 （厘米 2） 【答案】5250厘米 2【点评】本题考查圆柱的侧面展开图的面积及圆柱的表面积注意：圆柱的表面积等于侧面积与两底面积之和5已知两圆的半径分别为 3 和 7，圆心距为 5，则这两个圆的公切线有_条【提示】 73573， 两圆相交， 外公切线有 2 条，内公切线有 0 条【答案】2【点评】本题考查两圆的位置关系及对应的圆心距与两圆半径的关系注意：仅仅从573 并不能断定两圆相交，还要看 5 与 73 的大小关系16如图，以 AB 为直径的O 与直线 C
12、D 相切于点 E，且 ACCD，BD CD，AC8 cm，BD 2 cm，则四边形 ACDB 的面积为_【提示】设 AC 交O 于 F，连结 BF AB 为 O 的直径， AFB90连结 OE，则 OECD， ACOEBD 点 O 为 AB 的中点， E 为 CD 的中点 OE （BDAC） （82）5（cm） 211 AB 25 10（cm ） 在 RtBFA 中，AFCABD826（cm） ，AB 10 cm， BF 8（cm） 0 四边形 ACDB 的面积为（28）840（cm 2） 1【答案】40 cm 2【点评】本题考查直径的性质、中位线的判定与性质、切线的性质注意：在圆中不要忽视直
13、径这一隐含条件17如图，PA、 PB、DE 分别切O 于 A、B、C ，O 的半径长为 6 cm，PO10 cm，则PDE 的周长是 _图中知，CMR8，MDR 8，5【提示】连结 OA，则 OAAP 在 RtPOA 中，PA 8（cm） 2OAP2610由切线长定理，得 EAEC，CD BD，PAPB， PDE 的周长为PE DEPDPE EC DC PD，PE EAPDDBPA PB16（ cm） 【答案】16 cm【点评】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换18一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边
14、形的面积之比为_【提示】设两正多边形的外接圆半径为 R，则正方形面积为 4 R22 R2，正六边形的面积为 61R2 R2，所以它们的比为 2 R2： R24 9433【答案】4 9【点评】本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系注意：正多边形的面积通常化为 n 个三角形的面积和19如图，已知 PA 与圆相切于点 A，过点 P 的割线与弦 AC 交于点 B，与圆相交于点 D、E，且 PAPBBC，又 PD4，DE21，则 AB_【提示】由切割线定理，得 PA2PD PE PA 10254 PB BC10 PE PDDE25， BE 2510 15 DB21156由相交弦定理，得
15、ABBCBEBD AB1015 6 AB 9【答案】9【点评】本题考查切割线定理与相交弦定理的应用，要观察图形，适当地进行线段间的转化20如图，在 ABCD 中，AB 4 ，AD 2 ，BDAD，以 BD 为直径的O 交 AB 于 E，交3CD 于 F，则 ABCD 被O 截得的阴影部分的面积为_【提示】连结 OE、DE ADBD ，且 AB4 ，AD2 ， DBA 30 ，且 BD6 BD 为直径， DEB 90 DEBD sin 306 3，BE 6 3 212 SDEB 3 3 219 O 为 BD 的中点，6 SBOE SDEB 21493 DO BD3，DOE 23060， S 阴影
16、 2（S ADB S 扇形 DOES EOB ）2（ 2 6 32 ） 13049 3 【答案】 155【点评】本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识注意：求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式（三）判断题（每题 2 分，共 10 分）21点 A、B 是半径为 r 的圆 O 上不同的两点，则有 0AB2 r（ ）【答案】 【点评】因为直径是圆中最大的弦，则判断正确22等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心（ ）【答案】 【点评】因为等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，根据垂径定理的推论知，顶角平分线所在直线必过圆心23直角梯形的四个顶点不在同一个圆上（
17、）【答案】【点评】若在同一个圆上，则对角互补，故四个角全为直角所以假设不成立，原命题成立24等边三角形的内心与外心重合（ ）【答案】【点评】等腰三角形的顶角的平分线也是对边的中线与高，因此等边三角形的内心与外心重合25两圆没有公共点时，这两个圆外离（ ）【答案】 【点评】两圆没有公共点时，既可以是外离，也可以是内含，所以原命题不成立（四）解答题与证明题（共 50 分）26 （8 分）如图，ABC 内接于O，AB 的延长线与过 C 点的切线 GC 相交于点 D，BE 与 AC 相交于点 F，且 CBCE，求证：（1）BE DG；（2）CB 2CF 2BFFE【提示】 （1）证明利用弦切角定理进行
18、角之间的转化可证EGCE；把（2）变形为CB2CF 2BF FE BFFECF AF， CF2BFFECF 2CFAFCF（CFAF）CFCA即只要证 CB2CFCA 即可，只需证CBFCAB【略证】 （1） CG 为O 的切线， EBCGCE CBCE， EBCE EGCE GC EB（2） EBCEA，FCBO 为公共角， CBFCAB CB2CFCACF（CFAF）CF 2CFAF 由相交弦定理，得 CFFABFFE， CB2CF 2BFFE 即 CB2CF 2BFFE【点评】对于形如 a2cdef 的等式的证明较困难，因不易找到突破口一般先把待证明的等式进行变形，以便于看出等式中线段之
19、间的联系如本题中，先把 CF2 移到等式的右边去，再结合相交弦定理找出了思路27 （8 分）如图，O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且 MBMA14，求工件半径的长【提示】把 OM 向两方延长，交 O 于点 C、D设O 的半径为 R，则可用相交弦定理求半径长【略解】把 OM 向两方延长，分别交 O 于 C、D 两点设O 的半径为 R从图中知，AB 15 cm又 MB MA1 4， MB 153（cm ） ，MA12 5cm7从图中知，CMR8，MDR 8，由相交弦定理，得 AMBMCM MD 123（R8） （R8） 解此方程，得 R10 或 R10（舍去） 故工件的半径长为 10 c
20、m【点评】此题是一道实际问题，要善于把实际问题转化为数学 问题，因在圆中，OM 与 AB 相交，故向相交弦定理转化28 （8 分）已知：如图（1） ，O 1 与O 2 相交于 A、B 两点， 经过 A 点的直线分别交O 1、O 2 于 C、D 两点（C 、D 不与 B 重合） ，连结 BD，过点 C 作 BD 的平行线交O 1 于点 E，连 BE（1）求证：BE 是 O 2 的切线；（2）如图（2） ，若两圆圆心在公共弦 AB 的同侧，其他条件不变，判断 BE 和O 2 的位置关系（不要求证明） 【提示】 （1）过 B 作O 2 的直径 BH，连结 AB、AH，证EBH90 （2）用类似的方法
21、去探求【证明】 （1）连结 AB，作O 2 的直径 BH，连结 AH则 ABH H 90，HADB ，EBAECA ECBD， ADB ACEEBA EBAABH90即 EBH 90 BE 是 O 2 的切线（2）同理可知，BE 仍是O 2 的切线【点评】证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径（或直径） ，再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无 90的角，故作直径构造 90的角，再进行角的转换同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了另外，当问题进行了变式时，要学会借鉴已有的思路解题29 （12 分）如图，已知 CP 为O 的直径，AC 切O 于点 C
22、，AB 切O 于点 D，并与 CP 的延长线相交于点 B，又 BD2 BP 求证：（1）PC3 PB；（2）ACPC【提示】 （1）因为 BCBPPC，所以要证 PC3 BP，即要证 BC4 BP，用切割线定理进行转化 （2）要证 AC 等于O 的直径，即要证 AC2半径只要连结 OD，易证BODBAC可利用相似三角形的性质证明结论【略证】 （1） BD 是O 的切线， BPC 是O 的割线， BD2BPBC BD2 BP， 4 BD2BP BC 4 BPBC BCBP PC ， 4 BPBP PC PC3 BP（2）连结 DO AB 切 O 于点 D，AC 切O 于点 C， ODBACB90
23、 BB ， ODB ACB ACP4218 AC2 DO PC2 DO ACPC【点评】此题体现了圆幂定理和切线性质定理的应用，解题的关键是善于转化30 （14 分）如图，已知 O 是线段 AB 上一点，以 OB 为半径的O 交线段 AB 于点 C，以线段 OA 为直径的半圆交O 于点 D，过点 B 作 AB 垂线与 AD 的延长线交于点 E，连结 CD若 AC2，且 AC、AD 的长是关于 x 的方程 x2kx4 0 的两个根5（1）证明 AE 切 O 于点 D；（2）求线段 EB 的长；（3）求 tan ADC 的值【提示】连结 OD、BD （1）证ODA90即可；（2）利用切割线定理，结
24、合一元二次方程根与系数的关系求 BE 的长；（ 3）利用相似三角形的比进行转化（1） 【略证】连结 OD OA 是半圆的直径， ADO90 AE 切O 于点 D（2） 【略解】 AC、AD 的长是关于 x 的方程 x2kx4 0 的两个根，且 AC2，ACAD25，5 AD4 AD 是O 的切线，ACB 为 割线， AD2ACAB 又 AD2 ，AC2， AB105则 BC8，OB4 BEAB， BE 切 O 于 B又 AE 切 O 于点 D， EDEB在 RtABE 中，设 BEx，由勾股定理，得（x 2 ） 2 x210 25解此方程，得 x4 即 BE 的长为 4 （3）连结 BD，有CDB90 AD 切O 于 D， ADCABD，且 tan ADC tan ABD BDC在ADC 和ABD 中，A A，ADCABD， ADCABD BC1052 tan ADC
